Теорема Ферма утверждает, что уравнение xn + yn = zn невозможно при целых положительных значениях x, y, z, если n>2 [4].
Ферма написал на полях против 8-й задачи II книги Диофанта «Разделить квадратное число на два других квадратных числа» следующие слова: «Разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще какую-либо степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его». Если Ферма и имел такое замечательное доказательство, то за последующие три столетия напряженных исследований такое доказательство не удалось получить [4]. Простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди не математиков и к образованию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Дэвенпорта, «смелость значительно превосходит их математические способности». Поэтому великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств [2]. Сам Ферма оставил доказательство этой теоремы для четвертых степеней. Эйлер доказал Великую теорему для n=4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет- и для n=3. Куммер доказал эту теорему для некоторого класса простых показателей n. Как отмечено в [2], в настоящее время справедливость Великой теоремы Ферма проверена для всех показателей меньше 5500. Ниже приведен вариант простого доказательства этой теоремы; автор надеется, что этот вариант имеет оригинальный и общий характер.
Пусть a, b, c, n - натуральные числа, x≥0 - целое число. Для определенности примем, что a≤b.
Содержание Великой теоремы Ферма (an+bn≠cn при n>2) запишем в виде следующих неравенств:
(b+x) n<an+bn< (b+x+1) n, n>2 . (1)
Здесь
.
В результате вычислительных экспериментов замечено, что:
- зависимости x=x(a, b, n) в виде одного уравнения не существует;
- для заданного значения n при достаточно большом значении разности (b-a) значение x равняется нулю;
- для заданных значений a и b при достаточно большом значении n значение x равняется нулю.
Исходя из вышеприведенных замечаний, рассмотрим частный случай неравенств (1):
bn<an+bn<(b+1) n. (2)
Вместо (2) можно рассмотреть следующие неравенства:
bn<an+bn≤ 2bn <(b+1) n. (3)
Справедливость первого и второго неравенств из (3) не вызывает сомнений. Рассмотрим третье неравенство из (3):
2bn <(b+1) n. (4)
Используя формулу бинома Ньютона [1], (4) запишем в виде:
2bn <bn +nbn-1 +0,5n(n-1)bn-2 +...+1.
Это неравенство можно представить в следующем виде:
bn-1(b-n) <0,5n(n-1)bn-2 +...+1. (5)
Правая часть неравенства (5) всегда больше нуля. Поэтому, при выполнении условия n³b неравенство (5) всегда имеет место. Следовательно, при выполнении условий:
n≥b≥a (6)
неравенства (2) всегда выполняются. Тем самым мы убеждаемся в справедливости теоремы Ферма для произвольных чисел, удовлетворяющих условиям (6).
Интересно отметить, что выполнение условий (6) обеспечивает справедливость теоремы Ферма и при n=2; при n=1 в (5) мы выходим из множества натуральных чисел.
Обратимся к принципу доказательства по методу полной (математической) индукции [1]. Пусть А(n) - зависящее от n € N утверждение (N- множество натуральных чисел). Если доказано, что:
а) А(n0)выполняется;
б) при условии, что А(n) справедливо для некоторого n, верно также А(n+1) (шаг индукции), то А(n)справедливо для всех n € N, n≥n0.
В рассматриваемом здесь случае А(n) - утверждение о справедливости теоремы Ферма. Для случая n0=3 это теорема доказана Эйлером; для произвольных n, n+1,...,∞, удовлетворяющих условиям (6), доказательство теоремы Ферма приведено выше. Учитывая достаточно произвольный характер n, n+1, удовлетворяющих условиям (6), на основе аксиомы индукции можно утверждать, на наш взгляд, что теорема Ферма верна и для всех n € N, n≥3.
Основное содержание этой работы депонировано в ВИНИТИ [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1980. - 976 с.
- Самин Д. К. Сто великих ученых. - М.: Вече, 2003. - 592 с.
- Сибгатуллин Э. С. К доказательству теоремы Ферма. М., 2005. Деп. в ВИНИТИ,09.11.2005. №1447 - В2005. - 3 с.
- Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1990. - 256 с.