Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,007

ASYMPTOTIC SOLUTIONS OF THE PROBLEM OF CONVECTIVE DIFFUSION INSIDE DROPS WITH VOLUMETRIC CHEMICAL REACTION

Akhmetov R.G. 1 Milyukova A.V. 1
1 Bashkir State Pedagogical University named after M. Akmulla
We consider a stationary problem of convective diffusion inside a droplet, which is streamlined by a liquid flow at low Reynolds numbers, taking into account a nonlinear volumetric chemical reaction. The characteristic feature of the problem is the presence of two dimensionless parameters: a constant of rate of the volumetric chemical reaction kv, and Peclet number Pe which determine the concentration distribution in the flow. The quantity constant of rate of the volumetric chemical reaction kv and Peclet number Pe assumed to have a constant value. It is a boundary value problem for a quasilinear partial elliptical equation with a small parameter multiplying in higher derivatives. In the small neighborhood of the drop, the principal terms of the asymptotics of the solution are constructed. In the vicinity of the saddle point, an additional boundary layer appears, where the boundary value problem for an elliptic equation with additional matching conditions is formulated. The asymptotic expansion of solution is constructed in the boundary layer near the rear stagnation point of the drop as the solution for the quasilinear ordinary differential equation.
convective diffusion
method of matching asymptotic expansions
Peclet number
rate constant of volumetric chemical reaction
the degenerate parabolic equation
the stability condition of the explicit scheme

Исследованию тепло-массообмена между каплей и окружающей средой посвящены работы [1–3]. В работе [1] предполагается, что число Пекле Pe большое, а константа скорости объёмной химической реакции значительно меньше. Исследованию теплообмена с внутренними пограничными слоями посвящена работа [2]. При больших значениях константы скорости объёмной химической реакции (одного порядка с числом Пекле) основное изменение концентрации происходит вблизи поверхности капли [4, с. 77–83].

Рассмотрим стационарную диффузию внутри сферической капли радиуса a, обтекаемой поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости со скоростью U0 вдали от капли при малых числах Рейнольдса в случае, когда вещество, диффундирующее внутри капли, испытывает химическое превращение. Распределение концентрации c(r, θ) в безразмерных переменных удовлетворяет уравнению [3, с. 198]

ahm01.wmf (1)

поле скоростей соответствует сферическому вихрю Хилла [5] и определяется из выражений

ahm02.wmf,

ahm03.wmf,

ahm04.wmf,

ahm05.wmf, ahm06.wmf

где Pe – число Пекле; D – коэффициент диффузии вещества; λ и λ1 – динамические вязкости жидкостей вне и внутри капли; kv – константа скорости объемной химической реакции; Δ – оператор Лапласа; Ψ(r, θ) – функция тока; r, θ – сферические координаты (φ – const). Требуется найти асимптотику решения уравнения (1), удовлетворяющего граничному условию

c = 1 при r = 1. (2)

Будем считать, что функция F(u) удовлетворяет условиям

ahm07.wmf, ahm08.wmf,

ahm09.wmf, ahm10.wmf (3)

Цель работы состоит в построении асимптотического разложения решения задачи (1), (2) для больших чисел Пекле Pe в малой окрестности капли. Решение строится методом согласования асимптотических разложений.

Для решения задачи (1), (2) область внутри капли разбивается на несколько областей (эти области указаны на рисунке). В каждой области вводятся новые независимые переменные (см., напр., ниже пункт диффузионный пограничный слой, пункт эллиптический пограничный слой) затем уравнение (1) записывается в этих переменных, и находят такие решения полученных уравнений, которые сращиваются на границах области и удовлетворяют граничным условиям. В этом состоит идеология метода согласования (сращивания) асимптотических разложений.

ahmed1.tif

Структура поля концентрации внутри капли: е – ядро потока, d – область диффузионного пограничного слоя, W – область диффузионного следа, w1 – конвективно-погранслойная область диффузионного следа, w2 – внутренняя область диффузионного следа, w3 – область задней критической точки, r, θ – сферические координаты, r = 1 – соответствует поверхности капли

При построении асимптотики удобно ввести малый параметр ahm11.wmf. Уравнение (1), с учетом обозначений и μ = kv/Pe, перепишем в виде

ahm12a.wmf (4)

