Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КАНОНИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ

Инкин А.Н. 1 Матвеева Т.А. 1
1 Волжский политехнический институт, филиал Волгоградского государственного технического университета

Приведение матриц к диагональному виду значительно упрощает решение многих прикладных задач, находит широкое применение при моделировании линейных динамических систем, а также при решении систем линейных алгебраических уравнений.

В данной работе рассматриваются вопросы решения систем линейных алгебраических уравнений с одинаковыми основными матрицами систем (разными свободными членами). В этом случае удобно использовать каноническое разложениеосновной матрицы системы.

Рассмотрим решение следующих систем линейных уравнений:

Eqn230.wmf

и

Eqn231.wmf Eqn232.wmf

Построим каноническое разложение основной матрицы системы А. Для этого составим характеристическое уравнение матрицы А и найдем его корни:

Eqn233.wmf

Eqn234.wmf – собственные значения.

Каждому собственному значению λk с учетом его кратности найдем соответствующие собственные векторы по формуле Eqn235.wmf

Для λ1 = –1:

Eqn236.wmf Eqn237.wmf

Пусть c1 = 1, тогда Eqn238.wmf.

Аналогично, для λ1 = 3: Eqn239.wmf получаем собственный вектор Eqn240.wmf;

для λ3 = 5: Eqn241.wmf получаем собственный вектор Eqn242.wmf.

Из полученных собственных векторов Eqn238.wmf, Eqn240.wmf, Eqn242.wmf составим собственный базис, в котором матрица А принимает диагональный вид

Eqn243.wmf

где Eqn244.wmf – матрица перехода к новому базису.

Построим каноническое разложение матрицы А: A = BΛB–1

Eqn245.wmf

Рассмотрим решения систем линейных уравнений AX = Dk, где D1 = (1, 2, 3)T, D2 = (–2, 4, 0)Tс помощью канонического разложения матрицы А.

Подставим в исходную систему AX = Dk каноническое разложение матрицы и получим BΛB–1X = D. Умножим обе части уравнения слева на B–1 и введем замену B–1X = Z.

Тогда ΛZ = B–1D или

Eqn246.wmf

Для D1 = (1, 2, 3)T имеем

Eqn247.wmf

или

Eqn248.wmf

Отсюда

Eqn249.wmf

– единственное решение системы.

Аналогично, для D2 = (–2, 4, 0)T получаем

Eqn250.wmf

Eqn251.wmf

– единственное решение системы.

Таким образом, каноническое разложение матрицы позволяет сократить вычисления при решении систем линейных алгебраических уравнений с одной и той же основной матрицей.


Библиографическая ссылка

Инкин А.Н., Матвеева Т.А. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КАНОНИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 99-100;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=32004 (дата обращения: 21.05.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074