Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

OPTIMUM CONTROL OF A QUASILINEAR OSCILLATORY SYSTEM WITH DISTRIBUTED PARAMETERS

Baetov A.K. 1 Beksultanov Zh.T. 1 Asanova Zh.K. 1 Soltohkulova Zh.M. 1
1 Kyrgyz State University named after I. Arabaev
This article researches the optimal control problem for a distributed oscillatory system, the state of which is described by a quasilinear partial differential equation of hyperbolic type, and the control quality is characterized by an integral functional containing a small parameter. Using asymptotic expansions of the generalized solution of the initial initial-boundary-value problem that describes the controlled oscillatory process, the original problem is replaced by a countable system of ordinary differential equations, with the corresponding initial conditions. By a similar expansion in the Fourier series of the integrand, the functional evaluating the quality of control of the initial oscillatory process is transformed. Instead of a countable system of ordinary differential equations, a shortened system with the corresponding quality functional is considered. In addition, the optimal control problem is formulated for this system, i.e. we will seek a control function from an admissible class of controls, which, together with the solutions of the obtained shortened system of ordinary differential equations, minimizes the resulting functional. Optimal control is constructed, according to the necessary optimality condition in the form of the Pontryagin maximum principle, from the Hamilton function. The canonical system of equations of the boundary value problem is written out, the maximum principle. The convergence of the approximation in the functional is proved, which ensures the optimality of the control found. Also obtained are some estimates on the functionality of how pleasing accuracy.
Optimal control
quality functional
asymptotic expansion
counting system
maximum principle
Hamilton function

Многие колебательные процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа. Поэтому задачи оптимального управления такими процессами всегда являются актуальными. В данной работе исследуется задача оптимального управления колебательной системой, описывающейся квазилинейным уравнением в частных производных гиперболического типа. Строится приближенное оптимальное управление. Доказана сходимость приближения по функционалу.

Цель исследования: исследовать задачу оптимального управления слабо управляемой квазилинейной системой с распределенными параметрами. Исследование состоит в том, чтобы построить приближенное оптимальное управление, доказать сходимость приближения по функционалу, получить оценки сколь угодной точности.

Рассмотрим задачу оптимального управления слабо управляемой квазилинейной системой с распределенными пара- метрами.

Пусть управляемый процесс описывается в области

Q = {0 < x < 1, 0 < t < T}

уравнением

missing image file (1)

с начальными

missing image file (2)

и граничными

missing image file (3)

условиями.

Здесь U(x, t) – функция, которая описывает рассматриваемый колебательный процесс, a – некоторая известная скалярная величина; ε – положительный малый параметр; F – некоторая непрерывная функция своих аргументов, определенная в области missing image file, где missing image file p(x, t) – управляющая функция из некоторого класса допустимых управлений.

Следуя [1; 2], обозначим через missing image file замыкание в норме missing image file множества всех непрерывно дифференцируемых в Q функций, равных нулю вблизи границы множества Q, а через missing image file – элементы из missing image file, равные нулю при t = T.

Обобщенным решением смешанной задачи (1)–(3) называется [3–5] такая функция u(x, t), которая принадлежит пространству missing image file и удовлетворяет интегральному тождеству

missing image file (4)

для любой функции missing image file. При этом первое условие (2) понимается в том смысле, что

missing image file при Δt → 0. (5)

Теперь сформулируем задачу оптимального управления: найти допустимое управление p0(x, t) и соответствующее ему обобщенное решение u(x, t) смешанной задачи (1)–(3), на которых функционал

missing image file (6)

принимает наименьшее возможное значение.

Будем предполагать в (1), (2), (6), что missing image file, missing image file и missing image file. Также предположим, что функции F(x, t, u, ut, ux, p) и F0(x, t, u, ut, ux, p), входящие в правую часть уравнения (1) и в функционал (6), удовлетворяют условиям [6].

missing image file

missing image file (7)

Рассмотрим невозмущенное уравнение

missing image file (8)

при тех же начальных и граничных условиях (2), (3).

Известно, что при вышеприведенных предположениях существует счетная система положительных собственных чисел {λk} (k = 1, 2, …) и соответствующая ей полная ортонормированная система обобщенных собственных функций {Хk(х)}, а единственное обобщенное решение смешанной задачи (8), (2), (3) можно представить в виде ряда

missing image file (9)

где ωk = а λk – частоты нормальных колебаний, missing image file,

missing image file. Так как система обобщенных собственных функций {Хk(х)} полна в L2[0, 1] и missing image file для любых функций missing image file и missing image file их ряды Фурье по этой системе сходятся в missing image file и L2[0, 1] соответственно к самим функциям.

В связи с малостью возмущений форма колебаний возмущенной системы определяется с достаточной точностью теми же обобщенными собственными функциями Хk(х), что и форма колебаний невозмущенной системы.

