Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

УПРОЩЕНИЕ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ В ПРОСТРАНСТВЕ И В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Карпунин А.А. 1, 2 Титков И.П. 1
1 ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)»
2 ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов»
В современной теории управления при описании движения беспилотного летательного аппарата (БПЛА) увеличивается потребность в получении и использовании универсальных математических моделей, с различной степенью полноты этих описаний. Целью работы является получение модели, учитывающей влияние перекрестных связей, и оценка этого влияния на точность модели. Рассматривается математическая модель пространственного движения БПЛА типа квадрокоптер с учетом возмущений и перекрестных связей из-за наличия гироскопических моментов при вращении аппарата, двигателей и пропеллеров. Выводится система дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, описывающая движение БПЛА в трехмерном пространстве. Производится получение ее частного случая без учета возмущений и перекрестных связей. Осуществляется линеаризация упрощенной модели. Осуществляется формирование линеаризованной системы дифференциальных уравнений, описывающей движение в вертикальной плоскости. Исследуются результаты моделирования движения БПЛА варианта с учетом возмущений и перекрестных связей, а также варианта без их учета. Осуществляется оценка влияния перекрестных связей на движение БПЛА. По результатам моделирования можно дать рекомендации по использованию полученной системы с учетом перекрестных связей, поскольку данная система повышает точность описания движения квадрокоптера.
беспилотный летательный аппарат
квадрокоптер
математическая модель
линеаризация
пространственное движение
перекрестная связь
1. Фам С.Ф., Цибизова Т.Ю. Системы управления летательными аппаратами // Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты: Труды международной научно-практической конференции (Московская область, г. Дедовск, 18–21 декабря 2014 г.). М.: ИИУ МГОУ, 2014. С. 194–196.
2. Карпунин А.А., Зазирный Е.А. Исследование задачи аппроксимации траектории плоского разворота летательного аппарата в заданном диапазоне высот и скоростей на основе рассчитанных опорных траекторий // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 10 (22) [Электронный ресурс]. URL: http://engjournal.ru/catalog/it/nav/1090.html (дата обращения: 31.01.19 ). DOI: 10.18698/2308-6033-2013-10-1090.
3. Цибизова Т.Ю., Чан Нгок Хыонг, Нгуен Динь Тхай. Мониторинг ситуации с использованием беспилотных летательных аппаратов // Научное обозрение. 2015. № 9. С. 154–159.
4. Zulu A., John S. A Review of Control Algorithms for Autonomous Quadrotors. Open Journal of Applied Sciences. 2014. Vol. 4. Р. 547–556. DOI: 10.4236/ojapps.2014.414053.
5. Necdet Sinan ?zbek. Feedback control strategies for quadrotor-type aerial robots: a survey. Transactions of the Institute of Measurement and Control. Vol. 38. No. 5. 2015. Р. 529–554. DOI: 10.1177/0142331215608427.
6. Гэн К., Чулин Н.А. Алгоритмы стабилизации для автоматического управления траекторным движением квадрокоптера // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2015. № 5. C. 218–235.
7. Belkheiri M. Different linearization control techniques for a quadrotor system. CCCA12, Marseilles. 2012. Р. 1–6. DOI: 10.1109/CCCA.2012.6417914.
8. F?hn P., Scaramuzza D. Onboard State Dependent LQR for Agile Quadrotors. IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA), 2018. Brisbane, 21 May 2018 – 25 May 2018. P. 1–8.
9. Fessi R., Bouall`egue S. Modelling and Optimal LQG Controller Design for a Quadrotor UAV. Proceedings of the 3th Internation conference on automation, control engineering and computer science (ACECS 2016). Hammamet, Tunisia. P. 264–270.
10. Hodzic M., Kurak S. Control and Estimation of a Quadcopter Dynamical Model. Periodicals of Engineering and Natural Sciences. Vol. 6. No. 1. Р. 63–75. DOI: 10.21533/pen.v6i1.164.g174.
11. Satici A.C., Poonawala H., Spong M.W. Robust Optimal Control of Quadrotor UAVs. IEEE Access. Vol. 1. 2013. Р. 79–93. DOI: 10.1109/ACCESS.2013.2260794.
12. Gherouat O., Matouk D., Hassam A., Abdessemed F. Sliding Mode Control for a Quadrotor Unmanned Aerial Vehicle. J. Automation & Systems Engineering. Vol. 10. No. 3. 2017. P. 150–157.
13. Xu Rong, Umit Ozguner. Sliding Mode Control of a Quadrotor Helicopter. Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision and Control. 2006. Р. 4957–4962. DOI: 10.1109/CDC.2006.377588.
14. Lee D., Kim H.J., Sastry S. Feedback linearization vs. adaptive sliding mode control for a quadrotor helicopter. International Journal of Control, Automation and Systems. 2009. No. 73, Р. 419–428. DOI: 10.1007/s12555-009-0311-8.
15. Ванин А.В., Воронов Е.М., Карпунин А.А. Оптимизация управления в двухуровневой иерархической системе стабилизации – наведения летательного аппарата // Инженерный журнал: наука и инновации. 2012. № 11 (11) [Электронный ресурс]. URL: http://engjournal.ru/catalog/it/nav/422.html (дата обращения: 31.01.2019). DOI: 10.18698/2308-6033-2012-11-422.
16. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-ти томах; 2-е издание. Т. 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 656 с.
17. Канатников А.Н., Акопян К.Р. Управление плоским движением квадрокоптера // Математика и математическое моделирование. 2015. № 2. С. 23–36. DOI: 10.7463/mathm.0215.0789477.
18. Luukkonen T. Modelling and control of quadcopter. Aalto University. Espoo. 2011. Р. 2–26.

