Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

COMPUTER EXPERIMENTS IN GROUPS OF PERMUTATIONS WITH BROKEN SYMMETRY

Rau V.G. 1 Lomtev L.A. 2 Rau T.F. 3 Gorshkov K.A. 3 Nikitin O.R. 3
1 Vladimir Branch of the Russian Academy of National Economy and Public Administration under the President of the Russian Federation
2 LLC Production Association «CVM»
3 Vladimir State University n.a. A.G. and N.G. Stoletovs
In computer simulations, by studying the tables, sets of binary transformations with broken symmetry we’ve discovered the new sets with «zero» and «one» without inverse elements, with convergent and divergent properties of structure’s oriented graphs. It is possible to continue from a variety of transformations with convergent properties of oriented graphs’ structure to the structure of the set with divergent properties. A correlation of these properties with the accumulation models and the layer growth used in the analysis of the nanoclusters, radio technique, as well as the description of the conditions of some economic systems and the chemistry of crystals. This is a clear demonstration of the principle of «dissymmetry» Pierre Curie.
symmetry group of permutations
Cayley table
table groups with broken symmetry
convergent graphs of structure

С целью расширения возможностей компьютерного моделирования различных систем и процессов проведена серия компьютерных экспериментов, выполненных на основе программ расчета групп симметрии. Выберем вначале для описания классической симметрии простых геометрических фигур хорошо известный в теории групп симметрии [5] способ представления, основанный на построении таблиц Кэли. Каждая операция в таблице Кэли кодируется двухстрочной матрицей перестановок или подстановок (permutation and substitution) вида

g[1] = rau01.wmf,

где g[1] – символ 1-й операции. В данном случае эту конкретную запись можно отнести к операции поворота правильного пятиугольника (или к циклической перестановке его вершин) по направлению, определенному ориентированным циклическим графом (рис 1, а). В работе [3] показан способ перехода к более сложной структуре с использованием операции свертки (копирования). Этот прием основан на замене каждой точки структуры точками нового фрагмента, что порождает в данном случае мозаику с симметрией 5-го порядка (рис 1, б). Результаты компьютерного расчета таблицы умножения подстановок (таблицы Кэли) для подгруппы поворотов правильного пятиугольника (рис. 1, а) представлены в табл. 1.

rau1.tif

а) б)

Рис. 1. Пятиугольник с центральной точкой (а) и мозаика, выполненная на его основе (б) методом копирования (свертки)

Векторами на рис. 1, а выделена структура орграфа операции подстановок g[1] из табл. 1.

Таблица 1

Таблица Кэли подгруппы поворотов пятиугольника и структура операций

g[0] = (0 1 2 3 4 5); (0)(1)(2)(3)(4)(5);

g[0]

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[1] = (0 2 3 4 5 1); (0) (1 2 3 4 5);

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[0]

g[2] = (0 3 4 5 1 2); (0) (1 3 5 2 4);

g[2]

g[3]

g[4]

g[0]

g[1]

g[3] = (0 4 5 1 2 3); (0) (1 4 2 5 3);

g[3]

g[4]

g[0]

g[1]

g[2]

g[4] = (0 5 1 2 3 4); (0) (1 5 4 3 2);

g[4]

g[0]

g[1]

g[2]

g[3]

В теории групп показано, что всякая конечная группа симметрии изоморфна соответствующей группе подстановок (теорема Кэли), поэтому для операции, выбранной выше, возможно ввести «матричное представление», описывающее вращение в двумерном пространстве на угол 72 ° вокруг центральной точки. Выбор в пользу представления с помощью подстановок в данной работе сделан на основании двух соображений. Во-первых, из-за простоты записи операции, кодировку которой можно еще упростить, записывая только нижние строки. В приведенном примере это будет выглядеть следующим образом: g[1] = (023451). Во-вторых, вследствие независимости кодировки операций подстановок от размерности пространства, что особенно важно, когда речь идет о пространствах состояний, топология и размерность которых могут быть и неизвестными.

