Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

РАБОТА ДЕФОРМАЦИИ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Иванов Е.М.

Показано, что работа растяжения пружины A>kxm2 , где k - жесткость пружины, xm - максимальное растяжение. При вычислении работы f надо использовать значения x и dx, полученные из решения уравнения движения.

 

Показано, что работа растяжения пружины A>kxm2 , где k - жесткость пружины, xm - максимальное растяжение. При вычислении работы f надо использовать значения x и dx, полученные из решения уравнения движения.

 

It is shown, that work of a stretching of a spring A>kxm2  , where k - rigidity of a spring, xm - the maximal stretching. At calculation of work f it is necessary to use values x and dx, the equations of movement received from the decision.

Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой закреплен (рис. 1а), а к другому прикреплен груз массой m. Если пружину растянуть или сжать, то возникает сила F, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях x справедлив закон Гука - сила пропорциональна растяжению пружины: F = -kx. Постоянная k называется коэффициентом упругости, или жесткостью пружины. Знак минус означает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению x, т.е. к положению равновесия x = 0. Геометрически (рис. 1b) , k = tgβ, xm - максимальное (амплитудное) растяжение пружины.

p

В курсах физики утверждается, что работа при растяжении от x = 0 до xm будет равна

f                  (1)

и эта работа равна потенциальной энергии пружины, растянутой (или сжатой) на величину xm и обладающей жесткостью k. Однако это одно из заблуждений классической механики. Растягивающей силой, равной F = kx, нельзя растянуть пружину даже на долю микрона. Чтобы растянуть пружину, надо приложить растягивающую силу в виде (F1 + k1x ), где F1 >0 (рис. 2а). Уравнение движения (II закон Ньютона) запишем в следующем виде:

f                       (2)

Решение при нулевых начальных условиях (при t = 0, x =0 и V =0) имеет вид

f

p

Из решения следует, что если F1 =0, то растяжения пружины не происходит. Амплитудные значения (при x = xm):

f 

f

Работу вычисляем по формуле f, где F = F1 - (k - k1)x, а x и dx определяются из выражений (3) и (4). Работа, совершаемая растягивающей силой

f      (5)

Работа, совершаемая силой упругости пружины

f            (6)

Из соотношения (5) следует, что работа, совершаемая растягивающей силой, не зависит от величин F1 и k1 и равна работе

f          (5а)

совершаемой постоянной силой F0, при этом работа, совершаемая силой упругости пружины A-0 = -kxm2 разность работ ΔA0 = kxm2 / 2 , конечная скорость при  x = xm f На рис. 3 даны графики зависимостей Vm / V0 и ΔA = kxm2 от величины отношения K1 / K. ΔA - кинетическая энергия груза.

Рассмотрим случай растягивающей силы FP > F0 (рис.2b) FP = F2 + k2x  = F2 - b2x , где b2 = -k2 = tgα. Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

f                    (7)

p

Его решение при нулевых начальных условиях имеет вид:

f ;  f               (8)

f            (9)

Амплитудные значения (при x = xm): xm = F2 / mω2; f; f.

Работа, совершаемая растягивающей силой

f            (10)

Работа, совершаемая силой упругости пружины

 f                 (11)

Кинетическая энергия груза при x = xm

f                 (12)

На рис. 4 даны графики изменения безразмерных комплексов ΔA / kxm2 и Vm / V0 в зависимости от величины отношения k2 / k.

p

Рассмотрим третий способ растяжения пружины с грузом (рис. 2с). Прикладываем растягивающую силу Fa >>F0  для растяжения пружины на некоторое расстояние xa, затем сила Fa отключается, а оставшийся отрезок пути, равный xm - xa, груз проходит по инерции, используя запас кинетической энергии Ka, приобретенный в точке xa. Для первого участка пути дифференциальное уравнение имеет вид

f             (13)

Его решение при нулевых начальных условиях:

f; f                (14)

f                    (15)

Время движения до x = xa

f               (16)

Работу вычисляем по формуле f, где F(x) = Fa - kx, а x и dx определяются выражениями (14) и (15). Работа растяжения на участке до x = x0

           f                          (17)

Работа, совершаемая силой упругости пружины на этом же участке

f            (18)

Кинетическая энергия, приобретенная грузом:

f              (19)

Для второго участка уравнение движения имеет вид

f                (20)

Начальные условия для этого уравнения примем в виде: при t = 0 координата x = xa, скорость Va определяется выражением (15) при t = ta. Решение будет иметь вид:

f                   (21)

f           (21a)

Работа силы упругости пружины на участке от x = xa до xm определится интегралом f, где x и dx определяются выражениями (21) и (21а):

f        (22)

где tm ─ время движения груза от x=xa до x = xm. Условием достижения этой точки является равенство начальной кинетической энергии Ka работе силы упругости пружины A2. Это равенство сводится к трансцендентному уравнению

  f           (23)

где a = kxa2 / 2; b = Ka - a; c = kxaVa / 2ω; φ = ωtm.

Приведем численный пример. Груз массой m = 1 кг, прикрепленный к пружине с жесткостью k = 400 Н/м, растягивается силой F0 = 80 Н на расстояние xm = 0,2. Работа силы растяжения f Дж, работа силы упругости пружины f Дж, время t = 0,0785 с.

Проведем растяжение силой Fa по схеме, показанной на рис. 2с. Расчет сведем в таблицу 1.

Таблица 1.

Fa [H]

Ka [Дж]

ta [c]

xa [м]

A+ [Дж]

A- [Дж]

tm [c]

8000

8

0,0005

0,001

16

-8

0,078

800

7

0,00468

0,00876

14,015

-7,015

0,0762

200

6

0,0176

0,0309

12,19

-6,19

0,0696

80

3,75

0,0377

0,054

8,088

-4,338

0,0597

Таким образом, только в случае растяжения пружины с грузом по схеме, показанной на рис.2с, можно затратить работу на растяжение A+, близкую к потенциальной энергии растянутой пружины П = kxm2 / 2.


Библиографическая ссылка

Иванов Е.М. РАБОТА ДЕФОРМАЦИИ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 3. – С. 15-19;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=24676 (дата обращения: 28.11.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074