На рисунке 1 ось натуральных чисел приведена в виде «поленницы» с основанием (периодом) 6. Простые числа и все их произведения любой кратности расположены в столбцах 1 и 5 этой поленницы (выделены серым цветом). Эти столбцы и представляют собой F-ось. В столбце 3 расположены числа, имеющие одним из своих делителей либо число 3, либо любую его степеней (3n). Как указано выше, число 3 представляет собой симметрию (взаимно-однозначное соответствие) F-оси с коэффициентом 3. На рисунке 1 в колонке 3 числа, образующие эту симметрию, показаны жёлтым цветом, а стрелками указано, от каких чисел F-оси они образованы. Аналогичная ситуация и для остальных степеней числа 3. Например, число 9 есть вторая степень числа 3 и оно начинает следующий слой симметрии с числами F-оси. Первыми числами этого слоя будут: 5 x 9 = 45, 7 x 9 = 63 и т.д. Они показаны на рис. 1 в колонке 3 салатным цветом. Следующим слоем будет симметрия от куба числа 3 (33 = 27) и эти числа (5 x27 = 135, 7x 27 = 189, ...) в колонке 3 показаны синим цветом и т.д. Таким образом, симметрия от F-оси для колонки 3 многослойная, основанием каждого слоя служит очередная степень числа 3, а сама колонка содержит непрерывный (без пропусков) поток чисел, являющихся суперпозицией всех чисел указанных слоёв, без взаимных перекрытий самих чисел из этих слоёв между собой.
Аналогичная ситуация и для симметрий в колонках 2 и 4. Но здесь есть отличие от колонки 3. Симметрии F-оси от чисел 2 и 4 располагаются не в одной колонке, а в обоих (второй и четвёртой колонках), чередуясь в шахматном порядке. На рис. 2 жёлтым цветом показаны числа, являющиеся симметриями для числа 2, и стрелками показано, от каких чисел F-оси они образованы. Для колонки 4 аналогичная ситуация показана салатным цветом (рис. 3). Здесь, как и для колонки 3, действует правило многослойности. Образующими этой многослойности для колонки 2 являются нечётные степени числа 2 (21 = 2, 23 = 8, 25 = 32, ..., 2(2n+1)), а для колонки 4 - чётные (22 = 4, 24 = 16, 26 = 64, ...., 22n). На рисунках 2 и 3 черным цветом обведены цифры, с которых начинаются и которые являются образующими очередных слоёв симметрии с нечётными степенями числа 2 (2(2n+1)), синим - с четными степенями числа 2 (22n). Там же синим цветом показа места, образованные симметрией F-оси со вторым слоем колонки 2 (23 = 8), красным цветом - со вторым слоем колонки 4 (24 = 16).
Из выявленных симметрий вытекают следующие следствия (для любого натурального n):
- Величина 22n - 1 не может быть простым числом и делится на 3;
- Величина 22n+1 + 1 не может быть простым числом и делится на 3;
- Величина 22n + 1 может быть простым числом;
- Величина 22n+1 - 1 может быть простым числом.
Таким образом, ось натуральных чисел можно представить как суперпозицию F-оси и её симметрий по основаниям 2(2n-1), 3n, 2(2n) с добавлением периода (6n), где n - любое натуральное число.
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Тупик Н. В. Являются ли простыми числа 2 и 3? //Электронные конференции РАЕ, август 2008 [http://www.rae.ru/zk/?section=rubricator&op=article&id=4234].