В связи с ростом научно-прикладного интереса к тематике применения беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) мультироторного типа увеличивается потребность в получении и использовании универсальных математических моделей, описывающих движение БПЛА с различной степенью полноты этих описаний [1]. Большинство авторов предпринимает попытки описания движения БПЛА с помощью систем линеаризованных уравнений, поскольку для нелинейных уравнений затруднен аналитический синтез системы управления [2, 3]. Описание математической модели движения БПЛА с помощью уравнений Ньютона – Эйлера с учетом перекрестных связей представлено в [4–6]. C помощью обобщенных координат и метода Лагранжа формируется математическая модель движения БПЛА в работе [7]. Линеаризованные и упрощенные модели движения БПЛА лежат в основе синтеза регуляторов и фильтров: LQR-регуляторов [8], LQG-регуляторов [9], фильтра Калмана [10], L1-оптимизации [11]; управление со скользящим режимом [12, 13]. В работе [14] рассматривается синтез регуляторов с помощью линеаризации обратной связью.

В большинстве работ после получения систем управления, синтезированных с использованием упрощенных моделей, не выполняется оценка влияния исключенных из рассмотрения факторов. При синтезе систем автоматического управления движением БПЛА с использованием упрощенных моделей необходимо учитывать их адекватность.

Цель работы – получение модели, учитывающей влияние перекрестных связей, и оценка этого влияния на точность модели.

Математическая модель движения БПЛА

На рис. 1 показаны взаимные расположения нормальной земной и связанной систем координат, положительные направления отсчета углов рыскания, тангажа и крена, сила тяги и моменты, создаваемые винтами, направления вращения винтов.

Переход из связанной системы координат (с.к.) в нормальную земную с.к. возможно выполнить с использованием матрицы перехода [15]:

karp01.wmf

где ϑ – угол тангажа, γ – угол крена, ψ – угол рыскания.

При моделировании БПЛА приняты следующие допущения: БПЛА симметричен; центр масс расположен в начале координат связанной системы; коэффициенты силы тяги винтов равны; коэффициенты моментов, создаваемых винтами, равны. Перекрестные связи представлены гироскопическими моментами, возникающими при вращении БПЛА.

В силу симметрии тензор инерции БПЛА имеет вид

karp02.wmf

где Ix, Iy, Iz – осевые моменты инерции БПЛА.

karpun1.tif

Рис. 1. Системы координат

Сила тяжести в земной с.к.: karp03.wmf где m – масса БПЛА, g – ускорение силы тяжести. Сила сопротивления воздуха в земной с.к.: karp04.wmf где fx, fy, fz – проекции силы сопротивления воздуха в земной с.к. Сила тяги в связанной с.к.:

karp05.wmf (1)

где P – суммарная тяга, Pi – сила тяги i-го винта, karp06.wmf или ki – коэффициент силы тяги i-го винта, ri – радиус i-го винта, Si – площадь ометаемой лопастями i-го винта поверхности, р – плотность воздуха, ca – коэффициент подъемной силы винта.

Сила тяги в нормальной земной с.к.: karp07.wmf.