Модель группы подстановок с нарушенной симметрией

Дальнейший переход к нарушенной симметрии обусловлен большим количеством проблем, возникающих в различных областях науки в тех случаях, когда появляется необходимость описания явлений роста и эволюционных процессов, но, как известно, только «диссимметрия творит явление» (принцип П. Кюри). Под термином «диссимметрия» будем понимать не только «недостаточную» симметрию, но и «псевдосимметрию» [6], а также «нарушенную симметрию».

Авторам данной работы не удалось обнаружить ни одного примера научных исследований процессов накопления, роста и эволюции, в которых принцип Кюри не выполняется в той или иной форме. Поэтому в философии естествознания и социально-экономических процессах он играет существенную роль. Нашей задачей явился поиск математической модели нарушенной симметрии, для чего были использованы разработанные ранее компьютерные методики построения и «визуализации» групп симметрии [8].

В частности, ниже представлены начальные результаты новых исследований, которые привели к обнаружению во множестве бинарных операций полугрупп подстановок с интересными свойствами, названных нами группами нарушенной симметрии (ГНС). «Работу» принципа нарушенной симметрии продемонстрируем на двух примерах, относящихся к различным направлениям исследований: естественнонаучному и социально-экономическому.

Пример 1. Все известные физические эффекты в кристаллах описываются на основе принципа Неймана – Кюри: симметрия структуры и симметрия «воздействия» на структуру складываются таким образом, что в результате остаются только те элементы (преобразования), которые являются общими. Рост кристаллов, в частности, начинается с одной точки (дефекта), в которой нарушена симметрия однородности расплава (рис. 2).

rau2a.tif rau2b.tif

Рис. 2. Два этапа реального процесса роста кристаллов гипосульфита из расплава

Пример 2. Рассмотрим процесс роста цен, который возник в результате нарушения симметрии однородного «хаоса» на бирже, торгующей золотом [3]. Процесс изменения цен (с 2000 г.) можно описать с помощью использования в качестве «биржевого робота» модели мозаики [2] с симметрией 5-го порядка (по рис. 1, б). Числа Фибоначчи, которые часто возникают в экономических моделях, были обнаружены в мозаике при подсчете количества пятиугольников, распределенных на рис. 1, б послойно. Таким образом, получается числовой набор, представленный на диаграмме (рис. 3, а). Поиск аналогичной реальной финансово-экономической системы привел к хорошему совпадению максимумов чисел на диаграмме со сводками на Лондонской бирже, торгующей золотом (рис. 3, б). Наблюдается совпадение положений максимумов в модели (рис. 3, а) с максимумами реальной диаграммы цен на золото (рис. 3, б) и соответствие числам типа Фибоначчи. Этот факт, в частности, позволяет прогнозировать положение во времени следующего взлета цены до середины 2017 г. с резким последующим падением и возможным очередным резким подъемом только через 8 лет. Прогноз строится по точкам фигуры с симметрией оси 5-го порядка (рис. 1, б) и диаграмме (рис. 3, а).

rau3.tif

а) б)

Рис. 3. Диаграммы модельного (а) и реального изменения цены на золото (б)

Важно определить, каким образом возникло это нарушение однородной и изотропной симметрии биржевого «хаоса» с образованием симметрии 5-го порядка, отраженной в числах (рис. 3). Возможны два варианта: либо естественным путем, либо направленным действием интеллекта. В первом случае – «Природа Рынка играет» с нами, а во втором – мы играем друг с другом. Исследование нарушенной симметрии, таким образом, становится все более актуальным не только для современной физики, которая представляет собой локально перенормируемую квантовую теорию неабелевых калибровочных полей со спонтанно нарушенной симметрией, но и для других реальных систем, в каждой из которых появляется свой «бозон Хиггса». В микробиологии и генной инженерии хорошо известна роль «дефектов» в кодировке ДНК [7]. В радиоэлектронике нарушение симметрии антенны токами проводимости приводит к ее диаграмме направленности [4]. Технически, решаемая в данной статье задача ближе всего подходит к проблемам «ошибок кода» при передаче информации в компьютерных сетях и программах расчетов с большими числами.

