Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,279

Личный портфель
(отправить статью)

О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Еленская Е.Ю.
В теоремах существования неподвижных точек оператора, действующего в некотором пространстве, обычно требуется непрерывность этого оператора. Известны также условия существования неподвижных точек, в которых непрерывность оператора не требуется. Такие условия даются, например, в одной из систем условий теоремы 4.1  работы [2]. Изложим обобщение варианта этой теоремы, в котором непрерывность оператора заменяется непрерывностью его слева.

Пусть  Х - банахово пространство, ≤ - полуупорядоченность, порождённая  конусом  К.

Определение. Оператор  А: М → Х (М ⊂ Х) назовем непрерывным в точке x ∈ М слева, если для любой последовательности {x } ⊂ M, xn → x, xn ≤ x  выполняется Аxn → Аx.

Теорема 1. Пусть

1)  Х - банахово пространство,  К - правильный конус,  ≤ - полуупорядоченность, порожденная  конусом  К,

2)  u, v ∈ X, u ≤ v, - конусный отрезок, f, Au ≥ u, Av ≤ v,

3)  A - монотонен и непрерывен слева на  .

Тогда существует хотя бы одна неподвижная точка оператора А на конусном отрезке .

В условиях этой теоремы оператор А может быть разрывным. Укажем одно из возможных приложений этой теоремы к нелинейным интегральным операторам.

Теорема 2.  Пусть

1) k: [a,b] × [a,b] → R, где а,b ∈ R, a; k непрерывна;

2) существует такая непрерывная, не равная тождественно нулю функция f, y{t} ≥ 0 при t ∈ [a,b] , что f при t,s ∈ [a,b] ;

3) f : [0, + ∞) → [0, + ∞), не убывает и непрерывна слева

4) fпри  x → 0; f при x → + ∞.

Тогда существует хотя бы одна неподвижная точка интегрального оператора  A, определенного равенством  (Ax)(t) = f    в пространстве C[a,b].

Таким образом, приведённые теоремы позволяют отказаться от достаточно жёсткого условия непрерывности нелинейного оператора и заменить его непрерывностью слева. Это обобщение можно применить к исследованию краевых задач для нелинейных интегральных операторов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 2002.
  2. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

Библиографическая ссылка

Еленская Е.Ю. О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ // Современные наукоемкие технологии. 2007. № 4. С. 37-37;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=24759 (дата обращения: 04.11.2025).