Балансировка роторных элементов в виде цилиндрических инерционных тел, или вращающихся масс, приобрела особое значение в современных условиях [1]. Так, в турбинах, прецизионных центрифугах и гироскопах частота вращения достигает десятков тысяч оборотов в минуту. При таких скоростях даже от небольшого смещения центра масс с геометрической оси вращения возникают значительные силы инерции, вызывающие появление больших динамических давлений в опорах, следствием чего является ряд нежелательных вибрационных явлений в изделии [2]. Особый интерес в этом плане представляют гироскопы с цилиндрическим поплавковым подвесом [3], которые находят широкое применение в современных системах навигации [4, 5]. Важнейшей задачей динамики прецизионных поплавковых гироскопов и электромеханических приборов, сходных с ними, является задача анализа их вибрационных погрешностей [6]. В теории уравновешивания ротором называют любое вращающееся материальное тело независимо от его технического назначения. Совершенствование изделий машиностроения и приборостроения, в которых используются цилиндрические роторы, непосредственно связано с повышением точности роторов. При этом требования по величине дисбаланса роторов могут быть на уровне десятых и сотых долей микрометра. Традиционные методы балансировки цилиндров с размещением на их поверхности уравновешивающих грузов такую точность не обеспечивают. Это определяет актуальность исследований по созданию технологических методов прецизионной балансировки роторных элементов различного функционального назначения.
Направления исследовательских работ
С повышением точности изготовления изделий и их составных частей, а также появлением новых конструкционных материалов перспективным направлением задачи балансировки быстровращающихся тел является использование ионно-плазменных и лучевых технологий (ИПЛТ), рабочим инструментарием которых выступают потоки наночастиц [7]. Примерами ИПЛТ являются технологии вакуумного напыления, лазерной обработки, ионного травления и т.д. Такой инструментарий позволяет осуществлять прецизионную обработку деталей, включая, например, корректировку дисбаланса [8], с точностью до десятков нанометров посредством лазерного локального испарения точечной массы с «тяжелого места» роторного элемента.
Наиболее перспективным методом корректировки дисбаланса с высокой точностью является технология напыления тонкопленочного покрытия таким образом, чтобы конфигурация наносимого покрытия обеспечивала требуемый характер распределения массы покрытия по поверхности детали. Эта корректировка осуществляется на стадии напыления защитного тонкопленочного покрытия, что предусмотрено в цикле изготовления быстровращающихся узлов. В большинстве случаев роторные элементы имеют на поверхности износостойкие покрытия, например, нитрида титана, нанесенные одним из методов вакуумного напыления [7, 8].
Однако практическая реализация технологических решений требует разработки математических моделей, связывающих величину корректируемого дисбаланса с параметрами, обеспечиваемыми режимами технологического процесса.
Цель работы заключалась в выявлении методов и средств, обеспечивающих расширение технологических возможностей процесса прецизионной балансировки с устранением статической неуравновешенности цилиндрических роторов.
Математическая модель процесса формирования покрытия заданной конфигурации
Как указывалось, перспективным методом корректировки дисбаланса с высокой точностью является формирование на детали тонкопленочного покрытия таким образом, чтобы конфигурация покрытия обеспечивала требуемый характер распределения массы покрытия по поверхности этой детали. Получение покрытия переменной толщины можно обеспечить, регулируя скорость вращения цилиндрической детали относительно потока напыляемого материала. Рассмотрим схему корректировки дисбаланса цилиндра 1 (рис. 1) на стадии напыления износостойкого покрытия 2 путем вращения его вокруг динамической оси с переменной скоростью, обеспечивающей смещение центра окружности O2 сформированного покрытия 2 плотностью rпокр в диаметральном сечении цилиндра 1, выполненного из материала плотностью rдет < rдет, относительно его оси симметрии на величину D. Очевидно, что при этом устраняется статическая неуравновешенность, когда ось симметрии цилиндра параллельна его оси инерции.
Итоговый дисбаланс ε1 (рис. 1), в системе координат с началом в точке O2 (центр цилиндра радиусом R2) и осью x, направленной вдоль вектора исходного дисбаланса 
, будет равен
(1)
где MΣ – масса цилиндра 1 с покрытием 2.
По определению, исходный дисбаланс определяется выражением
(2)
где 
– масса цилиндра 1, а слагаемое Δ появляется из-за того, что интеграл в правой части выражения (2) берётся в системе координат с началом в точке O2 (Δ – расстояние между центрами O1 и O2).
