Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Тактаров Н.Г. Егерева Э.Н.

Исследовано распространение нелинейных поверхностных гравитационных электрокапиллярных волн на поверхности слоя жидкого проводника.

Статья в формате PDF

160 KB

Система координат выбрана так, что невозмущённая поверхность жидкости совпадает с плоскостью z^* = 0, а жидкость занимает область z^* < 0. Ось z^* направлена против вектора g^→*, ось x^* совпадает  с направлением распространения волны.

Система уравнений движения жидкости и электрического поля вне проводящей жидкости имеет вид [1,2]:

                    (1)

 div^* v^→ * = 0,            rot^* E^→ *= 0,      div^* D^→* =0,

где ρ - плотность, v^→ *- скорость,  р^*- давление, g^→* - ускорение силы тяжести, ,  - напряжённость электрического поля,  ε = const - диэлектрическая проницаемость газа.

Из (1) следует   где  φ^* - электрический потенциал. При наличии волны можно записать

,   ,

где

Граничные условия на твёрдых поверхностях (обкладках конденсатора) и на свободной поверхности жидкости  z^*=ξ^*(x^*,t^*):

1) v_z * = 0 при z^*=-h₁* ; 2)    =  ,

где  при z^*=ξ^*(x^*,t^*);

3) φ_w* при  z^*= h₂*. Здесь p_a* - давление в атмосфере; n^→  - вектор нормали к поверхности жидкости, направленный из области 1 в - 2.

          Поверхностная плотность электрического заряда находится из равенства .

Примем, что все величины зависят от x^* , t^*  через x^* -с t^*, где с - фазовая скорость. В качестве малого параметра примем , где  - максимальное смещение поверхности,  - волновое число, λ - заданная длина волны.

Вводя безразмерные величины:

х = k(x^* - ct^*), z = kz^*,  , , , , ,  , , запишем уравнение движения (1) в безразмерном виде:

, ;

, ,

где - векторы осей x, z.

Граничные условия в безразмерном виде:

1) v_z = 0 (z = -h₁);

2)      ,

(z = δξ(x));                                                      (2)

 3) E^→ = 0, φ = 0, (z=h₂); где , , ,

Следует добавить также условия периодичности и симметрии волны относительно вертикали, проходящей через вершину волны.

Таким образом, имеем нелинейную краевую задачу для нахождения величин , решение которой ищем в виде рядов по малому параметру: ; ; ; ; ; ; ,                 (3)

где n - натуральное число.

В граничных условиях (2) все величины следует разложить в ряд Тейлора в окрестности невозмущённой поверхности z = 0. Подставляя ряды (3) в уравнения и граничные условия (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях δ, получим систему уравнений для нахождения первого, второго и третьего приближений. Для нахождения последовательных приближений запишем величины v_zj , E_xj , E_zj (j = 0;1;2) во всех приближениях в виде рядов по нормированным собственным функциям линейной задачи, соответствующей параметру δ = 0:

,  

где j=0, 1, 2, 3, ...

Здесь - неизвестные коэффициенты.

В первом (линейном) приближении получим:

;

 ;

 ;

 ;

ξ_o=cos nx; .

Аналогично находятся второе и третье приближения. Собирая вместе все три приближения окончательно запишем решение задачи с точностью до третьего приближения включительно:

;

;     (4)

;

;

,

где  = ,   ,

N = g+σ_ckn² - εσ_ekn ; Q⁽¹⁾ = ;

; ; ;

K₁=3g(cth²nh₁ - 1) + 3n²kσ_c(3cth²nh₁ - 1) + nεσ_ek{(3 -  cth²nh₁) (cthnh₁ + cthnh₂) - 2(cthnh₂ + 2)cth2nh₂·cth²nh₁};

L₁ = g + kn²σ_c(1 - 3cth²nh₁) + nεσ_ek(cth²nh₁ - 1)cthnh₂;

,

,

 L₂= 4(3σ_ckn²cth²nh₁ - g).

На рис.1 приведён график зависимости частоты ω от E₀* при δ=0,1, g=981 см/с² ; h₁*=5 см, h₂*=5 см и различных значениях λ для жидкого натрия при температуре С, имеющего следующие значения параметров: ρ = 0,9 г/см³, α = 200 дин/см . При увеличении λ графики «сжимаются» вдоль оси ω и «вытягиваются» вдоль оси E₀*. Для каждого значения λ существует значение E₀*, при котором ω = 0. Чем меньше λ, тем круче «опускается» график с ростом E₀*. Для всех длин волн величина ω достигает максимума при E₀*= 0. Таким образом, электрическое поле уменьшает частоту волны.

Рисунок 2. Зависимость частоты ω от E₀*

На рис.2 изображён график зависимости  на интервале  (по оси абсцисс отложены значения x, а по оси ординат  значения ξ) при k = 2 см ^-1, E₀*= 40 единиц СГС, h₁*= 3см, h₂*=5см, δ =0,1. Амплитуда ξ (x) при x = ± 1,486. Единица измерения E* в системе CГС равна 300 В/см. Отметим, что электрический пробой воздуха наступает примерно при E*₀ = 30 кВ/см.

Рисунок 2. График зависимости ξ(x) на интервале

Рассмотрим частный случай, когда толщина слоя жидкости мала  , т. е. длина волны велика, а область 2, занятая газом, имеет большую толщину . Выражение для фазовой скорости имеет вид: , где

 А - некоторый параметр, зависящий от величин k,h1 ,h2 , α, g,E0_* , ρ.

При отсутствии электрического поля и поверхностного натяжения выражение для фазовой скорости совпадает с известным выражением в обычной гидродинамике [3]. В линейном приближении δ = 0 фазовая скорость равна

. При , когда  получим выражение для высоты волны [3]:

,  где .

Если , , то .

Для исследования полученных результатов введём два безразмерных параметра взаимодействия, характеризующих относительную величину капиллярных и электрических сил по сравнению с гравитационными ,

Смещение точек свободной поверхности жидкости (4) запишем в виде (n=1):

,(5)

, ,

,

,

,

Отметим, что выражение (5) неприменимо при ,

При  (гравитационная волна) выражение (5) совпадает с полученным в [3] .

Выражение для высоты волны (расстояние по вертикали от впадины при х = π до уровня вершины) при х = 0 имеет вид:

,               (6)

Рассмотрим далее частный случай:  Коэффициенты в выражение (5) в этом случае примут вид:

,

,

Отметим, что выражение (5) неприменимо при П_Е - П_с = 1, П_Е = =3П_с. При отсутствие поверхностного натяжения П_с = 0 (0 < П_Е < <1), получим . Откуда видно, что амплитуда волны зависит линейно от величины П_Е.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. - 735 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - 624 с.
3. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжёлой жидкости. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. - 196 с.

Библиографическая ссылка