Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

MATHEMATICAL AND IMITATION MODELING OF EFFECTIVE ADMINISTRATION BROADBAND WIRELESS NETWORKS

Cu Duc Toan 1 Nuriev N.K. 1 Pechenyy Е.А. 1 Do Son Ha 1 Nguyen Ngoc Quynh 1
1 Kazan National Research Technological University
This article presents the results of a study that simulates a Wi-Fi connection system based on analytical work, a study of models for a cycling polling system with two or more queues and queuing services above the threshold value. The analysis of the model for a cyclical (polling) system that adequately describes the broadband wireless networks WiFi and WiMax was presented. Queues are serviced according to a comprehensive threshold discipline, which means that a queue is serviced if its length exceeds a predefined threshold. If the length of all the queues is not enough to start the service, the server will stop voting until some for them receive the required number of clients. Based on the stationary probability distribution of the states for the polling system, the main performance characteristics were established, such as the average queue length, the probability of failure. The article contains simulation simulations for a Wi-Fi network connection system based on two-queue simulation queuing systems. The graphs show simulation results that demonstrate the dependence of queue lengths on the number of users. The reliability of the results is presented in the article based on the use for the methods of mathematical simulation, which correspond to the goals and objectives set in the work.
wireless networks
polling system
applications
queues
server
mathematical model

Рост сотовых технологий во всем мире последние годы происходит высокими темпами. В настоящее время около 5 млрд человек получают услуги беспроводной связи. Развитие сетевых технологий обычно делится на несколько поколений. Основной причиной этого роста является недорогая вычислительная мощность, которая приводит к доступным адаптерам беспроводной локальной сети WLAN (Wireless Local Area Network) и точкам доступа. Технологии и алгоритмы, используемые в различных поколениях сетей WLAN, также способствовали постепенному улучшению их производительности. Беспроводная локальная сеть (WLAN) в настоящее время является одной из наиболее востребованных технологий для беспроводного широкополосного доступа. Значительное повышение интереса к моделям систем поллинга обусловлено быстрым развитием широкополосных беспроводных сетей передачи данных. Был представлен анализ модели циклической (опросной) системы, адекватно описывающей широкополосные беспроводные сети WiFi и WiMax [1]. Более интересным с точки зрения приложений является случай, когда сервер не опрашивает непрерывно очереди, а уходит на отдых, когда очереди имеют недостаточное для обслуживания число заявок, и рассмотрим основную систему полинга с исчерпывающим обслуживанием, но в предположении, что время обслуживания в очередях распределено экспоненциально. Данная статья посвящена разработке математической модели и исследования эффективного управления широкополосными беспроводными сетями [2]. Пример отработки модели имитационной модели системы подключения к сети Wi-Fi при экспоненциальном законе распределения обеих очередей и равномерном законе распределения заявок в законе распределения появления абонентов представлены экспериментами на основе аналитической работы.

Описание математической модели

Модель – циклическая система поллинга [3, 4], которая имеет один сервер и N очередей (N ≥ 2), неограниченное место ожидания. В этом с параметром λi, kudik01.wmf – поток заявок в i-ю очередь является простейшим потоком, интенсивность поступления заявок очередей должна быть выше порогового значения (ki для i-й очереди), ki ≥ 0, kudik02.wmf, очередь будет обслуживаться. До обслуживания i-й очереди для сервера является необходимым экспоненциально распределенное (параметр si), случайное время на разогрев. Когда в i-й очереди, время обслуживания заявок [5, 6] (параметр μi, kudik03.wmf) подчиняется экспоненциальному распределению. Пусть система функционирует в стационарном режиме и исследуем ее поведение в произвольный момент времени [1]. Вообще говоря, случайный процесс kudik04.wmf t ≥ 0, и m(t) = 0 в момент t, простое сервера и все еще в момент t, что: m(t) = 1 при сервер подключается, m(t) = 2 при сервер занимается обслуживанием, t ≥ 0; i(t) – является номером очереди, которые сервер может обработать за это время t, i(t) = 0 с текущим сервером не работает; kudik05.wmf, nj(t) – является количеством заявок в j-й очереди в момент времени kudik06.wmf. Случайный процесс kudik07.wmf относится к марковским. При условии kudik08.wmf является загрузкой системы поллинга, где kudik09.wmf, kudik10.wmf является загрузкой i-й очереди, и ρ < 1 является выполненным, вероятности процесса ξ(t), t ≥ 0:

kudik11.wmf

Тогда систему уравнений равновесия для стационарных вероятностей можно записать в соответствии со следующими формулами:

kudik49.wmf (1)

kudik13.wmf (2)

kudik48a.wmf

kudik48aa.wmf (3)

где kudik15.wmf, ej является вектором строкой, элементы которой принимают значение «ноль» кроме j-го, принимающего значение «единица», kudik16.wmf; kudik17.wmf равен 1 в случае выполнения условия A, иначе kudik18.wmf, δij является символом Кронекера, kudik19.wmf. Тогда получите

kudik20.wmf

Необходимо ввести производящие функции:

kudik21.wmf

Выполнив умножение выражений и расчеты, отсюда получите

kudik22.wmf (4)

kudik23.wmf (5)

где kudik24.wmf

Так как производящая функция Qi(z) в области kudik25.wmf является аналитичной. Отсюда

kudik26.wmf при kudik27.wmf,

где

kudik28.wmf

При этом kudik29.wmf.

