Рассмотрим направленность Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС), программ и учебников геометрии на формирование у учащихся компетенций, связанных с доказательством математических предложений.
Среди требований стандартов к предметным результатам освоения математики (алгебры, геометрии, начал анализа) базового уровня нет требований к обучению учащихся умению доказывать. Они есть лишь в требованиях к предметным результатам освоения математики профильного направления: «Требования должны отражать: сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знание основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач» [11].
Таким образом, ФГОС общего образования – важнейший нормативный документ образования – включает в себя требования к результатам обучения «умение делать логические выводы, проводить доказательные рассуждения» только к профильному курсу математики.
В программе по математике базового уровня в пояснительной записке отмечается среди общеучебных умений, навыков и способов деятельности такое требование: «проведение доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различение доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений»; среди умений, формируемых геометрией, отмечается: «проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач» [11].
В пояснительной записке к программе по математике для базового уровня профиля «Математика» среди умений, формируемых геометрией, отмечено «проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач, доказывать основные теоремы курса» [11].
Анализ показывает, что к учащимся классов с углубленным изучением математики предъявляются более высокие требования к умению доказывать, что требует от учителя более серьезной подготовки учащихся к проведению доказательств.
Компетенции, связанные с доказательствами, преимущественно формируются в процессе доказательства теорем и решения задач на доказательство.
Проанализируем школьные учебники геометрии [1, 2, 5, 8, 9, 10] с точки зрения обучения учащихся доказательству.
В учебниках геометрии [8, 9] авторов И.М. Смирновой, В.А. Смирнова, понятия «теорема» и «доказательство» вводятся уже в первой главе (п. 1.1). Все теоремы и вытекающие из них следствия сопровождаются доказательством. Всего за полный курс геометрии учащимся предлагается 164 теоремы для непрофильных классов и 203 теоремы для классов с углубленным изучением математики.
Наиболее распространенные виды теорем в данных учебниках – теоремы-свойства (74%) и теоремы-признаки (18%). Чаще всего теоремы формулируются в категорической форме – 69%.
В учебниках геометрии [1, 2] авторов Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. понятия «теорема» и «доказательство» вводится не сразу, а постепенно: в первой главе содержится информация о неопределяемых понятиях, аксиомах, математических предложениях, проводятся доказательные рассуждения, но все они не называются таковыми.
Во второй главе при изучении первого признака равенства треугольников авторы учебника дают определения понятиям «теорема» и «доказательство», ссылаясь, что раннее проводились доказательные рассуждения: «… фактически мы уже имели дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о равенстве вертикальных углов является теоремой, а рассуждения, которые мы провели, чтобы установить равенство вертикальных углов, и есть доказательство теоремы…» [1, с. 29].
Всего в учебниках [1, 2] содержится 90 теорем. Практически все теоремы даны с доказательством, исключение составляют 5 утверждений, которые предлагаются учащимся в качестве самостоятельной работы.
Большая часть теорем сформулированы в категорической форме (66%). 33% теорем сформулировано в условной форме. Одна теорема сформулирована в разделительной форме. Теорем-следствий в учебнике примерно 56%, теорем-признаков – 34%, теорем существования и единственности – 10%.
В работе [7] проведен и представлены результаты анализа учебников геометрии на предмет наличия в них задач на доказательство. Приведем эти результаты (таблица 1).
Таблица 1
Процентное соотношение задач на доказательство в учебниках геометрии
|
Учебник |
Всего заданий в учебнике |
Из них на |
Процент от общего числа заданий |
|
Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9» [1] |
1229 |
427 |
34,7% |
|
Погорелов А.В. «Геометрия 7-9» [5] |
791 |
203 |
25,7% |
|
Шарыгин И.Ф. «Геометрия 7-9» [10] |
1471 |
369 |
25% |
Покажем динамику изменения процентного соотношения задач на доказательство в этих учебниках (таблица 2) [7].
Таблица 2
Динамика изменения процентного соотношения заданий на доказательство в учебниках геометрии
|
учебник класс |
Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9» [1] |
Погорелов А.В. «Геометрия 7-9» [5] |
Шарыгин И.Ф. «Геометрия 7-9» [10] |
Средний процент |
|
7 |
52% |
36% |
22,8% |
37% |
|
8 |
35,5% |
25,5% |
25,9% |
29% |
|
9 |
24% |
17,5% |
27,5% |
22,9% |
Результаты анализа показывают, что в учебниках [1,5] наблюдается значительное снижение числа задач на доказательство к 9 классу, а в учебнике [10] эти задачи распределены более равномерно.
Анализ стандартов и программ по математике показывает, что проблеме обучения учащихся доказательству теорем не уделяется должного внимания.
Анализ школьной практики показывает, что учителя переключили внимание на подготовку к ГИА и ЕГЭ по математике.
В контрольно-измерительных материалах ГИА и ЕГЭ по математике нет ни одной задачи на доказательство, а потому учителя за редким исключением доказывают теоремы и не требуют этого от учащихся. Это негативно сказывается на формировании математической культуры учащихся.
Приведем перечень видов работ учителя по пропедевтике обучения учащихся доказательству теорем: формирование у учащихся умения подмечать закономерности; воспитание у учащихся понимания необходимости доказательства; обучение учащихся умению выделять условие и заключение в математических утверждениях; ознакомление учащихся с простыми и сложными высказываниями и значениями их истинности; ознакомление школьников с понятием отрицания высказываний и с понятием противоречивых высказываний; обучение учащихся умению выделять различные конфигурации на одном и том же чертеже; обучение учащихся умению пользоваться контрпримерами; обучение учащихся умению выполнять геометрические чертежи и читать их; формирование у учащихся умения выводить следствия из заданных условий; формирование у учащихся умения проводить доказательные рассуждения, делать выводы.
Укажем также, каковы должны быть действия учителя по подготовке к уроку, на котором будет доказываться теорема: анализ формулировки теоремы и выяснение ее значения в системе других теорем; построение аналитических рассуждений, облегчающих понимание доказательства теорем; определение ведущего метода доказательства, исследование особенностей доказательства; исследование математических ситуаций, возникающих при доказательстве; поиск других методов и способов доказательства теоремы; определение рациональной записи доказательства теоремы на доске и в тетрадях учащихся; подбор задач, решение которых облегчит доказательство теоремы; подбор задач, закрепляющих доказываемую теорему; подбор материала для внеклассной работы, связанный с изученной теоремой.
Более обстоятельный разговор об обучении учащихся доказательству представлен в наших работах [3, 4].