Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,279
FAST EXPANSIONS METHOD IN THE CONTEXT OF CLASSICAL MATHEMATICAL PHYSICS IN THE PARADIGM OF NONLOCALITY
Введение
В контексте классической математической физики применительно к решению краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений и их систем используется ряд эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий. Так, в [1] используется метод конечных интегральных преобразований, в [2] обсуждаются методы теории возмущений, вариационные методы, метод гомотопического возмущения, принцип максимума Понтрягина, используются метод энергетического баланса, метод Рунге – Кутты, в [3] исследуются метод Эйлера, метод Кранка – Николсон, метод Ньютона, метод линий.
Предложенный профессором А. Д. Чернышовым в [4] метод быстрых разложений занимает особое место в этом ряду в том смысле, что позволяет получить приближенное аналитическое решение краевой задачи в виде его разложения (так называемого быстрого разложения) в быстро сходящийся ряд по «удобным» для исследования функциям с возможностью многократного почленного дифференцирования. Быстрое разложение формируется на основе обычного ряда Фурье добавлением специальных членов (обычно полиномиальных), образующих так называемую граничную функцию, введение которой, как показано в [5], кардинально улучшает свойства ряда Фурье, в том числе скорость его сходимости. Данный метод успешно применялся в [6] для исследования некоторых математических моделей. Несмотря на достаточную универсальность метода, его применение к различным классам задач классической математической физики имеет свою специфику, обусловливающую необходимость разработки подходящего способа использования (надлежащей адаптации метода) с применением современных компьютерных технологий (посредством применения систем компьютерной алгебры и систем компьютерной математики для численных расчетов). Так, особенности применения при решении уравнений Навье – Стокса рассмотрены в [7], уравнения Пуассона – в [8]. В [9, 10] метод применялся к задачам деформируемого твердого тела. Особенности применения при решении задачи о диффузии рассмотрены в [11], задач теплопроводности – в [12, 13]. В [14, 15] метод применялся к моделированию полета космического корабля.
Эти и некоторые другие ранее разработанные способы использования эффективного вычислительного метода быстрых разложений в контексте классической математической физики с применением современных компьютерных технологий относятся к парадигме локальности, в которой физические взаимодействия, механические напряжения, потоки вещества и тепла распространяются локально. В парадигме же нелокальности взаимодействия имеют характер дальнодействия в смысле нелокальности, которое рассматривалось, например, в [16]. В этой парадигме возможности данного метода рассматривались в контексте классического гармонического системного анализа (одно из перспективных направлений системного анализа) в [17–19], но не в контексте классической математической физики.
Цель исследования – разработка способа использования эффективного вычислительного метода быстрых разложений в контексте классической математической физики в парадигме нелокальности с применением современных компьютерных технологий (посредством применения систем компьютерной алгебры и систем компьютерной математики для численных расчетов) путем подходящей адаптации этого метода к указанной парадигме.
Материалы и методы исследования
Методы исследования: вычислительный метод быстрых разложений, эффективный применительно к задачам классической математической физики, а также метод вычислительного эксперимента с применением Maple 2025 в качестве системы компьютерной алгебры и одновременно в качестве системы компьютерной математики для численных расчетов.
Показательный пример задачи классической математической физики в парадигме нелокальности – задача Коши:
, (1)
, 
, (2)
, (3)
где 
, 
, 
,
, 
, 
, 
, 
.