Числитель правой части (5) также должен принимать нулевое значение в точке kudik30.wmf и

kudik31.wmf

Если принять за Ri количество мест для ожидания в i-й очереди, kudik32.wmf, то систему уравнений (1), (2), (3) для стационарных вероятностей состояний системы можно записать следующим образом:

kudik33.wmf (6)

kudik34.wmf (7)

kudik35.wmf (8)

Выполнив замену одного из уравнений системы (6)–(8) на условие нормировки для стационарных вероятностей:

kudik36.wmf

где kudik37.wmf

kudik38.wmf,

можно получить систему уравнений относительно kudik39.wmf неизвестных. После этого:

kudik40.wmf; kudik41.wmf;

kudik42.wmf; kudik43.wmf

В котором: kudik44.wmf, kudik45.wmf, U j по порядку, средняя длина j-й очереди в момент: обслуживания i-й очереди, подключения к i-й очереди, когда сервер простаивает и kudik46.wmf – средней доли простоя сервера в единицу времени сервера.

Вероятность kudik47.wmf потери заявки, которая поступает в j-ю очередь, представляет из себя вероятность отсутствия в j-й очереди мест для ожидания в произвольный момент времени (количество заявок в ней составляет Rj):

kudik48.wmf

Исследование имитационного моделирования системы подключения к сети Wi-Fi

На основании вышеизложенной математической модели была разработана имитационная модель системы подключения к сети Wi-Fi в среде Microsoft Visual Studio 2015 на языке С# [7]. Входными данными для модели являются:

1. Закон распределения появления абонентов (равномерный или экспоненциальный).

2. Интенсивность появления абонентов (случайная величина).

3. Время, необходимое для подключения абонента (случайная величина).

4. Число каналов (буферов).

5. Пороговое значение очереди.

6. Максимальное значение очереди.

7. Количество пользователей.

Результаты моделирования

При запуске программы на экране появляется главное окно программы, выбор пункта «Настройки моделирования», и пример настроек модели представлен на рис. 1. Минимальное значение равно единице и соответствует режиму реального времени [7]. Необходимо установить: максимальное значение составляет 1000. Введенные значения будут определять количество секунд для моделирования модели, каждое входное значение будет соответствовать количеству секунд реального времени.

kud1.tif

Рис. 1. Настройки моделирования

kud2.tif

Рис. 2. Результаты моделирования, на графике показано количество принятых заявок

Ввода входных параметров в настройки моделирования, затем нажмите кнопку «Сохранить и закрыть» и попросить нажать кнопку «СТАРТ», после чего запускается процесс моделирования. Результаты и графики работы модели приведены на рис. 2.

Пример отработки модели имитационной модели системы подключения к сети Wi-Fi при экспоненциальном законе распределения обеих очередей и равномерном законе распределения заявок в законе распределения появления абонентов представлены экспериментами. Предположим, что входные параметры не меняются, меняется только «Интенсивность поступления заявок», его результаты в таблице.

Результаты имитационного моделирования системы подключения к сети Wi-Fi

Выходной параметр

(Результаты моделирования)

ЭКСПЕРИМЕНТЫ

1

2

3

4

λmax=60

λmin=10

λmax=55

λmin=20

λmax=50

λmin=30

λmax=40

λmin=15

Количество буферов (очередей)

1

2

1

2

1

2

1

2

Количество принятых пользователеей

574

426

511

490

508

492

541

459

Время работы буфера, с

4147

4002

2172

2120

1616

1575

2832

2762

Время простоя буфера, с

119

264

19

71

8

49

65

135

Количество принятых заявок

574

426

511

490

508

492

541

459

Максимальная длина очереди

5

4

8

7

10

9

7

6

Средняя длина очереди

2,343

2,014

3,691

3,429

4,628

4,407

2,943

2,717

Среднее время пребывания в очереди

12,343

11,371

13,282

11,753

13,154

11,665

12,305

11,416

kud3.tif

Рис. 3. На графике показана длина двух очередей

Численные эксперименты показывают, что графические результаты моделирования (а именно длин очередей в соответствии с появлением пользователей) приведены на рис. 3 (синим цветом показано изменение очереди первого буфера, красным – второго).

Выводы

Построены имитационные моделирования системы подключения к сети Wi-Fi на основе имитационных систем массового обслуживания с двумя очередями. Графические результаты моделирования, а именно длин очередей в соответствии с появлением пользователей.

Данная работа посвящена разработке математических моделей для исследования эффективного администрирования широкополосных беспроводных сетей.