Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

MODELLING CROSS FLUCTUATIONS OF A TWO-SEGMENT BEAM IN DIRECT AND INVERSE PROBLEMS

Safina G.F. 1
1 Bashkir State University Neftekamsk branch
The study examines the direct spectral problem of determination of transverse oscillations of a beam consisting of two segments of different stiffness and different cross sections. The frequency equation for the direct problem is obtained, which takes into account the conditions of fixing the ends of the segmental beam as well as the transmission conditions between the segments. Based on the solution to the direct problem, we study the effect of the stiffness coefficients of the torsion springs hinging the ends of the beam on the frequencies of its transverse oscillations. We show that an increase in the stiffness of torsion springs leads to an increase in the oscillation frequency of the segmental beam. We model and set the inverse spectral problem to diagnose the stiffness parameters of the hinged supports of the beam from the known frequencies of its oscillations. We raise the question of the existence of the solution to the problem. A theorem on the uniqueness of the solution to the inverse problem is formulated and proved. An algorithm for solving the problem is presented, which allows to obtain the stiffness coefficients by the known values of the three oscillation frequencies of the segmental beam. The algorithm is reduced to solving a system of three nonlinear equations for the desired coefficients with the introduction of a new variable. The obtained analytical formulae confirm the uniqueness of the stiffness determination for torsion springs of hinged supports of the beam. An example of solving the inverse problem using the obtained analytical formulae is presented. The software implementations of solving algorithms are provided for the direct and inverse problems.
natural frequencies
transverse oscillations
direct and inverse problems
torsional spring stiffness
diagnosing

Проведенные в представленной работе исследования относятся к проблемам диагностики технических конструкций, и это направление в настоящее время имеет широкое научное и практическое развитие и применение [1–3]. По акустическому отклику механических систем или их составляющих в виде балок, стержней, дисков и т.д. можно восстанавливать различного рода неисправности таких систем, в том числе учитывающих влияние условий закреплений на их колебательный процесс. Данная работа продолжает подобные исследования и относится к области акустической диагностики механических систем [4–6].

Собственные поперечные колебания различных балок рассматриваются во многих научных работах по теории колебаний, например в [1, 2]. В данной же работе разрабатывается модель балки, состоящей из двух сегментов разного поперечного сечения с учетом условий их сопряжения. Исследована зависимость частот колебаний двухсегментной балки от коэффициентов жесткостей пружин кручения ее шарнирных опор. Поставлена также обратная задача восстановления жесткостей пружин кручения опор балки по конечному набору частот ее поперечных колебаний. Исследованы вопросы существования и единственности решения обратной задачи, представлена соответствующая теорема. Полученный алгоритм решения обратной задачи использует известные значения трех первых частот колебаний сегментной балки.

Прямая задача определения частот поперечных колебаний балки из сегментов

Приведем теоретические сведения по прямой спектральной задаче. Рассмотрим балку длины L ступенчато-переменного сечения с двумя участками разной жесткости EI1 и EI2 длиной l1 и l2 соответственно (рисунок, а). Разность в жесткости между участками образуется в результате поворота правой части относительно левой на угол φ (рисунок, б).

Согласно расчетной схеме балку моделируем сопряжением двух сегментов в виде стержней длиной li. Вводим локальные координаты xi(i = 1,2).

Уравнения свободных поперечных колебаний имеют вид

safin01.wmf (i = 1,2). (1)

В (1): wi = wi(xi, t) – прогиб i-го сегмента; safin02.wmf и Ai = bihi – момент инерции и площадь сечения i-го сегмента; ρ – плотность материала балки. При моделировании также учитываем, что: I2 = α4I1, safin03.wmf, A1 = A2 = A.

