Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СТРАТАМИ И ФАКТОРИЗАЦИЯ СИСТЕМ

Клейменов В.Ф. Суровцева Н.Н.

Данная статья является продолжением ра­боты [1], в частности здесь даны доказательства утверждений, анонсированных в указанной ра­боте, которые описывают модель категории по­жилых людей в виде иерархической системы.

Современные сдвиги в демографической структуре побудили мировое сообщество сфор­мировать особую систему взглядов на старение населения. Она базируется на универсальных гуманитарных нормах и служит основанием для соответствующих мер в поддержку пожи­лых людей на международном и национальном уровнях. В современной России происходят де­мографические процессы во многом характер­ные для всех стран мира. Однако очень сложное, критическое состояние экономики и катастро­фическое положение огромной части населе­ния, создало такую ситуацию, когда социальное обеспечение пожилых людей осуществляется на уровне прожиточного минимума и ниже его. Специфика ситуации показывает, что за годы рыночных реформ проводимых в России, ры­ночная экономика сама по себе не породила механизмы социальной защиты населения, так как они требуют значительных материальных затрат. Основанием для такого вывода может служить неуклонный разрыв между доходами пенсионеров, как наиболее бедной части насе­ления и доходами обеспеченной части.

Старшее поколение в России является зна­чительным ресурсом экономического развития страны, в первую очередь, как представители наемного труда. Многие из них имеют высокий уровень образования и квалификации, боль­шой опыт руководящей работы. Использование потенциала пожилых людей может составить определенную базу для дальнейшего развития общества, поскольку в экономике в результате появится дополнительные ресурсы, а у пожилых людей  возможность самореализации.

Демографическое постарение общества бу­дет продолжаться в обозримом будущем, что предъявляет серьезные требования к системам пенсионного обеспечения и социального обслу­живания, всего жизнеустройства социума, кото­рый все больше будет состоять из стареющих людей.

Категория пожилых людей обладает боль­шим количеством различных групп (страт), каждая из которых несет в себе определенные функции, свойства, которые со временем могут меняться. Поэтому моделью для этой категории имеет смысл выбрать иерархическую систему, являющуюся подмножеством некоторой беско­нечной решетки.

Напомним некоторые определения из рабо­ты [1] (эти определения можно найти также и в монографии [2]): элемент a упорядоченного множества L называется точной верхней (ниж­ней) гранью элементов x и y этого множества, если x < a, y < a (a < x, a < y) и для любого b, такого, что x < b, y < b (b < x, b <y) имеет место, a < b (b < a). Точная верхняя грань элементов x, y обозначается xy, а точная нижняя xy. Упо­рядоченное множество L, в котором для любых элементов этого множества определена точная верхняя и точная нижняя грань называется ре­шеткой.

Определение 1. Подмножество I решетки L называется иерархией, если для любых двух элементов множества I определена их точная верхняя грань.

Определение 2. Решетка модулярна, когда выполняется условие: если x < z, то .

Свойство модулярности решеток в иерар­хии страт и примеры иерархий с немодулярными подрешетками были рассмотрены в ра­боте [1].

Часто является необходимым оценить, на­сколько две страты близки друг к другу. Для это­го введем понятие расстояния между стратами. Дадим два следующих эквивалентных опреде­ления.

Определение 3. Расстоянием d1 (A, Б) меж­ду стратами называется число

где |A|, |Б|  мощность страт A и B, min (a, b) минимальное из чисел a, b, а max (a, b)  макси­мальное из чисел a, b.

 

Расстоянием d2 (A, Б) между стратами назы­вается число

Утверждение 1. Расстояния между страта­ми обладают следующими свойствами:

1.  dl(A, Б) = d2(A, Б) = d

2.  d(A, Б) = 1 <=>A∩B = 0

3.  d(A, Б) = 0 <=> AB или BA

4.  0 < d(A, Б) <1 Доказательство.

