Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Иванов Е.М.

Если работа силы гравитации F3=GMm/r2 при свободном падении тела m от r0 до r1 равна A0=m (ф1-ф0), где ф= GM/r - гравитационный потенциал, то рбота сторонних сил для перемещения тела в противоположном направлении Ac всегда много больше A0 . И только в идеальном (теоретическом) случае при действии мгновенной силы в виде I0б(t), получаем Ac--A0 .I0=mV1 – единичный импульс силы, б(t) - дельта – функция Дирака, V1 - скорость тела в конце свобоного падения.

Статья в формате PDF

129 KB

(1)

где ,  - гравитационная постоянная. Если в точке r₀ начальная скорость равна нулю, то решение запишется в виде

 (2)

(3)

(2a)

Работу, совершаемую силой тяготения, можно определить, используя формулу (2) на основе соотношения:

 (4)

Если ввести понятие гравитационного потенциала , то выражение (4) для работы можно записать в виде

(4а)

В работах [1-3] показано, что работу можно так же вычислить, используя импульс силы I:

, где  (5)

где t_k - время движения от r₀ до r₁, а dt определяется выражением (2а). Чтобы переместить тело m обратно из точки r₁ в r₀, необходимо приложить стороннюю силу F, большую, чем гравитационная сила F₃=GMm/r² и направленную в противоположную сторону.

СЛУЧАЙ I. Сторонняя сила больше гравитационной на постоянную величину ΔF, т.е. силы, действующие на тело m, можно представить в виде:

 где . Под действием силы ΔF тело будет совершать равноускоренное движение. Соотношение между координатой и временем определяется выражениями:  и . Вычислим импульсы всех сил за время t_k (время движения от r₁ до r₀):

 (6)

;  (7)

Суммарная работа всех сил будет равна

Работа сторонней силы

 (8)

Работа гравитационной силы

 (9)

Отдельные составляющие работы будут определяться выражениями:

; (10)

Работа A₊ имеет минимум, соответствующей силе

 (11)

Приведем численный пример. Пусть тело массы m=1кг перемещается в гравитационном поле Земли

 в пределах:   м и  м. В случае свободного падения в соответствии с (4) получаем A = 35,9 МДж. Гравитационные силы в точках r₀ и r₁, соответственно равны F₀ =0,0399H,F₁ = 3,99 H. Совершим перемещение в обратном направлении при  ΔF =0,1 H . Работу A₊ в соответствии с (8) получаем в следующем виде: МДж, что в 31,7 раза больше А. По формуле (11) определяем  Н  и затрачиваемую работу , что в 10 раз больше А.

СЛУЧАЙ II. Сторонняя сила больше гравитационной на некоторый постоянный коэффициент β. Тогда силы, действующие на тело, можно записать в виде F = F₁+ F₂ - F₃, где . Под действием силы  тело будет совершать ускоренное движение от r₁ к r₀ . При нулевой начальной скорости, решая уравнение движения, последовательно находим:

 (12)

 (13)

 (14)

Импульсы сил при движении тела m от r₀  до r₁ соответственно равны

;        (15)

Работа сторонней силы

 (16)

Работа гравитационной силы

 (17)

Выражение (16) имеет минимум при β=1 (рис. 2)

 (18)

Что в 4 раза больше работы свободного падения A, определяемой выражением (4), при этом работа гравитационной силы . При β>>1 работа гравитационной силы стремится к минимальной величине, равной  (рис. 3).

СЛУЧАЙ III. Для перемещения тела m от r₁ к r₀ на него в течении небольшого времени t_* (при перемещении до r_*) действует постоянная сила F₀>F₃, обеспечивающая в точке r_* кинетическую энергию

 (19)

обеспечивающую перемещение тела m  по инерции от r_* до r₀. Уравнение движения в этом случае запишется в виде:

 (20)

При нулевых начальных условиях получим для участка от r₁  до r_* :

(21)

;                        (22)

Квадрат импульсов сил . Суммарная работа всех сил на участке от r₁ до r_* :

(23)

Работа силы тяги F₀ будет равна , «антиработа» гравитационной силы

Приближенные значения этих работ:

        (24)

 (25)

В случае F₀>>F₃ будем иметь

 (26)

при этом , а , определяемой выражением (4). Идеальным вариантом этого случая является действие мгновенной силы, для чего следует устремить время действия силы , а величину силы . Тогда получим мгновенную силу в виде I₀δ(t), где δ(t) - дельта - функция Дирака [4]. Единичный импульс силы будет равен I₀=mv₁, где V₁ определяется выражением (4).

СЛУЧАЙ 4. Рассмотрим перемещение тела m по дуге S окружности радиуса r₀. Если использовать выражение для работы (4а) с использованием гравитационного потенциала, то формально получаем A₀=0, так как в данном случае φ₁=φ₀. Но это неверное заключение, не работа A₀=0, а эта работа не может быть совершена силами данного поля. Для перемещения тела по дуге окружности необходимо действие двух сил: удерживающей силы F_y=-F₃, которая предотвращает свободное падение тела, и перемещающую силу F_T, направленную по касательной. Работа постоянной перемещающей силы

. Работа удерживающей силы , где t - время перемещения. Поскольку силы F_T и F_y взаимно перпенди-кулярны, то работы этих сил аддитивны, т.е. суммарная работа A_∑ = A_T + A_y

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

• Иванов Е.М. Работа и энергия в классической механике и I закон термодинамики // Фундаментальные ис-следования, №8, 2005, с. 11.
• Иванов Е.М. Работа при движении тел с трением // Фундаментальные исследования, №6, 2005, с. 10.
• Иванов Е.М. Определение работы и работа силы трения // Успехи современного естествознания. №8, 2005, с. 10.
• Арсенин В.Я. Математическая физика.- М.: Наука, 1966.

Библиографическая ссылка