Естественная физическая интерпретация задачи (1)–(3) – прямолинейное с течением времени 
в инерциальной системе отсчета (ИСО) взаимное удаление в вакууме двух одноименных точечных электрических зарядов с номерами α (начало координат ИСО удобно выбрать так, чтобы в начальный момент времени t = –τ центр масс был в нем и имел нулевую скорость),
где 
; 
; 
; χ – индикатор радиационного трения (χ = 1, если учитывается, χ = 0, иначе); Qα > 0, mα > 0, sαχ – абсолютная величина, масса точечного заряда α и расстояние от него до начала координат с учетом χ; c – постоянная скорости света; ε0 – электрическая постоянная. Эта интерпретация соединяет закон Кулона, формулу Лоренца и второй закон Ньютона [17–19]. Она не содержит в явном виде ни физических полей, ни сплошных материальных сред, ни прочих материальных посредников взаимодействия, а потому взаимодействие нелокально. Кроме того, (1) не содержит в явном виде запаздывания, а потому оно мгновенно. Выбор области определения [–τ; τ] функций sαχ(t) не ограничивает общности рассмотрения и обусловлен удобством применения метода быстрых разложений для (1)–(3). Выбор ИСО накладывает ограничения на Rβα, 
в (2):
, . (4)
После введения инвариантных относительно выбора ИСО величины 
и скорости (подходящим выбором τ удобно выбрать ее нулевой при t = –τ) 
взаимного удаления зарядов условие (2) уточняется в силу (4) формулой
,
, , 
. (5)
При χ = 0 система двух зарядов замкнута, поэтому на всем промежутке времени [–τ; τ] ее центр масс покоится в начале координат. Тогда
и система уравнений (1) сводится к единственному уравнению
,
. (6)
При χ = 1 система зарядов диссипативна (теряет энергию на излучение за счет работы сил радиационного трения), поэтому ее центр масс движется с ненулевыми скоростью и ускорением на всем промежутке времени (–τ; τ], и (1) не сводится к единственному уравнению.
Производные в (1) имеют как четный (второй), так и нечетный (третий) порядок, а такая ситуация подпадает под регламентацию метода быстрых разложений предпочтительного использования универсальных быстрых разложений, предложенных в [20]. Аппроксимация неизвестных функций sαχ(t) при заданном χ универсальными быстрыми разложениями ŝαχ pN(t) с полиномиальными граничными функциями одинакового заданного четного порядка p с неизвестными коэффициентами Aαχq и с частичными суммами ряда Фурье заданного порядка N с неизвестными коэффициентами aαχ0, aαχm, bαχm, 
имеет вид
, (7)
, 
, 
, (8)
где Pq(t) – быстрые полиномы А. Д. Чернышова, введенные в [20]. r-кратное (
) дифференцирование (7) с использованием символа Кронекера δ•• и с подстановкой t = –τ дает
, (9)
. (10)
В (10) 
, , , 
и 
, задаются начальными условиями (2), (3), (5), а , , , 
и 
, , 
находятся подстановкой t = –τ в результат многократного дифференцирования систем (1), (6).
Точность быстрых разложений (7)–(8) обусловлена величиной p и N. Искомые функции ŝ10pN(t), ŝ11pN(t), ŝ21pN(t) имеют 3p + 6N + 6 параметров A10q, A11q, A21q, a100, a110, a210, a10m, a11m, a21m, b10m, b11m, b21m, 
, – решение системы 3p + 6N + 6 нелинейных алгебраических уравнений. Первые 3p + 3 из них есть (11) с заменой ≈ на =:
, (11)
, 
, . (12)
Следующие 3N + 3 и последние 3N даются подстановкой ŝαχ = ŝαχ pN в (1), (6), умножением на cos(mπt/τ), 
и на sin(mπt/τ), 
, интегрированием по 
:
, (13)
, (14)
, 
. (15)
Система (12)–(14) относительно Aα1q, aα10, aα1m, bα1m, 
, 
, для аппроксимации sα1(t) по (7)–(8) и система (11), (15) относительно A10q, a100, a10m, b10m, 
, 
для аппроксимации s10(t) по (7)–(8) независимы. Метод предусматривает трехкратное (по порядку системы) дифференцирование полиномиальных граничных функций со снижением их порядка на 3, после которого он должен остаться не ниже порядка системы (1): p–3≥3. В итоге примем минимально допустимые p = 6, N = 1. Для 
из (8) имеем
(16)
Дифференцирование (1) при χ = 1 и (6) с подстановкой t = –τ с учетом (2), (3), (5) дает
; 
; (17)
; (18)
; (19)
; 
; (20)
; 
. (21)
Из (9), (10), (16) получаем для функций ŝ1061(r)(t), ŝ1161(r)(t), ŝ2161(r)(t), 
тридцати неизвестных параметров A10q, a100, a101, b101, Aα1q, aα10, aα11, bα11, 
, 
:
(22)
(23)
(24)
(25)
; (26)
; (27)
; (28)
; (29)
; (30)
; (31)
; (32)
; (33)
; 
; (34)
Система (11)–(15), где sαχ(r)(–τ), ŝαχ61(r)(t), ŝαχ61(r)(–τ) определены (2), (3), (5), (17)–(34), есть
, 
, 
; (35)
; (36)
; (37)
; (38)
; 
; 
. (39)
Интегралы в (36)–(39) – берущиеся. Для их символьного вычисления удобно использовать системы компьютерной алгебры, после чего (35)–(39) задают разрешимую систему нелинейных алгебраических уравнений. Для ее численного решения удобно использовать системы компьютерной математики для численных расчетов.
