В последние годы существенно упал уровень подготовки школьных выпускников по математике, что отмечается в работах [1, 2, 5, 8, 9]. Это объясняется разными причинами:
1) снижение мотивации;
2) падение уровня подготовки преподавателей;
3) снижение расходов на образование [4].
В этой связи приходится менять старые методические подходы к обучению студентов как математике, так и курсам на ее основе. В Тульском филиале РЭУ им. Г.В. Плеханова на кафедре финансов и информационных технологий управления ведется активная работа по использованию современных программных средств при изучении математики, эконометрики и других курсов с целью научить студентов, не имеющих глубоких теоретических знаний и навыков серьезной вычислительной работы, решению основных типов задач и построения и анализа математических моделей экономических процессов.
В качестве базовых программ используются комплексы MAXIMA [6, 7] и gretl [3, 10].
Программа MAXIMA является универсальной программой проведения аналитических и численных расчетов, которая может быть использована для решения практически всех задач, которые могут встретиться в курсах линейной алгебры, математического анализа, рядов, дифференциальных уравнений и других. При необходимости эта программа может выступать универсальным научным калькулятором и графопостроителем.
Программа gretl является специализированной программой проведения статистических исследований и построения и анализа эконометрических моделей.
Коммерческими аналогами этих программ являются MathCad®, Mathematica®, Maple® (для MAXIMA) и STATISTICA®, SPSS® (для gretl). Как правило, цена на указанные продукты лежит в диапазоне от $130 (упрощенные студенческие версии) до $2000. Такие цены, особенно в настоящее время, не позволяют их приобретение ни студенту, ни преподавателю вуза. В то же время, программы MAXIMA и gretl являются полностью бесплатными.
Несмотря на то, что коммерческие версии перечисленных выше программ обладают большей функциональностью, опыт работы в техническом (Тульский государственный университет) и экономических (Тульский филиал Всероссийского заочного финансово-экономического института, Тульский филиал Российского государственного торгово-экономического университета, Тульский филиал Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова) вузах показал, что для всех студентов и подавляющего большинства аспирантов свободно распространяемые продукты gretl и MAXIMA позволяют решать стоящие перед ними задачи.
Дополнительным достоинством MAXIMA и gretl является предоставление пользователям исходного кода программы.
Рассмотрим некоторые возможности указанных программ.
Программа MAXIMA
Программа MAXIMA может служить для разных целей.
Во-первых, как обычный научный калькулятор с радом дополнительных возможностей (рис. 1).
Рис. 1. Использование программы MAXIMA в качестве научного калькулятора
Алгоритм расчетов следующий:
1) вводится некоторое числовое или аналитическое выражение, которое после нажатия клавиши «ENTER» преобразуется в стандартный вид;
2) при необходимости получения численного значения в пункте основного меню «Численные расчеты» выбирается команда «В число с плавающей точкой»;
3) при необходимости алгебраического или тригонометрического преобразования на основной панели «Математика» выбирается соответствующий пункт.
В программе можно вычислять пределы, как аналитически, так и численно, производить тригонометрические и алгебраические преобразования.
Важной и широко используемой функцией является построение графиков (как двумерных, так и трехмерных).
Как известно, исследование функций в курсе дифференциального исчисления является обязательным заданием для студентов любой специальности, в которой требуется знание математики. На рис. 2 приведен пример графиков функции и ее асимптоты.
Рис. 2. Пример построения графиков
Основные (характерные) точки графика, такие как пересечения с осями координат, точки экстремумов и точки перегиба, асимптоты должны быть найдены в процессе исследования и сравнены с полученным графиком.
Для построения графиков необходимо задать функции (операторы 12 и 13) и вызвать команду построения графиков (оператор 16) либо выбором соответствующего пункта меню «Двумерный график», либо вводом соответствующего текста.
В курсе «Дифференциальное и интегральное исчисление» программа может быть использована для аналитического и численного дифференцирования и интегрирования.
В курсе «Линейная алгебра» имеется возможность любых матричных операций, включая решение систем алгебраических уравнений и нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц.
В курсе «Дифференциальные уравнения» можно использовать эту программу для решения обыкновенных дифференциальных уравнений как численно, так и аналитически.
В курсе «Ряды» возможны нахождения сумм рядов, разложения функций в ряд Тейлора и т.д.
В курсе «Теория вероятностей и математическая статистика» можно находить вероятности событий, основные статистические характеристики случайных величин, использовать специальные распределения.
Практически любая задача, которая может быть задана студенту и возникнуть у аспиранта, решаема при помощи программы MAXIMA.
Полное описание программы MAXIMA приведено в работе Е.А. Чичкарева [7].
Трудности возникают лишь при построении статистических моделей случайных процессов, а также при изучении выборок большого объема. Такие задачи лучше решать при помощи программы gretl.
Программа gretl
Как было отмечено выше, программа gretl является специализированной программой. Описание этой программы и системы команд в настоящее время на русском языке отсутствует. Тем не менее, в книге Т. Куфеля [3] описаны ее основные возможности. После изучения этой книги, оставшиеся методы могут быть освоены самостоятельно.
На сайте разработчиков [10], помимо собственно программы и дополнительных модулей, имеется большая база реальных данных, начиная от индекса Доу Джонса за несколько десятилетий, заканчивая удойностью польских коров.