От размерных физических параметров переходим к следующим безразмерным: safin04.wmf, safin05.wmf, τ = ω0t, safin06.wmf, safin07.wmf, тогда уравнения (1) примут вид

safin08.wmf safin09.wmf (2)

С учетом моделирования свободных поперечных колебаний сегментной балки примем в уравнениях (2) прогиб в виде safin10.wmf, где safin11.wmf – безразмерная частота колебаний. Принятые решения safin12.wmf подставим в уравнения (2) и с помощью стандартного разделения переменных придем к следующим уравнениям для сегментов:

safin13.wmf; safin14.wmf. (3)

В (3) введен спектральный коэффициент safin15.wmf. Найдем решения уравнений (3):

safin16.wmf

safin17.wmf (4)

в которых Dij (safin18.wmf) – амплитуды колебаний двухсегментной балки.

saf1.tif

Модель балки ступенчато-переменного сечения

Вместе с дифференциальными уравнениями (1) (или (3)) рассмотрим краевые условия в виде шарнирных опор балки с коэффициентами жесткости c1 и c2 пружин кручения:

safin19.wmf safin20.wmf safin21.wmf safin22.wmf (5)

Рассмотрим также условия сопряжения двух сегментов балки разного поперечного сечения, которые при нашем моделировании примут вид

safin23.wmf safin24.wmf safin25.wmf safin26.wmf (6)

Подставляя решения (4) в краевые условия (5) и условия сопряжения (6), получим систему восьми однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд колебаний балки.

Решая полученную систему уравнений относительно ненулевых амплитуд колебаний сегментной балки, получим следующий частотный определитель восьмого порядка:

safin27.wmf (7)

Отметим, что в (7) учтены равенства: safin28.wmf, Ai = bihi, safin29.wmf, bi = hi, safin30.wmf safin31.wmf. Составлена программа с применением команд математического пакета Maple, с помощью которой по уравнению (7) при заданных значениях жесткостей пружин на кручение шарнирных опор двухсегментной балки и известных ее физических параметрах определяются частоты поперечных ее колебаний.

Проведенные расчеты показывают, что при увеличении жесткостей пружин на кручение частоты колебаний балки увеличиваются. В таблице, например, даны пять собственных значений задачи (3), (5), соответствующие увеличивающимся значениям коэффициента C1 (при C2 = const) при параметрах балки: I1 = I2 = I = 0,5•10-5 м4, l1 = l2 = 0,5 м, safin32.wmf b = h = 0,1 м.

Зависимость собственных значений safin33.wmf задачи (3), (5) от коэффициента C1 (при C2 = const)

C1

C2

k1

k2

k3

k4

k5

1

1

6,2831

12,5664

18,8496

21,9911

28,2743

1,5

1

6,3157

12,5844

18,8620

22,0019

28,2828

2

1

6,3456

12,6016

18,8740

22,0124

28,2911

2,5

1

6,3731

12,6182

18,8858

22,0226

28,2993

3

1

6,3985

12,6341

18,8972

22,0326

28,3073

 

Проведенные исследования важны при рассмотрении проблемы сохранения безопасных частот колебаний сегментной балки.

Обратная задача диагностирования жесткостей пружин на кручение опор балки

Смоделируем теперь обратную задачу, а именно задачу акустического определения жесткостей пружин на кручении шарнирных опор балки. Итак, известен конечный набор частот поперечных колебаний сегментной балки, необходимо восстановить жесткости пружин на кручении ее шарнирных опор.

Преобразуем частотное уравнение (7) к следующему виду относительно искомых параметров C1 и C2:

safin34.wmf (8)

Введенные в рассмотрение в (8) функции fi(k) safin35.wmf зависят от физических параметров балки, а также спектрального параметра safin36.wmf следующим образом:

safin37.wmf

safin38.wmf

safin39.wmf

safin40.wmf (9)

Для исследования вопроса о существовании решения обратной задачи введем в рассмотрение две спектральные задачи L и L' с соответствующими частотными уравнениями Δ(k) (равенство (7)) и safin41.wmf Отметим, что уравнение safin42.wmf имеет те же функции (9), но другие безразмерные коэффициенты safin43.wmf и safin44.wmf. Сформулируем теперь теорему.

