Scientific journal

Modern high technologies

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

Математическое моделирование играет большую роль в решении различных экономических проблем, позволяя определить цели и типы их решения, обеспечивая структуру для целостного анализа. С помощь количественных моделей возможно более подробное изучение полученных данных, поэтому экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Ввиду сложности экономики для ее модельного описания используются различные подходы, одним из которых является линейное программирование.

Частью линейного программирования являются транспортные задачи, которые играют особую роль в уменьшении транспортных издержек предприятия. Это является актуальным вопросом в условиях рыночной экономики, когда любые затраты должны быть минимизированы, ведь тогда издержки покрываются меньшей частью прибыли, а также позволяют снизить себестоимость продукции на рынке, что делает предприятие более конкурентоспособным.

Транспортная задача – задача об оптимальном плане перевозок продукта из пункта наличия в пункт потребления. Их целью является доставка продукции в определенное время и место при минимальных совокупных затратах трудовых, материальных и финансовых ресурсов.

Она считается достигнутой, если нужный товар требуемого качества и в необходимом количестве доставляется в нужное время и в нужное место с минимальными затратами.

Выделяют два типа транспортных задач: по критерию стоимости – план перевозок является оптимальным, если достигается минимум затрат на его реализацию; по критерию времени – план перевозок оптимален, если на него затрачивается минимальное количество времени.

Для решения транспортных задач разработан специальный метод, имеющий следующие этапы:

1. Нахождение исходного опорного решения;

2. Проверка этого решения на оптимальность;

3. Переход от одного опорного решения к другому;

Существуют следующие методы решения транспортных задач.

1. Метод северо-западного угла заключается в том, что на каждом этапе левая верхняя (т.е. северо-западная) клетка заполняется максимальным числом. Заполнение продолжается до тех пор, пока на одном из шагов не исчерпаются запасы и не удовлетворятся все потребности.

2. Метод потенциалов решения. Определяют систему из m1 линейных уравнений с (m+n) неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для её определённости одному неизвестному присваивают произвольное значение (обычно альфа равное 0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

3). Метод минимального элемента заключается в заполнении на каждом шаге таблицы той клетки, которой соответствует наименьшее значение, а в случае наличия нескольких одинаковых тарифов заполняется любой из них.

4. Метод аппроксимации Фогеля – более трудоемкий, но начальный план перевозок, построенный с его помощью, является наиболее приближенным к оптимальному. При решении задачи данным методом по всем строкам и столбцам таблицы находится разность между минимальными тарифами (строка или столбец с наибольшей разницей является предпочтительным). В пределах выбранной строки (столбца) находится ячейка с наименьшим тарифом, на которую записывают отгрузку. Строки поставщиков, которые полностью исчерпали возможности по отгрузке, и столбцы потребителей, потребности которых удовлетворены, вычеркиваются.

Теперь изучим применение метода Фогеля на практике. Для этого рассмотрим следующий пример. Имеются три пункта поставки компьютеров: Склад №1, Склад №2, Склад №3. Также есть 5 магазинов: Магазин «Терабайт», Магазин «Лидер», Магазин «Эксперт», Магазин «Ока-сервис», «Владимирский рынок», потребляющих этот товар. Необходимо найти оптимальный вариант распределения товаров с минимальными затратами.

Дано: Склад №1=200 шт.; Склад №2=250 шт., Склад №3=200 шт.

Требуется доставить: Магазин «Терабайт» =190 шт.; Магазин «Лидер»=100 шт.; Магазин «Эксперт» = 120 шт.; Магазин «Ока-сервис» 110 шт.; «Владимирский рынок» = 130шт.

Сетка тарифов имеет следующий вид

Построим для данной задачи матрицу тарифов, по которой будет происходить поиск оптимального плана распределения товаров между магазинами. Для более удобного решения задачи обозначим магазины и товары переменными.

Магазины: Магазин «Терабайт» = B1; Магазин «Лидер»= В2; Магазин «Эксперт»=В3; Магазин «Ока-сервис»= В4; «Владимирский рынок» = В5.

Товары: Склад№1=А1; Склад№2=А2; Склад№3= А3.

Тогда матрица будет выглядеть так:

Используя построенную матрицу тарифов, найдём оптимальный опорный план методом аппроксимации Фогеля.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:

∑a=200+250+200=650;

∑b=190+100+120+110+130=650.

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Построим опорный план транспортной задачи:

Для нахождения опорного плана данным методом нужно найти разность между наименьшими элементами в столбцах и строках. Затем определяем наибольшую разность ∆cij. Дальше находим минимальный тариф в столбце (или строке), которому принадлежит ∆cij, и отдаем ему столько, сколько можно отдать: это тариф [А2;В1]. Исключаем из вычислений первый столбец. И так продолжаем до тех пор, пока все товары не будут найдены. В результате получен опорный план, который являемся допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m+n – 1=7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Теперь необходимо посчитать затраты на распределение товаров.

Результат: Затраты на распределение товаров между магазинами найденные методы наименьшей стоимости составят 15110 рублей.

Метод Фогеля решения транспортной задачи один из самых эффективных, потому что с помощью этого метода можно получить максимально близкий к оптимальному план.

Подводя итоги, мы можем с уверенностью сказать о том, что транспортные задачи являются важным средством решения многих экономических проблем, возникающих перед предприятиями. С их помощью возможно не только рациональное планирование путей, но и устранение дальних, повторных перевозок. Это ведет к более быстрой доставке товаров, сокращению затрат производства на топливо, ремонт машин, т.е. к сокращению транспортных издержек.