Перечислим основные задачи, которые могут быть решены при помощи программы gretl: расчет основных статистик; расчет коэффициентов уравнения регрессии; анализ многомерной корреляционной матрицы; проверка нормальности и гетероскедастичности остатков; анализ временных рядов, включая расчет линий тренда, автокорреляции, сезонных колебаний; анализ систем одновременных эконометрических уравнений двухшаговым методом наименьших квадратов.
На рис. 3 представлен общий вид основного окна рограммы.
Рис. 3. Основное окно программы gretl
Исходные данные могут быть взяты из имеющихся примеров, введены при помощи встроенного табличного процессора, импортированы из файлов Excel®.
В таблице приведены некоторые данные по Центральному федеральному округу.
Экономические данные по ЦФО
|
Территории федерального округа |
у1 |
у2 |
у3 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
|
Белгородская обл. |
13,5 |
44,3 |
38,302 |
3,687 |
164,1 |
44,0 |
3,717 |
|
Брянская обл. |
3,7 |
26,2 |
28,737 |
0,967 |
129,9 |
26,4 |
2,183 |
|
Владимирская обл. |
6,3 |
35,4 |
30,934 |
3,782 |
139,1 |
47,0 |
3,508 |
|
Воронежская обл. |
10,1 |
52,1 |
58,806 |
2,960 |
251,2 |
40,6 |
6,742 |
|
Ивановская обл. |
2,4 |
18,1 |
18,114 |
0,515 |
88,7 |
42,0 |
2,350 |
|
Калужская обл. |
6,5 |
26,1 |
21,578 |
2,171 |
112,9 |
38,0 |
2,292 |
|
Костромская обл. |
4,1 |
18,2 |
17,002 |
0,559 |
94,5 |
42,6 |
1,483 |
|
Курская обл. |
6,2 |
31,9 |
28,837 |
2,287 |
143,5 |
37,2 |
2,300 |
|
Липецкая обл. |
8,3 |
48,2 |
33,264 |
11,623 |
156,9 |
55,3 |
2,700 |
|
Орловская обл. |
5,8 |
25,5 |
20,448 |
13,441 |
79,5 |
42,9 |
1,808 |
|
Рязанская обл. |
10,1 |
32,0 |
27,887 |
3,882 |
139,9 |
59,9 |
2,775 |
|
Смоленская обл. |
8,8 |
29,9 |
29,995 |
1,906 |
147,6 |
30,0 |
2,092 |
|
Тамбовская обл. |
3,5 |
25,9 |
29,976 |
0,874 |
143,3 |
35,5 |
2,533 |
|
Тверская обл. |
10,9 |
38,7 |
30,394 |
2,905 |
199,2 |
28,0 |
2,592 |
|
Тульская обл. |
8,1 |
43,7 |
41,076 |
5,314 |
183,1 |
40,0 |
3,983 |
|
Ярославская обл. |
14,5 |
46,9 |
41,805 |
9,625 |
221,6 |
48,5 |
3,692 |
Примечания. y1 – инвестиции в основной капитал за год, млрд руб.;
y2 – стоимость валового регионального продукта (валовая добавленная стоимость) млрд руб.;
y3 – сумма доходов населения региона за год, млрд руб.,
х1 – финансовый результат деятельности (прибыль), млрд руб.;
х2 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд руб.;
х3 – доля инвестиций в активную часть основных фондов экономики, %;
х4 – сумма остатков вкладов на счетах в Банке России, млрд руб.
Была поставлена задача построить по этим данным следующую эконометрическую модель:
.
Данные были введены в программу gretl.
Для определения коэффициентов уравнений двухшаговым или трехшаговым методом наименьших квадратов следует пройти последовательность пунктов меню «Модель» > «Система уравнений» > «Двухшаговый метод наименьших квадратов» и ввести систему уравнений (рис. 4).
Рис. 4. Подготовка к решению системы одновременных эконометрических уравнений
Далее, в окне «gretl: система одновременных уравнений» определяются переменные каждого уравнения и задаются эндогенные переменные.
Результаты расчетов приведены на рис. 5.
Рис. 5. Итоги вычислений коэффициентов уравнений
Можно отметить предельную простоту применения программы gretl. Практически все студенты смогли освоить работу с ней за запланированное время.
Заключение
Использование программ MAXIMA и gretl на первых курсах университета дало следующие результаты:
1) студенты первого курса быстро смогли наработать навыки сложных алгебраических вычислений, включая решение систем линейных алгебраических уравнений;
2) до 70 % студентов первого курса приобрели устойчивые навыки исследования функций;
3) свыше 70 % поняли проблемы вычисления неопределенных и определенных интегралов;
4) практически все студенты поняли важность дифференциальных уравнений при построении моделей экономических, социальных и других процессов;
5) доля студентов, решивших в срок контрольные и контрольно-графические работы, возросла с 20…40 % до 70…85 %;
6) улучшилось восприятие сложных теорем и методов решения практических задач;
7) статистический анализ сложных экономических систем и процессов был освоен студентами на высоком уровне;
8) были получены навыки построения и анализа эконометрических моделей;
9) без применения сложных доказательств студенты смогли понять границы использования разных методов построения моделей (одношаговый, двухшаговый, трехшаговый методы наименьших квадратов), отличие линейных и нелинейных моделей.
Таким образом, практика использования программ MAXIMA и gretl показывает, что выпускники университета лучше осваивают математические методы моделирования и анализа сложных экономических процессов и систем, более адекватно воспринимают полученные уравнения, способны на квалифицированный прогноз ситуации в будущем.