Во всех курсах физики для вычисления работы предлагается формула:
dA = FdS cos α (1)
Из этой формулы следует, что работа равна нулю, если сила не производит перемещение тела или если сила перпендикулярна перемещению S (например, центростремительные силы). Однако автором в работах [1-3] было показано, что центростремительные и гироскопические силы также совершают работу. В тех же курсах физики приводятся примеры, свидетельствующие о том, что центростремительные силы все же совершают работу!
Так, в [4, стр. 257] говорится: «Из того, что при криволинейном движении тело испытывает ускорение, следует, что на него должны действовать силы. Например, грузик, привязанный к нити, может двигаться по окружности только в том случае, если нить тянет его с некоторой силой. Но нить может тянуть грузик только если она деформирована (растянута)». И далее [стр.259]: «При вращении колес, дисков и т.п. возникают деформации того же типа, что и деформации связей, заставляющих тело двигаться по окружности. Именно силы, обусловленные такими деформациями, и сообщают частям вращающегося тела центростремительные ускорения, необходимые для того, чтобы эти части двигались по окружности. Если тела очень жестки, то деформации очень малы и их непосредственное наблюденивенное наблюдени.
Однако эти деформации могут привести к разрушению вращающегося тела: в ряде случаев маховики и другие вращающиеся части машин разрывались при движении. Разрушение было связано обычно с превышением допустимой скорости вращения». Вот и говори после этого, что центростремительные силы не совершают работы!
Если тело массы m под действием силы F движется по криволинейной траектории dS , то кроме обычной («путевой») работы dA = FdS cos α , еще совершается работа центростремительной силы Fn = man = mV2 / R, где V = dS / dt, dS = R • dφ, где R - радиус кривизны элемента dS (рис.1). Элементарная работа центростремительной силы (см. гл.3)
dAn = FndSn (2)
Т.к. Sn = R(1 - cos φ) , то
dSn = R sin φ dφ (3)
Рассмотрим, например, разгон тела из неподвижного состояния по дуге окружности радиуса R под действием постоянной силы F , направленной по касательной. Обычная («путевая») работа может быть вычислена по известной формуле
dA = M • dφ (4)
где M = F • R - момент силы. Поскольку скорость тела определяется выражением V = Rω = Rε t, угловое ускорение ε = F / mR, время t2 = 2φ / ε , то центростремительная сила:
Fn = m / R • (Rε t )2 = 2mRεφ = 2φF (5)
Элементарная работа центростремительной силы:
dAn = 2 FRφ sin φ dφ (6)
Работа
(7)
Работу An центростремительной силы Fn и обычную («путевую») работу A для различных углов поворота приведем в Таблице 1.
Таблица 1. Работа An центростремительной силы Fn и обычная («путевая») работа A для различных углов поворота
|
Угол поворота, φ |
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
|
Работа An |
2FR |
2πFR |
2FR (1 + π ) |
4πFR |
|
«Путевая» работа A |
πFR/2 |
πFR |
3πFR/2 |
2πFR |
Поскольку силы F и Fn взаимноперпендикулярны, то работы этих сил аддитивны, т.е. складываются арифметически: AΣ = A + An .
Рассмотрим работу, затрачиваемую на разгон вокруг оси тела вращения (например, цилиндра радиуса R , высотой H, плотность материала цилиндра ρ, масса цилиндра m = πR2 Hρ ). На рис. 2 показано сечение цилиндра и действующая на него вращающая сила F . Обычная («путевая») работа определяется формулой (4).
Элементарная центростремительная сила, действующая на кольцевой элемент толщиной dr, будет равна
(8)
Суммарная центростремительная сила, действующая на цилиндр:
(9)
Радиус приложения силы Fn равен R* = 2 R / 3. Тогда в соответствии с выражением (3) получим
(10)
Элементарная работа центростремительной силы:
(11)
Работа центростремительной силы:
(12)
Работа An центростремительной силы Fn и обычная («путевая») работа A вращающей силы F для различных углов поворота приведена в Таблице 2.
Таблица 2. Работа An центростремительной силы Fn и обычная («путевая») работа A вращающей
силы F для различных углов поворота
|
Угол поворота, φ |
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
|
Работа An |
8FR /9 |
8πFR /9 |
8FR(1 + π )/9 |
16πFR /9 |
|
«Путевая» работа A |
πFR/2 |
πFR |
3πFR/2 |
2πFR |
В силу принципа аддитивности суммарная работа на разгон цилиндра находится арифметическим сложением:
AΣ = A + An
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Иванов Е.М. О работе центростремительных и гироскопических сил. //Вестник ДИТУД, №1, Димитровград, 2003.
- Иванов Е.М. Дополнительные главы классической механики. Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2004.
- Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических сил.//Успехи современного естествознания, №9, 2004.
- Элементарный учебник физики. Под ред. Г.С.Ландсберга. Том I. Изд. «Наука», М.,1972.