Рис. 1. Поперечное сечение цилиндра с покрытием. 1 – цилиндр, 2 – покрытие
Рассмотрим выражение
, (3)
где из соображений симметрии учтено, что 
, т.к. начало системы координат находится в геометрическом центре O2,
а 
.
Подставляя выражения (2) и (3) в выражение (1), получаем
(4)
где последнее приближённое равенство написано в предположении малой доли наносимого материала относительно массы детали, когда отношение 
практически не отличается от 1. Для минимизации полученного дисбаланса необходимо полученное выше выражение (4) для ε1 приравнять к 0, т.е. 
, что приводит к простому выражению для Δ:
. (5)
В качестве исходного принципа построения модели использовалась зависимость [9, 10] для скорости напыления на подложку, имеющую форму тела вращения, например цилиндра:
, (6)
где L0 – расстояние от источника до рассматриваемой точки поверхности цилиндра, W – угол между направлением потока напыляемого материала и нормалью к поверхности цилиндра в данной точке, А – размерная константа, определяемая параметрами процесса напыления.
Определим углы: W0 – начальный угол рассматриваемой точки поверхности цилиндра, W – текущий угол этой точки в процессе поворота (оба угла отсчитываются в одну сторону от точки на поверхности цилиндра, максимально приближенной к источнику напыляемого материала). При таких обозначениях угол W0 принимает значения от 0 до 2π (все точки поверхности цилиндра), а угол W – от W0 до W0 + 2π (поворот на 2π относительно начального угла). Для каждой заданной точки цилиндра, определяемой начальным углом W с учетом выражения (6), можно получить выражение для толщины h(W0) сформированного за один оборот слоя:
, (7)
где L – расстояние от источника до центра цилиндра, 
– расстояние от источника до рассматриваемой точки поверхности цилиндра, I(W) – функция-индикатор, учитывающая, что напыления на сторону цилиндра, противоположную источнику, нет:
(8)
Т0 – период вращения (полный оборот на 3600), R – радиус цилиндра.
Для произвольно заданной переменной скорости вращения ω(t) угол поворота определяется выражением 
, τ – где переменная интегрирования. Учитывая, что 
и переходя в выражении (7) от временной переменной t к угловой переменной Ω, получаем
. (9)
Введём обозначения 
, 
и 
, где 
– нормированная скорость вращения, ω0 – скорость равномерного вращения с периодом T0 и h0 – константа, имеющая размерность толщины. Используя введённые обозначения, можно переписать выражение (9):
. (10)
По известным экспериментальным данным, например принимая, что при данном расстоянии L = 80 мм и периоде вращения T0 = 3 c, на цилиндрической детали радиуса R = 5 мм за 30 минут формируется слой толщиной около 1 мкм, можно определить значение h0 ≈ 0,245 мкм.
Рассмотрим обратную задачу: по требуемой известной форме покрытия, определяемой выражением h(W0), установим необходимую для этого скорость вращения 
как функцию от угла. Рассматривая сечение цилиндра диаметральной плоскостью, перпендикулярной оси вращения (рис. 1), можно считать, что необходимая форма покрытия – это окружность с центром О2, смещённым на величину Δ относительно центра цилиндрической основы О1, и минимальной/максимальной толщиной напыления hmin/hmax (рис. 1). Уравнение такой окружности в полярных координатах с центром в точке О1 выглядит следующим образом:
. (11)
После алгебраических преобразований выражения (11), пренебрегая всеми квадратичными малыми слагаемыми (h2, Δ2 и hΔ), для h(W0) получаем
. (12)
В таком виде уравнение (10) – это интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Аналитические решения подобных задач крайне сложны и громоздки, если вообще возможны [11]. Поэтому задачу целесообразно решать численно. Угловые переменные W и W0 определены на интервале 
, разобьём этот интервал на N равных элементов и перейдём к дискретным переменным W(i) и 
, которые определены в узлах получившейся сетки. В этом случае интегрирование в выражении (10) заменяется суммированием и получаем
. (13)
В случае равномерной сетки можно записать:
.
