Является ли разрешимое произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемой группой. Оказалось, что разрешимое произведение упорядочиваемых групп вовсе не обязано быть упорядочиваемым. Контрпример строится для случая двуступенно разрешимого произведения упорядочиваемых групп.
Пусть A группа с образующими a,b,c и определяющими отношениями: A является упорядочиваемой группой. Обозначив через фактор – группу группы A по её коммутанту A1, через бесконечные циклические группы и , где k,e,n целые числа, e=0 или I. Построим группу со следующими соотношениями:
где группа G1 без кручения, причем, подгруппа ее является двуступенно разрешимой и .
В самом деле,
Существенным является то, что , так
Далее инвариантная абелева подгруппа группы абелева группа.
Возьмем группу и бесконечную циклическую группу {d*}. Тогда отображение при котором где можно продолжить до гомоморфизма, так как если некоторое слово равно единице в , то образ этого слова равен единице в G2. Здесь символ обозначает двуступенно разрешимое произведение. Но в силу того, что C действует нетождественно действует нетождественно на Получается, таким образом, что индуцирует автоморфизм второго порядка на группе и, следовательно, группа не является упорядочиваемой, действительно, полагая получаем:
,
а это недопустимо.
Таким образом, класс упорядочиваемых групп незамкнут относительно разрешимых произведений.
Библиографическая ссылка
Мамаев И.И., Светличная Е.Ю. ДВУСТУПЕННО РАЗРЕШИМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ УПОРЯДОЧИВАЕМЫХ ГРУПП // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 164-165;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=34044 (дата обращения: 07.11.2024).