Известно [3], что в предельных случаях Pe >> 1, kv – const, и Pe – const, kv >> Pe решение задачи (1), (4) упрощается. В первом случае, Pe >> 1, kv – const, задача исследована в работе [3, с. 196–205]. В данной работе предполагается, что Pe > ∞, kv > ∞ (или достаточно большие), а величина μ0 = kv/Pe – постоянная. При таких же предположениях, но в случае объемной химической реакции первого порядка (F(u) ≡ u) асимптотика внутри капли исследована в работе [4, с. 77–83]. Задача вне капли исследовалась в работе [6], а вне цилиндра в работе [7]. В работах [8, 9] обсуждаются качественные особенности реакционно-диффузионных дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Асимптотический анализ уравнения (1) показывает, что внутри капли можно выделить ядро потока е:ahm13.wmf, область диффузионного пограничного слоя d:

ahm14.wmf

и область диффузионного следа W:

ahm15.wmf (рисунок).

В случае Pe >> 1, kv – const, задача в области е исследована в работе [3, с. 196–205]. В данной работе задача исследована в областях d, w3, когда числа Pe >> 1, kv >> 1, а их отношение ограничено (именно этот наиболее трудный случай исследован в работе [4], линейный случай). В данной работе рассмотрен случай, когда функция F(u) – нелинейная. В этом состоит новизна работы.

Диффузионный пограничный слой

Асимптотика решения задачи (1), (2) в диффузионном пограничном слое d строится в переменных ahm16.wmf, решение ищется аналогично [7] в виде ряда

ahm17.wmf (5)

Функцию F(u) заменим главными членами разложения в окрестности u0(x, θ), функцию тока Ψ разложим в ряд около границы. Подставим полученные выражения, а также ряд (5) в уравнение (4), приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ε. Тогда для определения u0(t, θ) в области < θ < π, 0 < t получаем краевую задачу

ahm18.wmf (6)

u0(0, θ) = 1; u0(t, θ) → 0 при t → ∞. (7)

Уравнение (6) – это вырождающееся параболическое уравнение при θ = 0, θ = π.

Алгоритм построения решения состоит в следующем. Сначала находим формальное решение в окрестности линии вырождения θ = π в виде ряда по четным степеням (π – θ)2 с коэффициентами, зависящими от t. Коэффициенты строятся как решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

ahm19.wmf,

где k = 0, 1, 2,...

Затем легко получить оценку

ahm20.wmf

для некоторого γ > 0, и отсюда следует оценка

ahm21.wmf

В области ahm22.wmf для некоторого

ahm23.wmf.

Из условий (2) и из условий симметрии получим граничные условия

ahm24.wmf

при ahm25.wmf (8)

Структура асимптотики функции u(0)(t, θ) при θ > 0 различна для малых и больших значений Ψ. При малых Ψ асимптотическое разложение строится в переменных t, θ, а при значениях, отделенных от нуля, в переменных Ψ0, τ, где

ahm26.wmf

Для определения коэффициентов главного члена асимптотического разложения при θ → 0, учитывая, что u(0)(t, θ) ищется в виде u0(t) + o(θ), получаем уравнение вида

ahm27.wmf (9)

с условиями

u0(0) = 1; u0(t) > 0 при t → ∞. (10)

Аналогично работе [6] сформулируем теорему.

Теорема. Пусть F(u) удовлетворяет условию (3) и разлагается в ряд

ahm28.wmf,

тогда существует решение задачи (9)–(11), такое, что при t > + ∞ решение задачи (9)–(10) имеет следующее асимптотическое представление

ahm29.wmf (11)

где ahm30.wmf и ck,i следующие:

ahm31.wmf, ahm32.wmf,

ahm33.wmf,

ahm34.wmf,

ahm35.wmf, … (12)

В работе [6] коэффициенты ck,i найдены численно. Коэффициент c0,1 при главном члене выбирается так, что построенное решение удовлетворяет первому из граничных условий (10).

В уравнении (7) путем разложения функции F(u(0)) в ряд Тейлора с остаточным членом линейную часть оставим в левой, а остальные перенесем вправо. Тогда получим следующее уравнение

ahm36.wmf, (13)

ahm37.wmf,

ahm38.wmf,

ahm39.wmf. (14)

Для удобства положим F’(0) = 1.