Решение возмущенного уравнения (1) ищем в виде ряда [7; 8]

missing image file (10)

где Ak(t, ε), Bk(t, ε), (k = 1, 2,…) – неизвестные функции, подлежащие определению; Хk(х), (k = 1, 2,…) – обобщенные собственные функции краевой задачи.

missing image file

missing image file

Предположим, что [9–11]

missing image file

и функция

missing image file,

missing image file,

missing image file, missing image file (11)

разлагается в ряд Фурье по обобщенным собственным функциям

Хk(х) (k = 1, 2,…):

missing image file (12)

где fk(t, A, B, p) – коэффициент Фурье.

missing image file. (13)

Тогда для определения неизвестных функций Ak(t, ε) и Bk(t, ε) получим счетную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

missing image file

missing image file (14)

k = 1, 2, … .

Как было отмечено выше, функции φ(x) и ψ(x) разлагаются в ряд Фурье по обобщенным собственным функциям Хk(х)

missing image file (15)

с коэффициентами Фурье

missing image file (16)

и эти ряды (15) сходятся к самим функциям φ(x) и ψ(x) соответственно.

Отсюда для однозначного определения неизвестных функций Ak(t, ε) и Bk(t, ε) в (14) будем иметь начальные условия

missing image file (17)

При аналогичном разложении в ряд Фурье подынтегральной функции F0 по обобщенным собственным функциям Хk(х) функционал (6), оценивающий качество управления исходным колебательным процессом, преобразуется к виду

missing image file (18)

где

missing image file (19)

коэффициенты Фурье разложения в ряд функции

missing image file,

missing image file,

missing image file, missing image file

по обобщенным функциям Хk(х).

Вместо счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (14) рассмотрим укороченную систему

missing image file

missing image file (20)

k = 1, 2, … n.

с начальными условиями

missing image file (21)

где

missing image file

а вместо функционала (18) рассмотрим функционал

missing image file (22)

где

missing image file

Рассмотрим функцию

missing image file (23)

где Akn(t, ε), Bkn(t, ε) есть решение системы (20) начальным условием (21) при каждом фиксированном Р. Определенную таким образом функцию u(x, t, ε) назовем приближенным обобщенным решением смешанной задачи (1)–(3).

Теперь вместо сформулированной выше задачи оптимального управления (1)–(3), (6) будем решать другую задачу оптимального управления, т.е. будем искать управляющую функцию Р на класс допустимых управлений, которая вместе с решениями системы

missing image file

missing image file (24)

k = 1, 2, … n

с начальными условиями

missing image file (25)

минимизирует функционал

missing image file (26)

где A = {A1, ….., An}, B = {B1, ….., Bn}, P = {P1, ….., Pn}.

Согласно необходимому условию оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина [5; 10; 14] составим функцию Гамильтона Н

missing image file (27)

где Н имеет вид

missing image file (28)

где ξk(t), ηk(t), (k = 1, 2,…, n) – сопряженные функции и функциям Ak(t) и Bk(t) соответственно, которые удовлетворяют отношениям

missing image file

missing image file (29)

где

missing image file,

missing image file,

missing image file (30)

а оптимальное управление

missing image file

определяется из (27).

Предполагая, что функции f* и missing image file обладают необходимыми свойствами гладкости, окончательно имеем каноническую систему уравнений краевой задачи принципа максимума

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file (32)

с начальными

missing image file

и краевыми

missing image file (33)

условиями, получаемыми из условия трансверсальности [5; 6].

Здесь missing image file – постоянный вектор, который исключается при решении краевой задачи (32), (25), (33).

Пусть теперь P0 есть оптимальное управление для задачи (24)–(26), а Р* есть оптимальное управление для задачи (14), (17), (18). Также предположим, что коэффициенты Фурье (19) удовлетворяют условию missing image file (k = 1, 2,…), где λk образуют сходящийся числовой ряд missing image file Тогда, очевидно, имеет место неравенство

missing image file

Отсюда согласно неравенству (1.10) в [12] имеем

missing image file (34)

Оценим правую часть неравенства (34)

missing image file

Согласно сделанному выше предположению получим

missing image file

По признаку сходимости числового ряда missing image file имеем

missing image file

где δ > 0 малая const. Отсюда окончательно получим оценку

missing image file

Теперь находим предел при n → ∞

missing image file

т.е.

missing image file

Тогда на основании теоремы 2 в [12–14] имеем сходимость

missing image file

что и требовалось доказать.

Заключение

С помощью асимптотического разложения исходная краевая задача оптимального управления приведена к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для приближенного оптимального управления выписана каноническая система уравнений краевой задачи принципа максимума. Доказана сходимость приближения по функционалу и получены некоторые оценки.