Введем простой дефект, то есть «случайную ошибку кода» в записи элемента g[1] в программу расчета группы подстановок и таблицы умножения: вместо g[1] = (023451) (из табл. 1) запишем курсивом новую подстановку следующим образом: g[1] = (023431). Если затем произвести такие же операции умножения, которые были применены ранее при построении таблицы Кэли, то получим новую конечную таблицу подмножества произведений бинарных операций (табл. 2).

Таблица 2

Таблица 5х5 подмножества произведений бинарных операций на множестве из 6 чисел

g[0] = (0 1 2 3 4 5);

g[0]

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[1] = (0 2 3 4 3 1);

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[3]

g[2] = (0 3 4 3 4 2);

g[2]

g[3]

g[4]

g[3]

g[4]

g[3] = (0 4 3 4 3 3);

g[3]

g[4]

g[3]

g[4]

g[3]

g[4] = (0 3 4 3 4 4);

g[4]

g[3]

g[4]

g[3]

g[4]

Очевидно, что эта таблица не является таблицей Кэли, так как в ней отсутствуют, в частности, обратные элементы, поэтому можно говорить, что «ошибка» в записи (в кодировке) элемента группы симметрии привела к нарушению симметрии. Исходя из принципа Кюри, предполагаем, что следует ожидать появление новых свойств в структурах, представленных таким множеством преобразований. Расширим новую группу очередной «неклассической операцией» подстановки g[5] = (012343), не изменяя правила произведения. В компьютерном эксперименте, выполненном по программе расчета таблицы умножения элементов группы, получим расширенное конечное множество операций (табл. 3).

Таблица 3

Таблица 9х9 подмножества произведений бинарных операций на множестве из 6 чисел

g[0] = (0 1 2 3 4 5);

g[0]

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[5]

g[6]

g[7]

g[8]

g[1] = (0 2 3 4 3 1);

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[3]

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[2] = (0 3 4 3 4 2);

g[2]

g[3]

g[4]

g[3]

g[4]

g[2]

g[3]

g[4]

g[3]

g[3] = (0 4 3 4 3 3);

g[3]

g[4]

g[3]

g[4]

g[3]

g[3]

g[4]

g[3]

g[4]

g[4] = (0 3 4 3 4 4);

g[4]

g[3]

g[4]

g[3]

g[4]

g[4]

g[3]

g[4]

g[3]

g[5] = (0 1 2 3 4 3);

g[5]

g[6]

g[7]

g[8]

g[7]

g[5]

g[6]

g[7]

g[8]

g[6] = (0 2 3 4 3 4);

g[6]

g[7]

g[8]

g[7]

g[8]

g[6]

g[7]

g[8]

g[7]

g[7] = (0 3 4 3 4 3);

g[7]

g[8]

g[7]

g[8]

g[7]

g[7]

g[8]

g[7]

g[8]

g[8] = (0 4 3 4 3 4);

g[8]

g[7]

g[8]

g[7]

g[8]

g[8]

g[7]

g[8]

g[7]

Легко, в частности, проверить, что g[1]×g[2] = (023431)×(034342) = (043433) = g[3].

Будем по-прежнему считать, как это было показано в работе [8], что каждому преобразованию из элементов множества бинарных преобразований симметрии можно поставить в соответствие (визуализировать) некоторую структуру, описание преобразований в которой следует вести в терминах «подстановки», анализируя структуру самой подстановки. Новые неклассические «подстановки» (substitution, но не permutation) группы с нарушенной симметрией, записанные теперь в табл. 3 (если сравнивать с табл. 1), получат двумерную (в виде «цветного ожерелья») или одномерную геометрическую интерпретацию (в виде диаграмм). Демонстрационный результат визуализации подстановок представлен на рис. 4 для трех произвольно выбранных операций из этой таблицы.