1.          Действительно, пусть |A = m, |Б| = n, |A∩B| = r и для определенности m < n. Тогда
|AB| = m + n - r. Вычислим расстояние d1, по лучим , но по определению -. То есть d1 = d2 и можно обознатчить это число через

Если , то r=0 b A∩B= Ø

3. Пусть m < n, тогда, так как то m = r и (A∩B)A. ОтсюдаA∩B = A иAB. Обрат­но, еслиAB, то A∩B = A, m = r, m-r = 0 и d = 0.

4. Из формулы и неравенства r ≥ 0 следует неравенство 0 ≤ d ≤ 1. Утверждение доказано.

Из формул (1) и (2) следует, что чем мень­ше расстояние d(A, B), тем страты A и B меньше отличаются друг от друга. В разных ситуациях бывает удобнее пользоваться либо формулой (1) либо формулой (2).

В доказательстве следующего критерия не­модулярности иерархии также используется по­нятие расстояния между стратами.

Утверждение 2. В иерархии I тогда и толь­ко тогда существует немодулярная подрешетка, когда в ней найдутся такие страты A, B, C, кото­рые удовлетворяют следующим условиям:

1.  d (A, C) = 0, A ≠ C.

2.  d (A, B) > 0.

3. B∩C = A∩B (при этом если |B| < |А| это ус
ловие эквивалентно равенству d (A, Б) = d (B, C)).

Доказательство. Из условия 1 следует, что AC, а из условия 2 что не выполняются следую­щие включения: ни AB, ни BA. Докажем теперь замечания из условия 3. Пусть d (A, Б) = d (B, C) и B < А. Так как AC, то AflB < CHB. Допу­стим, что AHB ф CHB. Тогда AfB < CffB, но отсюда main (A, B) = min(B, C) = B = m1, то противоречит замечанию из условия 3. Итак, BffC = AHB ф A.

Рассмотрим теперь подрешетку ВС, С, В, А, причем A∩B∩A≠A по условию 2.

Тогда элементы этой подрешетки удов­летворяют условиям С > А, ВΛС = АΛС и Av(B^C) = А с другой стороны (AvB) = (^В) и (A^В)ΛС = (^В)ΛС = С, но так как A ≠ С, то Аv(ВΛС) ≠ (АvВ)^С и построенная подрешетка немодулярна.

Пусть теперь, обратно, в иерархии I суще­ствует немодулярная подрешетка. Тогда, по теореме 12 из главы 1 монографии [2], в I су­ществует подрешетка N5, элементы которой удовлетворяют условиям 1, 2, 3.

Рассмотрим теперь понятие факторизации иерархий. Пусть существует отображение f ие­рархии I в некоторое упорядоченное множество T, которое может быть числовым (выплаты, численность страты), векторным (набор льгот и т.д.). Тогда определим отношение р на IxI сле­дующим образом: пара страт <А, В> лежит в р тогда и только тогда, когда f(A) = f(B).

Утверждение 3. Отношение р является от­ношением эквивалентности.

Доказательство. Докажем, что отношение р  рефлексивно, симметрично и транзитивно.

1.  Так какf(A) = f(A), то пара <А, А> лежит в р и отношения р  рефлексивно.

2.  Если пара <А, В> лежит в р, то f(A) = f(B), тогдаfB) = fA) и пара <В, А> лежит в р, значит отношение р  симметрично.

3. Пусть пары <А, В> и <В, С> принадлежат р. Тогдау(А) = fВ) иЛВ) = fC), значетДА) = f(C), пара <А, С> лежит в р и отношение р  транзитивно. Утверждение доказано.

Отношение эквивалентности р определяет на иерархии I разбиение на классы эквивалентности, которые образуют фактор  множество I1. Факто­ризация иерархий существенно упрощает иссле­дование категорий различных групп населения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Суровцева Н.Н., Клейменов В.Ф. О мо­дулярных решетках в иерархии страт // Успехи современного естествознания. 2010.  № 9. С. 204205.

2.   Биркгоф Г. Теория решеток.  М.: Наука,1984.  568 с.


Библиографическая ссылка

Клейменов В.Ф., Суровцева Н.Н. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СТРАТАМИ И ФАКТОРИЗАЦИЯ СИСТЕМ // Современные наукоемкие технологии. – 2010. – № 11. – С. 75-77;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=26122 (дата обращения: 23.01.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074