Уравнение динамики движения центра масс БПЛА в нормальной земной с.к.:

karp08.wmf.

Уравнение динамики движения ц.м. БПЛА в нормальной земной с.к. в проекциях на оси этой с.к.:

karp09.wmf (2)

Угловая скорость вращения БПЛА в связанной с.к.: karp10.wmf, где wx, wy, wz – проекции вектора угловой скорости аппарата в связанной с.к. Производная угловой скорости вращения БПЛА в связанной с.к.: karp11.wmf, где εx, εy, εz – проекции производной вектора угловой скорости аппарата в связанной с.к.

Вектор кинетического момента: karp12.wmf Производная кинетического момента: karp13.wmf Изменение кинетического момента: karp14.wmf где karp15.wmf – результирующий момент в связанной с.к.

Уравнения динамики углового движения в связанной с.к. можно записать в виде

karp16.wmf (3)

где karp17.wmf – проекции результирующего момента.

Результирующий момент состоит из момента, создаваемого винтами, и гироскопических моментов двигателей и винтов. В этой работе инерционность винтов не учитывается.

Проекции результирующего момента с учетом моментов, создаваемых винтами, гироскопических моментов двигателей и винтов и возмущающих моментов определяются как сумма соответствующих проекций:

karp18.wmf (4)

Используя кинематические уравнения Эйлера, изменения углов Эйлера определяются через проекции угловой скорости следующим образом:

karp19.wmf (5)

Таким образом, система нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши имеет следующий вид:

karp20.wmf (6)

где x1 = x, karp21.wmf, x3 = y, karp22.wmf, x5 = z, karp23.wmf, x7 = wх, karp24.wmf, x9 = wy, karp25.wmf, x11 = wz, karp26.wmf, x13 = γ, x14 = ψ, x9 = wy, x15 = ϑ.

Математическая модель БПЛА (6) без учета возмущений и перекрестных связей в связанной системе координат в форме Коши может быть записана следующим образом:

karp27.wmf (7)

Упрощенная математическая модель (7) может быть записана следующим образом:

karp28.wmf (8)

Сила тяги и управляющие моменты для системы уравнений (8):

karp29.wmf (9)

Квадраты угловых скоростей вращения винтов, необходимые для создания управляющих моментов и силы тяги, могут быть выражены следующим образом:

karp30.wmf (10)

Таким образом, задача управления БПЛА может быть сведена к задаче определения потребных силы тяги и управляющих моментов.

Выполним линеаризацию математической модели движения БПЛА в пространстве без учета перекрестных связей и возмущений (7) в соответствии с [16]:

karp31.wmf (11)

где karp32.wmf, karp33.wmf, karp34.wmf, karp35.wmf; здесь аргументы тригонометрических функций имеют смысл выбранной рабочей точки.

Для нулевой рабочей точки (11) примет вид

karp36.wmf (12)

Из анализа (12) следует, что для линеаризованной модели при нулевых начальных условиях возможно выполнить разделение на движение в двух ортогональных вертикальных плоскостях и независимое движение вокруг ц.м. по каналам тангажа, крена и рыскания. При этом для линеаризованной модели канал рыскания не оказывает влияния на движение в вертикальной плоскости и может рассматриваться отдельно.

Математическая модель движения БПЛА в вертикальной плоскости может быть получена из упрощенной математической модели движения БПЛА в пространстве (12).

В силу симметрии аппарата рассмотрим движение вдоль оси x:

karp37.wmf (13)

Выполним замену переменных и запишем систему уравнений (13) в форме Коши:

karp38.wmf (14)

где x1 – боковое перемещение, x2 – скорость бокового перемещения, x3 – высота, x4 – скорость изменения высоты, x5 – угол тангажа, x6 – скорость изменения угла тангажа, u1 – управляющее ускорение (сила тяги), u2 – управляющий момент.

Выполним линеаризацию математической модели движения БПЛА в вертикальной плоскости (14) в соответствии с [17]:

karp39.wmf (15)

здесь аргументы тригонометрических функций имеют смысл выбранной рабочей точки.

Для нулевой рабочей точки (15) примет вид

karp40.wmf (16)

Исходные данные для моделирования

Моделирование выполняется для систем уравнений (6) и (7) для последующего анализа и сравнения движения БПЛА с учетом и без учета перекрестных связей.