rau4.tif

Рис. 4. Структуры подстановок (по табл. 3): g[0] = (012345) = (0)(1)(2)(3)(4)(5); g[1] = (0 2 3 4 3 1) = (0)[5 1 2 (3 4)]; g[8] = (0 4 3 4 3 4 ) = (0)[1(4 3)][2 (3 4)][5 (4 3)]

В одном из проведенных нами компьютерных экспериментов с неклассическими подстановками числовое множество из 34 значений чисел составило множество преобразований, содержащее 91 элемент в таблице произведений. Оказалось, что в этой полной таблице умножения удается выделить 4 операции (включая g[0]), которые образуют небольшое замкнутое подмножество преобразований, приведенное в табл. 4. Это подмножество является циклическим с образующим элементом g[1].

Таблица 4

Таблица умножения конечного подмножества из 4-х преобразований

g[0] = (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33);

g[0]

g[1]

g[2]

g[3]

g[1] = (10 14 18 21 25 27 29 21 25 4 31 4 31 6 16 6 16 8 16 8 10 18 10 18 12 16 12 14 14 16 23 16 23 28);

g[1]

g[2]

g[3]

g[3]

g[2] = (31 16 16 18 16 14 16 18 16 25 16 25 16 29 16 29 16 25 16 25 31 16 31 16 31 16 31 16 16 16 18 16 18 14);

g[2]

g[3]

g[3]

g[3]

g[3] = (16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16);

g[3]

g[3]

g[3]

g[3]

rau5.tif

а) б)

Рис. 5. Структуры преобразований с конвергентными свойствами: (а) структуры из 34 точек (g[1] – g[3], табл. 4) и (б) структура мозаики из 36 точек (g[1], табл. 6)

Визуализация структур операций этого подмножества (кроме тождественного преобразования g[0]) представлена на рис. 5, а.

Очевидно, что структура операции g[3] (рис. 5, а) представляет собой орграф с конвергентными свойствами (все пути, сходящиеся к точке). Правая часть табл. 4, то есть таблица произведений g[0] – g[3], может рассматриваться как основание для формулировки теоремы «О существовании множества преобразований с конвергентными свойствами структуры орграфа». Легко показать, что для любой таблицы (с любым конечным количеством элементов), структурно построенной по аналогии с табл. 4, обязательно существует одно преобразование, которое можно записать единственным значением числа R. В структуре орграфа эту точку, к которой сходятся все пути (так же, как на рис. 5, а для g[3], R = 16), назовем условно «Рим» (по старинной поговорке: «все дороги ведут в Рим»), а множество элементов такой таблицы, в которой существует «римская» точка, «римским множеством преобразований».

Результаты исследования и их обсуждение

Ниже представим перечень результатов исследований, полученных в компьютерном эксперименте, которые могут быть применены для дальнейшего анализа и изучения структур с группами нарушенной симметрии (ГНС).

1. Операция g[7] в римском множестве табл. 5 выполняет роль «нуля», так как ее применение к другим операциям множества элементов оставляет g[7] в качестве результата: «нуль на что не умножай, остается нулем». Таким образом, римское множество бинарных операций имеет «единицу» (g[0]) и «ноль» (g[7]), но не имеет обратных элементов.

Таблица 5

Таблица умножения преобразований с «римской точкой» на множестве из 8 точек

g[0] = (0 1 2 3 4 5 6 7);

g[0]

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[5]

g[6]

g[7]

 

g[1] = (1 2 3 4 5 6 7 7);

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[5]

g[6]

g[7]

g[7]

 

g[2] = (2 3 4 5 6 7 7 7);

g[2]

g[3]

g[4]

g[5]

g[6]

g[7]

g[7]

g[7]

 

g[3] = (3 4 5 6 7 7 7 7);

g[3]

g[4]

g[5]

g[6]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

 

g[4] = (4 5 6 7 7 7 7 7);

g[4]

g[5]

g[6]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

 

g[5] = (5 6 7 7 7 7 7 7);

g[5]

g[6]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

 

g[6] = (6 7 7 7 7 7 7 7);

g[6]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

 

g[7] = (7 7 7 7 7 7 7 7);