Теорема. Пусть частотные уравнения Δ(k) и safin45.wmf задач L и L' имеют вещественные корни safin46.wmf (а значит, собственные частоты safin47.wmf). Тогда при совпадении safin48.wmf с учетом их кратностей будут совпадать и коэффициенты: safin49.wmf, safin50.wmf.

Доказательство. Заметим, что частотные уравнения Δ(k) и safin51.wmf являются целыми функциями от параметра safin52.wmf. Кроме того, с помощью команд математического пакета можно показать, что Δ(k) и safin53.wmf являются линейно независимыми функциями. Тогда с учетом теоремы Адамара [7] можно утверждать, что ненулевые целые функции Δ(k) и safin54.wmf восстанавливаются по параметру safin55.wmf с точностью до постоянного множителя К: safin56.wmfsafin57.wmf = 0. В итоге получаем, что K = 1, откуда: safin58.wmf, safin59.wmf. Теорема доказана.

Метод решения обратной задачи

Проведенные исследования по вопросу единственности решения обратной задачи позволяют определять безразмерные коэффициенты C1 и C2 (а значит, и жесткости c1 и c2 пружин на кручение шарнирных опор балки) единственным образом. Необходимо теперь построить алгоритм решения задачи.

Покажем, что для единственности восстановления искомых параметров достаточно знание первых трех значений собственных частот ωi поперечных колебаний двухсегментной балки. Для этого с учетом вида частотного уравнения (8) введем дополнительный параметр D = C1C2. Тогда при известных значениях ki safin60.wmf получим систему уравнений

safin61.wmf (10)

в которой C1, C2 и D неизвестны, а функции fi(k) safin62.wmf определяются при ki safin63.wmf формулами (9). Решая (10) методом Крамера, получим

safin64.wmf (11)

где

safin65.wmf

safin66.wmf

safin67.wmf (12)

С учетом введенной переменной необходимо проверить также выполнение равенства:

safin68.wmf

в котором safin69.wmf

Таким образом, найденный алгоритм решения системы уравнений (10) позволяет однозначно восстанавливать искомые коэффициенты C1, C2 по аналитическим формулам (11)–(12) при известных трех ненулевых собственных частотах ωi колебаний двухсегментной балки.

Применение метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Даны собственные значения k1 = 9,26658, k2 = 12,43919, k3 = 18,75845, соответствующие первым трем частотам колебаний балки ступенчато-переменного сечения, а также физические параметры: safin70.wmf; I1 = I2 = I = 0,5•10-5 м4; l1 = l2 = 0,5 м; b = h = 0,1 м. Найти коэффициенты жесткости c1 и c2 пружин на кручение шарнирных опор балки. Подставляя значения k1, k2, k3, а также заданные физические параметры в (9), получим

safin71.wmf

safin72.wmf

safin73.wmf

Далее по формулам (10), (11) имеем: Δ = 0,3876•1026; Δ1 = 0,3876•1026; Δ2 = 0,1938•1027. Тогда определяем следующие безразмерные параметры: С1 = 1; С2 = 5, через которые находим значения коэффициентов жесткостей опор балки: safin74.wmf safin75.wmf

Заключение

В работе была исследована и решена прямая задача определения поперечных колебаний балки из двух сегментов при шарнирных опорах с пружинами кручения различной жесткости. Исследовано влияние на собственные частоты колебаний сегментной балки коэффициентов жесткостей ее опор и установлена прямая зависимость при любых ее других физических параметрах. Приведена постановка обратной спектральной задачи, исследован вопрос существования и единственности ее решения. Алгоритм решения обратной задачи сведен к введению новой переменной с последующим решением системы трех линейных уравнений относительно искомых параметров. Получены математические модели для определения коэффициентов жесткости шарнирных опор сегментной балки единственным образом.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Башкортостан в рамках научного проекта № 17-41-020230-р_а.