При выполнении моделирования используются исходные данные, представленные в табл. 1. Эти данные аналогичные исходным данным в [18]. Аэродинамическое сопротивление при отсутствии возмущений носит диссипативный характер и при моделировании не учитывалось. На управляющие ускорения по каналам крена uγ, рыскания uψ и тангажа uϑ наложены ограничения karp41.wmf, karp42.wmf, karp43.wmf соответственно. На желаемое ускорение, создаваемой силой тяги наложено ограничение karp44.wmf.

Желаемые значения углов тангажа и крена изменялись во времени следующим образом:

karp45.wmf (17)

где Δϑ – желаемое значение угла тангажа и крена.

Система управления ориентацией БПЛА построена с использованием двух ПИД-регуляторов для канала крена и тангажа. Для обоих каналов используются коэффициенты: kP = 4, kD = 4. Управление по каналу рыскания не производится.

Желаемые управляющие моменты по каналам крена и тангажа можно определить:

karp46.wmf

при этом karp47.wmf, karp48.wmf, karp49.wmf.

Система управления движением ц.м. БПЛА построена с использованием ПД-регулятора для канала высоты: kP = 6, kD = 4,5. Отсюда желаемая сила тяги:

karp50.wmf

По полученным желаемым управляющим ускорениям и силе тяги по (10) вычисляются необходимые угловые скорости вращения винтов.

Таблица 1

Параметр

Значение

Размерность

g

9,81

м/с2

m

0,468

кг

l

0,225

м

k

2,98•10-6

рад

b

1,140•10-7

рад

IM

3,357•10-5

кг×м2

Ix

4,856•10-3

кг×м2

Iy

8,801•10-3

кг×м2

Iz

4,856•10-3

кг×м2

ωi

[300, 900]

рад/с

[aγ], [aψ], [aϑ]

1

рад/с2

[uy]

19,62

м/с2

Моделирование движения БПЛА выполнялось в программном пакете MATLAB. В качестве метода численного интегрирования использовался метод Эйлера с фиксированным шагом 0,001 с.

Результаты моделирования движения БПЛА

На рис. 2 представлены результаты моделирования движения БПЛА с учетом и без учета перекрестных связей.

karpun2.tif

Рис. 2. Результаты моделирования движения БПЛА с учетом перекрестных связей (слева) и без учета перекрестных связей (справа)

Оценка влияния перекрестных связей на движения БПЛА производится по двум критериям: Δψ – значение угла рысканья в конце моделирования для модели, описываемой системой уравнений; Δε – «промах», расстояние между положением БПЛА в горизонтальной плоскости в конце моделирования для моделей, описываемых системами уравнений и соответственно.

Желаемое значение углов тангажа и крена Δϑ изменяется от 0 ° до 25 ° с шагом 1 °.

На рис. 3 представлены: зависимость величины критерия Δψ от Δϑ, зависимость величины критерия Δε от Δϑ и зависимость величины критерия Δε от дальности перелета р в конце моделирования. Зависимости были интерполированы на интервале между точками.

Из анализа рис. 3 следует, что с увеличением желаемого угла тангажа происходит нелинейный рост угла рыскания и нелинейный рост «промаха». При этом при значении желаемого угле тангажа более 10 ° «промах» превышает 1 м на расстоянии 102,1 м от точки (0;0) (11 °– 1,257 м).

karpun3.tif

Рис. 3. Оценка влияния перекрестных связей на движение БПЛА

Заключение

Разработана математическая модель БПЛА как объекта управления с учетом и без учета возмущений и перекрестных связей в пространстве. Получена математическая модель движения БПЛА в вертикальной плоскости. Получены линеаризованные математические модели движения БПЛА в пространстве и в вертикальной плоскости. Выполнено моделирование движения БПЛА в пространстве с учетом и без учета перекрестных связей и проведена оценка влияния этих связей.

По результатам моделирования можно сделать рекомендации по использованию полученной системы с учетом перекрестных связей, поскольку данная система повышает точность описания движения квадрокоптера.

Работа выполнена при поддержке гранта ФГБУ «Фонд содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере» (Фонд содействия инновациям) (Договор № 12089ГУ2/2016).


Библиографическая ссылка

Карпунин А.А., Титков И.П. УПРОЩЕНИЕ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ В ПРОСТРАНСТВЕ И В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ // Современные наукоемкие технологии. – 2019. – № 2. – С. 69-77;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37411 (дата обращения: 20.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074