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

g[7]

РИМ

2. Переход к орграфу с расходящимися векторами («все дороги выходят из Рима») формально можно представить «обратными» операциями g [1] -1, в матрицах подстановок которых верхняя и нижняя строка меняются местами. Очевидно, что конвергентные и дивергентные свойства обратны друг другу. В частности, g[1]-1 будет представлена следующим образом: rau02.wmf. Произведение g[1] х g[1] -1 = g[0] и т.д. Поэтому описание множеств с дивергентными свойствами расходимости орграфа структуры определяется простым переходом в записи: от обычных матриц подстановок к обратным.

3. Возвращаясь к структурам с симметрией оси 5-го порядка, приведем пример описания мозаики с конвергентными свойствами орграфа структуры. Построение мозаики (рис. 5, б) выполнено копированием пятиугольников по точкам структуры правильного пятиугольника на первом этапе «свертки». Образовавшийся фрагмент копируется еще раз, и эту процедуру можно выполнять многократно, имитируя эволюционный процесс «раздувания» структуры (по аналогии с рис. 1, б). После второго этапа (36 точек на рис. 5, б) математическая модель группы нарушенной симметрии будет записана так, как это представлено в табл. 6.

Таблица 6

Таблица умножения преобразований с «римской точкой» (по рис. 5, б)

g[0] = (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35);

g[0]

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[1] = (0 0 0 0 0 0 9 6 6 1 6 6 16 12 12 12 2 12 23 18 18 18 18 3 25 4 24 24 24 24 32 30 5 30 30 30);

g[1]

g[2]

g[3]

g[4]

g[4]

g[2] = (0 0 0 0 0 0 1 9 9 0 9 9 2 16 16 16 0 16 3 23 23 23 23 0 4 0 25 25 25 25 5 32 0 32 32 32);

g[2]

g[3]

g[4]

g[4]

g[4]

g[3] = (0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 0 2 0 3 3 3 3 0 0 0 4 4 4 4 0 5 0 5 5 5);

g[3]

g[4]

g[4]

g[4]

g[4]

g[4] = (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0);

g[4]

g[4]

g[4]

g[4]

g[4]

Операция g[1] является «образующим элементом» группы. Орграф структуры этой операции легко сопоставить с мозаикой (рис. 5, б).

4. Еще один вывод следует из факта существования римского множества: свойство дивергенции орграфа ведет к ситуации, когда все точки структуры становятся различимыми и переходят только сами в себя. Это конечная операция «единицы» g[0]-1. Конвергенция же, наоборот, приводит к абсолютной симметрии, когда все точки структуры становятся неразличимыми. Это конечная операция «нуля» g[R].

Заключение

В компьютерном эксперименте, при изучении структур преобразований с нарушенной симметрией, обнаружены новые («римские») множества: с «нулем», «единицей», без обратных элементов, с конвергентными (сходимостью) и дивергентными (расходимостью) свойствами орграфа структуры. Существует возможность перехода от множества преобразований с конвергентными свойствами орграфа структуры к структурам множеств с дивергентными свойствами, заменой неклассических матриц с нарушенной симметрией на обратные матрицы подстановок. Этот подход наглядно демонстрирует рождение эволюционных деревьев орграфа структуры и в то же время выделяет самый общий аспект исследований, важный для экономики, микробиологии, кристаллографии, астрофизики. Проблема, очевидно, выходит за рамки одной статьи, однако еще раз показывает, каким образом обнаруженное в кристаллографии П. Кюри нарушение симметрии «творит явление». Всякое явление, обнаруженное в природных и социально-экономических системах, подчиняется принципу нарушения симметрии, который определяет динамику изменения симметрии и свойств системы. С точки зрения теории множеств всякое множество бинарных преобразований всегда подчиняется требованию ассоциативности и, в общем случае, является полугруппой.

Работа поддержана грантом РФФИ № 14-02-97504.