Вводя обозначения
, 
и
,
где 
и 
определяются выражениями (8) и (12), соответственно, можно свести задачу к системе линейных алгебраических уравнений:
, j = 1…N, (14)
Решая систему уравнений (14) относительно неизвестных переменных 
, можно определить угловую скорость вращения в угловом интервале от 0 до 2. Для случая, когда Δ = 0 и hmin = hmax = 1,67·10-3 мкм (вариант, для которого была рассчитана константа h0), получается равномерная скорость вращения 
, близкая к 1, т.е. ненормированная скорость ω близка к скорости ω0, на которой и были получены данные значения толщины. Результаты моделирования показали, что погрешность, связанная с приближённым характером решения (отличие значения функции от единицы) не превышает 1 %.
На рис. 2 представлены графические зависимости изменения скорости вращения от угла поворота для различных значений hmax при смещении Δ = 1·10-3 мкм. Рис. 2 наглядно демонстрирует, что с увеличением значения hmax для одинаковых величин Δ за один оборот уменьшается разница между максимальной и минимальной скоростями вращения в пределах одного оборота. При этом на рис. 2 по оси ординат отложена безразмерная нормированная угловая скорость 
, которая определяется как 
, где 
.
Из рис. 2 можно определить закономерности изменения скорости вращения цилиндра от его угла поворота для различных значений Δ и hmax. Так, например, наблюдается характерное явно выраженное увеличение «крутизны» кривой меньшей разницы hmax и hmin, где hmin = hmax – 2Δ. Объясняется это тем, что участок, на который требуется напылить слой меньшей толщины hmin, проворачивается с большой скоростью. Тогда как противоположная сторона, где нужно напылить покрытие hmax, должна более длинный период времени быть обращена к потоку напыляемого материала, чтобы сформировался слой большей толщины.
Однако для практической реализации схемы управления приводом вращения цилиндра более востребованным является представление зависимости скорости вращения от времени. Для перехода к временным зависимостям можно использовать выражение 
. Тогда, зная численное значение функции ω(W), определяемое решением системы уравнений (14), в выражении 
можно разделить переменные и записать 
. Отсюда получаем
. (15)
Численно вычисляя интеграл в выражении (15), определяем зависимость W(t), из которой численным дифференцированием по времени можно определить зависимость W(t). На рис. 3 представлены графические зависимости ω(t) для случая Δ = 1·10-3 мкм и различных значений hmax. Время и скорость вращения на графике выражены в абсолютных единицах. Из рис. 3 видно, что с увеличением толщины hmax при одинаковом значении Δ увеличивается период одного оборота. Таким образом, у кривых скоростей на графиках рис. 3 разная длительность по времени (разный период), т.к. для напыления каждой заданной толщины требуется соответствующая скорость, и для каждой из этих скоростей полный оборот будет занимать соответствующее время. Другими словами, площадь под графиком у каждой кривой постоянна и соответствует одному обороту (2π радиан), и, например, при уменьшении скорости для нанесения более толстого покрытия длительность по времени очевидным образом увеличивается.
|
Рис. 2. Зависимости нормированной скорости вращения ϖ от угла поворота Ω |
Рис. 3. Зависимости скорости вращения ω |
|
для Δ = 1·10-3мкм, где 1 – hmax = 4·10-3мкм; 2 – hmax = 5·10-3мкм; 3 – hmax = 6·10-3мкм; 4 – hmax = 7·10-3мкм |
|
В ходе практического применения из графиков, представленных на рис. 3, определяется период или время одного оборота и число оборотов для получения конкретной требуемой толщины напыленного слоя и значения Δ, необходимое для устранения дисбаланса цилиндра в соответствии с зависимостью (5). Для реализации предложенной схемы возможно использование шагового электродвигателя с управлением этого электродвигателя через контроллер, определяющий по заданной программе изменение скорости вращения в пределах одного оборота двигателя.
Заключение
Обоснована эффективность использования переменной скорости вращения прецизионных цилиндрических деталей при формировании тонкопленочных покрытий для корректировки их дисбаланса на стадии напыления. При этом устраняется статическая неуравновешенность за счет смещения центра окружности покрытия относительно оси цилиндра в направлении, определяемом вектором дисбаланса. Разработана математическая модель процесса формирования покрытия, включая зависимости изменения скорости вращения ω цилиндрической детали от угла поворота W и от времени для различных значений толщины покрытия и смещения центра его окружности от оси цилиндра. Определена корреляция характера изменения скорости вращения ω и основных параметров формируемого покрытия. Рассмотрена возможная схема практической реализации представленного процесса балансировки цилиндрических деталей.