В уравнении (13) сделаем следующую замену функции и переменных [7, с. 8–12]

ahm40.wmf (15)

Тогда уравнение (13) примет вид

ahm41.wmf (16)

где ahm42.wmf для ahm43.wmf при ahm44.wmf

А граничные условия имеют вид

ahm45.wmf, ahm46.wmf, ahm47.wmf, (17)

V > 0 при Ψ0 → ∞, (18)

ahm48.wmf, ahm49.wmf, ahm50.wmf (19)

Рассмотрим вспомогательную задачу при ahm51.wmf

ahm52.wmf

Тогда функция h(Ψ0, τ) при условиях (17)–(19) (для h(Ψ0, τ)) описывается выражением

ahm53.wmf

ahm54.wmf

ahm55.wmf (20)

Формула (20) получена в работе [5] в случае обтекания капли, когда функция F(u) линейна. Отсюда получаем, что формула (20) является главным членом разложения решения задачи (16)–(19), тогда для достаточно малого ε и некоторых δ > 0, γ0 > 0 получаем

ahm56.wmf

при ahm57.wmf (21)

Для доказательства данной формулы достаточно применить интегральное представление для неоднородного уравнения теплопроводности (16) и, учитывая условия (17)–(19), воспользоваться теоремой и оценкой (14).

Эллиптический слой

В области W3 задней критической точки решение строится в переменных ahm58.wmf, ahm59.wmf, для главного члена получаем следующее уравнение:

ahm60a.wmf

ahm60b.wmf, (22)

удовлетворяющее граничным условиям

ahm61.wmf при ξ = 0 (23)

и некоторым условиям согласования

u(3)(t, ξ) – u0(t) → 0

при ξ → ∞ в области W∩d. (24)

Функция, определенная равенством u(3)(t, ξ) = u0(t), есть решение задачи (22)–(23), где u0(t) имеет асимптотическое разложение (11) при t > + ∞.

Численное решение

Для решения краевой задачи (9), воспользуемся теоремой о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров и построенным асимптотическим разложением в теореме. Следует заметить, что постоянная c0,1 – произвольная. Для построения решения краевой задачи уравнение (9) перепишем в виде системы уравнений

ahm62.wmf (25)

Устойчивость разностных схем проверяем так же, как и в работе [6]. Условие устойчивости явной схемы Рунге – Кутты, будет выполняться, если потребовать выполнения неравенств

ahm63.wmf (26)

Это значит, что начальное условие следует задать при достаточно большом t0 – и интегрировать назад, т.е. с шагом h < 0. Начальные условия для системы (25) имеют вид

ahm64.wmf (27)

где постоянные a и b определяются из выражения (11).

Рассмотрим случай, когда ahm65.wmf. Находим последовательные приближения c0n, n = 2, 3, …, для c0.

Далее приводим результаты численных расчётов для уравнения конвективной диффузии на промежутке (0,100):

при m = 0,5, получаем c0,1 = 4,0915, u(0)(0) = 0,9999; y(0) = –1,6507;

при m = 0,8, получаем c0,1 = 8,7293, u(0)(0) = 1,0000; y(0) = –2,6495;

при m = 1, получаем c0,1 = 14,2551, u(0)(0) = 1,0000; y(0) = –3,3221.

Отсюда видим, что решение задачи (9)–(10) функция u(0)(t) удовлетворяет граничному условию в точке t = 0, а при t > + ∞ справедлива оценка O(t-δ).

Заключение

В настоящей работе исследована задача конвективной диффузии внутри сферической капли при больших числах Пекле и малых числах Рейнольдса. Предполагается, что поле скоростей известно. Ранее в работе [4] была исследована задача в случае, когда объёмная химическая реакция носит линейный характер. В нашей работе рассмотрен случай наличия нелинейной объёмной химической реакции. Но при этом главный член разложения в окрестности нуля носит линейный характер. В работе установлено, что в диффузионном пограничном слое d всюду за исключением окрестности задней критической точки порядка O(ε) решение мало отличается (21) в первом приближении от случая линейной химической реакции. Однако в окрестности задней критической точки (в области w3) решение существенно зависит от нелинейной объёмной химической реакции.