Результаты исследования и их обсуждение
Для верификации предложенного способа использования метода быстрых разложений в контексте классической математической физики в парадигме нелокальности на примере задачи (1)–(3), (5), (6) проведен с применением Maple 2025 вычислительный эксперимент с данными в таблице.
Исходные и выходные данные расчетов
|
Исходные данные |
|||||||||
|
ηα |
τ |
R0 |
θα |
ξα |
|||||
|
1 |
1 |
2 |
1 |
0,8 |
|||||
|
Выходные данные |
|||||||||
|
A100 |
A101 |
A102 |
A103 |
A104 |
A105 |
A106 |
a100 |
a101 |
b101 |
|
6,243х10-1 |
5,369х10-1 |
-2,320х10-1 |
-8,162х10-2 |
4,412х10-1 |
3,687х10-1 |
-3,465х10-1 |
1,176х100 |
8,348х10-4 |
-7,036х10-5 |
|
Aα10 |
Aα11 |
Aα12 |
Aα13 |
Aα14 |
Aα15 |
Aα16 |
aα10 |
aα11 |
bα11 |
|
4,878х10-1 |
4,407х10-1 |
-1,304х10-1 |
7,457х10-2 |
1,672х10-1 |
-1,614х10-1 |
-3,136х10-1 |
1,136х100 |
1,833х10-5 |
1,241х10-4 |
Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.
Графики быстрых разложений (зависимости расстояния s от времени t). Примечание: составлен авторами по результатам данного исследования
Искомые быстрые разложения ŝ1061(t), ŝα161(t), аппроксимирующие решения s10(t), sα1(t), определяются (22), где параметры A10q, a100, a101, b101, Aα1q, aα10, aα11, bα11, 
, вычисленные решением (35)–(39), заданы в таблице. Графики ŝ1061(t) и ŝα161(t) приведены на рисунке (верхняя и нижняя кривые соответственно), причем отклонение нижней кривой от верхней наглядно показывает тормозящее действие силы радиационного трения.
Заключение
В настоящей работе проведена с применением современных компьютерных технологий (посредством применения систем компьютерной алгебры и систем компьютерной математики для численных расчетов на примере Maple 2025) адаптация эффективного вычислительного метода быстрых разложений к парадигме нелокальности в контексте классической математической физики на примере задачи Коши для системы двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, описывающей прямолинейное взаимное удаление в вакууме двух одноименных точечных электрических зарядов с возможностью учета радиационного трения. Тем самым цель работы достигнута.
Научная новизна: способ использования эффективного вычислительного метода быстрых разложений в контексте классической математической физики с применением современных компьютерных технологий (посредством применения систем компьютерной алгебры и систем компьютерной математики для численных расчетов), отличающийся от известных аналогов адаптацией этого метода к парадигме нелокальности на примере задачи Коши для системы двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, описывающей прямолинейное взаимное удаление в вакууме двух одноименных точечных электрических зарядов с возможностью учета радиационного трения. Формулы (7), (8), (22) непосредственно регламентируются методом быстрых разложений для данной задачи, а (35)–(39) – разработанным способом использования данного метода.
Практическая значимость: полученные результаты могут быть использованы при математическом моделировании физических процессов в контексте классической математической физики в парадигме нелокальности с применением современных компьютерных технологий (посредством применения систем компьютерной алгебры и систем компьютерной математики для численных расчетов) для использования эффективного вычислительного метода быстрых разложений за счет подходящей адаптации этого метода к парадигме нелокальности.
Conflict of interest
Financing
Библиографическая ссылка
Дубровин А. С., Сумин В. И., Кравченко А. С. МЕТОД БЫСТРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В КОНТЕКСТЕ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В ПАРАДИГМЕ НЕЛОКАЛЬНОСТИ // Современные наукоемкие технологии. 2026. № 6. С. 82-89;URL: https://top-technologies.ru/en/article/view?id=40820 (дата обращения: 03.07.2026).
DOI: https://doi.org/10.17513/snt.40820