Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ЭЛЕКТРОКАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА СЛОЕ ЖИДКОГО ПРОВОДНИКА

Тактаров Н.Г. Егерева Э.Н.
Исследовано распространение нелинейных поверхностных гравитационных электрокапиллярных волн на поверхности слоя жидкого проводника.
Рассматривается распространение волн на заряженной поверхности слоя жидкого проводника, находящегося в зазоре конденсатора, создающего вертикальное электрическое поле. Жидкость граничит со средой пренебрежимо малой плотности (газом) и предполагается несжимаемой и однородной. Величины, относящиеся к слою жидкости толщиной  h1* и газа - толщиной h2*, обозначаются индексами 1 и 2 соответственно.

Система координат выбрана так, что невозмущённая поверхность жидкости совпадает с плоскостью z* = 0, а жидкость занимает область z* < 0. Ось z* направлена против вектора g→*, ось x* совпадает  с направлением распространения волны.

Система уравнений движения жидкости и электрического поля вне проводящей жидкости имеет вид [1,2]:

                    (1)

 div* v * = 0,            rot* E *= 0,      div* D* =0,

где ρ - плотность, v *- скорость,  р*- давление, g* - ускорение силы тяжести, ,  - напряжённость электрического поля,  ε = const - диэлектрическая проницаемость газа.

Из (1) следует   где  φ* - электрический потенциал. При наличии волны можно записать

,   ,

где

Граничные условия на твёрдых поверхностях (обкладках конденсатора) и на свободной поверхности жидкости  z**(x*,t*):

1) vz * = 0 при z*=-h1* ; 2)    =  ,

где  при z**(x*,t*);

3) φw* при  z*= h2*. Здесь pa* - давление в атмосфере; n  - вектор нормали к поверхности жидкости, направленный из области 1 в - 2.

          Поверхностная плотность электрического заряда находится из равенства .

Примем, что все величины зависят от x* , t*  через x* t*, где с - фазовая скорость. В качестве малого параметра примем , где  - максимальное смещение поверхности,  - волновое число, λ - заданная длина волны.

Вводя безразмерные величины:

х = k(x* - ct*), z = kz*,  , , , , ,  , , запишем уравнение движения (1) в безразмерном виде:

, ;

, ,

где - векторы осей x, z.

Граничные условия в безразмерном виде:

1) vz = 0 (z = -h1);

2)      ,

(z = δξ(x));                                                      (2)

 3) E = 0, φ = 0, (z=h2); где , , ,

Следует добавить также условия периодичности и симметрии волны относительно вертикали, проходящей через вершину волны.

Таким образом, имеем нелинейную краевую задачу для нахождения величин , решение которой ищем в виде рядов по малому параметру: ; ; ; ; ; ; ,                 (3)

где n - натуральное число.

В граничных условиях (2) все величины следует разложить в ряд Тейлора в окрестности невозмущённой поверхности z = 0. Подставляя ряды (3) в уравнения и граничные условия (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях δ, получим систему уравнений для нахождения первого, второго и третьего приближений. Для нахождения последовательных приближений запишем величины vzj , Exj , Ezj (j = 0;1;2) во всех приближениях в виде рядов по нормированным собственным функциям линейной задачи, соответствующей параметру δ = 0:

,  

где j=0, 1, 2, 3, ...

Здесь - неизвестные коэффициенты.

В первом (линейном) приближении получим:

;

 ;

 ;

 ;

ξo=cos nx; .

Аналогично находятся второе и третье приближения. Собирая вместе все три приближения окончательно запишем решение задачи с точностью до третьего приближения включительно:

;

 

;     (4)

 

;

;

,

где  = ,   ,

N = g+σckn2 - εσekn ; Q(1) = ;

; ; ;

K1=3g(cth2nh1 - 1) + 3n2kσc(3cth2nh1 - 1) + nεσek{(3 -  cth2nh1) (cthnh1 + cthnh2) - 2(cthnh2 + 2)cth2nh2·cth2nh1};

L1 = g + kn2σc(1 - 3cth2nh1) + nεσek(cth2nh1 - 1)cthnh2;

,

,

 L2= 4(3σckn2cth2nh1 - g).

На рис.1 приведён график зависимости частоты ω от E0* при δ=0,1, g=981 см/с2 ; h1*=5 см, h2*=5 см и различных значениях λ для жидкого натрия при температуре С, имеющего следующие значения параметров: ρ = 0,9 г/см3, α = 200 дин/см . При увеличении λ графики «сжимаются» вдоль оси ω и «вытягиваются» вдоль оси E0*. Для каждого значения λ существует значение E0*, при котором ω = 0. Чем меньше λ, тем круче «опускается» график с ростом E0*. Для всех длин волн величина ω достигает максимума при E0*= 0. Таким образом, электрическое поле уменьшает частоту волны.

 

Рисунок 2. Зависимость частоты ω от E0*

На рис.2 изображён график зависимости  на интервале  (по оси абсцисс отложены значения x, а по оси ординат  значения ξ) при k = 2 см -1, E0*= 40 единиц СГС, h1*= 3см, h2*=5см, δ =0,1. Амплитуда ξ (x) при x = ± 1,486. Единица измерения E* в системе CГС равна 300 В/см. Отметим, что электрический пробой воздуха наступает примерно при E*0 = 30 кВ/см.


Рисунок 2. График зависимости ξ(x) на интервале

Рассмотрим частный случай, когда толщина слоя жидкости мала  , т. е. длина волны велика, а область 2, занятая газом, имеет большую толщину . Выражение для фазовой скорости имеет вид: , где

 А - некоторый параметр, зависящий от величин k,h1 ,h2 , α, g,E0* , ρ.

При отсутствии электрического поля и поверхностного натяжения выражение для фазовой скорости совпадает с известным выражением в обычной гидродинамике [3]. В линейном приближении δ = 0 фазовая скорость равна

. При , когда  получим выражение для высоты волны [3]:

,  где .

Если , , то .

Для исследования полученных результатов введём два безразмерных параметра взаимодействия, характеризующих относительную величину капиллярных и электрических сил по сравнению с гравитационными ,

Смещение точек свободной поверхности жидкости (4) запишем в виде (n=1):

,(5)

, ,

,

,

,

Отметим, что выражение (5) неприменимо при ,

При  (гравитационная волна) выражение (5) совпадает с полученным в [3] .

Выражение для высоты волны (расстояние по вертикали от впадины при х = π до уровня вершины) при х = 0 имеет вид:

,               (6)

Рассмотрим далее частный случай:  Коэффициенты в выражение (5) в этом случае примут вид:

,

,

Отметим, что выражение (5) неприменимо при ПЕ - Пс = 1, ПЕ = =3Пс. При отсутствие поверхностного натяжения Пс = 0 (0 < ПЕ < <1), получим . Откуда видно, что амплитуда волны зависит линейно от величины ПЕ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. - 735 с.
  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - 624 с.
  3. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжёлой жидкости. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. - 196 с.

Библиографическая ссылка

Тактаров Н.Г., Егерева Э.Н. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ЭЛЕКТРОКАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА СЛОЕ ЖИДКОГО ПРОВОДНИКА // Современные наукоемкие технологии. – 2004. – № 5. – С. 10-15;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=21935 (дата обращения: 17.04.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674