Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

1
1

Аппарат линейной алгебры может быть использован для построения микроэкономических моделей, а именно отыскание собственных чисел и собственных векторов квадратной матрицы.

При исследовании различных экономических ситуаций возникает необходимость рассматривать матрицу обмена и находить ее собственные векторы.

Рассмотрим задачу о равновесии цен в простой модели обмена.

Пусть имеется система из n отраслей производства, каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обмен продукцией происходит только внутри системы (экономика замкнута) и известна матрица А:

metod001.wmf (1)

где αij – доля продукции j-й отрасли, которая поступает в i-ю отрасль.

Ясно, что для матрицы А выполнены два условия:

αij ≥ 0, I = 1,2,…n;

metod002.wmf

Второе условие вызвано тем, что вся продукция j-ой отрасли предназначена для обмена внутри системы. Матрица (1), для которой выполнены условия 1 и 2, называется матрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счёт другой.

Пусть хi – цена одной единицы продукции i-й отрасли, а metod003.wmf – вектор цен. Тогда расход i-й отрасли, т.е. стоимость всей закупаемой ею продукции, таков: metod004.wmf

Чтобы отрасль могла развиваться, её расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведённой ею продукции, т.е. xi:

metod005.wmf (2)

Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств (2) выполняется для них как система равенств: metod006.wmf

Таким образом, задача свелась к следующему:

1. выяснить, является ли число λ=1 собственным числом матрицы обмена А;

2. если да, то найти соответствующий этому собственному числу полуположительный собственный вектор матрицы А.

Для того чтобы число λ=1 было собственным числом матрицы обмена А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство metod007.wmf.

Итак, число 1 является собственным числом матрицы обмена и для отыскания соответствующего ему собственного вектора следует найти полуположительное решение однородной системы (A – E) metod008.wmf. Найденный полуположительный вектор metod009.wmf является искомым вектором равновесных цен.

Рассмотрим пример: экономическая система состоит из трёх отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена

metod010.wmf.

Найдем вектор равновесных цен. Составим однородную систему линейных уровнений (А-Е) metod011.wmf:

metod012.wmf

Решив её, получим:

metod013.wmf

Полагая а > 0, находим равновесные цены на продукцию каждой отрасли: х1=33а; х2=32а; х3=28а, где а можно трактовать как множитель, связанный с денежной единицей.

Другая экономическая модель, где решается математическая задача того же вида, – это модель международной торговли. Рассмотрим систему из п стран, торгующих только друг с другом (т.е. система замкнута). Известна матрица metod014.wmf, где metod015.wmf – доля средств j-й страны, затрачиваемая на импорт из i-й страны. Матрица А является матрицей обмена (1), т.е. metod016.wmf и metod017.wmf

Требуется найти первоначальное распределение средств между странами, обеспечивающее равновесие всей системы, т.е. такое положение, при котором в каждой стране после каждого цикла обмена остаётся столько же средств, сколько было до обмена.

Пусть хi – количество средств i-й страны, т.е. вектор metod018.wmf описывает искомое распределение средств. Ясно, что надо найти вектор metod019.wmf, удовлетворяющий условиям

metod021.wmf

Ранее было показано, что число 1 есть собственное число матрицы обмена А и что существует полуположительный собственный вектор metod022.wmf матрицы А, соответствующий этому собственному числу. Вектор metod022.wmf и является искомым первоначальным распределением средств. Система при этом будет находиться в равновесии, т.е. расход каждой страны в каждом цикле обмена совпадает с её доходом от экспорта и не изменяется от цикла к циклу.