Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫПУСКОВ В МОДЕЛИ САМУЭЛЬСОНА – ХИКСА

Грибанов Е.Н. 1 Победаш П.Н. 1
1 ФГБОУ ВО «Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф. Горбачёва»
В данной работе исследуется математическая модель экономического роста Самуэльсона – Хикса, используемая для описания закономерностей, связанных с колебаниями деловой активности в условиях экономического роста. Решается следующая задача параметрической оптимизации: найти значения параметров фактора акселерации и склонности к потреблению, при которых валовый выпуск (задаваемый разностным уравнением второго порядка) в фиксированный момент времени будет наибольшим. При этом рассматривается случай, когда дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю (то есть уравнение имеет кратный корень). Применяя дифференциальное и интегральное исчисление, удалось доказать, что валовый выпуск возрастает как по непрерывному фактору акселерации, так и по дискретному моменту времени. Это дает возможность решить еще более общую оптимизационную задачу определения значений указанных параметров, максимизирующих валовый выпуск на заданном горизонте планирования, и получить его аналитическое выражение. Последний результат, в свою очередь, позволяет найти оценку сверху на данный экономический показатель при произвольных значениях параметров фактора акселерации и склонности к потреблению в модели Самуэльсона – Хикса для рассмотренного частного случая, когда дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю.
задача параметрической оптимизации
валовый выпуск
горизонт планирования
1. Нижегородцев Р.М. Факторы экономического роста российских регионов: регрессионно-кластерный анализ / Р.М. Нижегородцев, М.Ю. Архипова // Вестник УГТУ ЮПИ. – 2009. – № 3. – С. 94–110.
2. Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2012. – 592 с.
3. Хуснутдинов Р.Ш. Экономико-математические методы и модели / Р.Ш. Хуснутдинов. – М.: ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М», 2013. – 224 с.
4. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие / И.В. Орлова, В.А. Половников. – 3-e изд., перераб. и доп. – М.: Вузовский учебник, НИЦ ИНФРА-М, 2014. – 389 с.
5. Математическая экономика на персональном компьютере / под ред. М. Кубонива. – М.: Финансы и статистика, 1991. – 304 с.
6. Коврижных А.Ю. Дифференциальные и разностные уравнения: учеб. пособие / А. Ю. Коврижных, О.О. Коврижных. – Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2014. – 148 с.
7. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды / Л.Д. Кудрявцев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. – 444 с.

Экономический кризис последнего десятилетия заставляет более детально исследовать экономико-математические модели, примеры которых представлены в различных источниках [1–4]. Кроме того, очевидно, необходимо уделить особое внимание методам исследования подобных моделей для получения обоснованности получаемых на их основе научных выводов. В связи с вышеизложенным, трудно переоценить актуальность исследования в частности, динамических моделей экономического роста, описывающих подъемы и спады в развитии экономики как модели делового цикла. К числу таких экономико-математических моделей относится исследуемая далее в данной статье модель Самуэльсона – Хикса, связывающая такие макроэкономические показатели, как валовый выпуск, потребление и инвестиции, с параметрами модели – фактором акселерации, склонностью к потреблению и базовым потреблением [5].

Целью исследования в представленной работе является обоснование монотонного роста валового выпуска в зависимости от фактора акселерации для любого фиксированного момента времени и, как следствие, нахождение соответствующего максимального валового выпуска. Предлагаемое далее исследование опирается на строгие математические методы решения линейных разностных уравнений и математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) [6, 7]. При этом валовый выпуск рассматривается как непрерывная функция меняющегося параметра, а момент времени считается, наоборот, заданным.

Рассмотрим экономику, в которой изменение национального дохода (валового выпуска) происходит под действием следующего принципа акселерации: объемы инвестирования зависят от изменения спроса на конечную продукцию или валового выпуска.

Математическая модель национальной экономики может быть представлена уравнениями

grib01.wmf, grib02.wmf,

grib03.wmf grib04.wmf, (1)

где It, Yt и Ct – соответственно инвестиции, валовый выпуск и потребление в период t, v > 0 – фактор акселерации, 0 < a < 1 – склонность к потреблению, b > 0 – базовое потребление. Первое из них означает, что инвестиции пропорциональны приросту валового выпуска, второе задает потребление как линейную функцию от выпуска, а третье – условие бюджетного баланса (равенство спроса и предложения). Модель (1), известная в литературе как модель Самуэльсона – Хикса, используется при описании закономерностей, связанных с колебаниями деловой активности [5]. Исключая It и Ct из уравнений (1), получаем уравнение динамики валового выпуска в виде следующего линейного разностного уравнения второго порядка:

grib05.wmf grib06.wmf, (2)

являющееся линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка. Согласно [6], решение уравнения (2) сводится к характеристическому уравнению

grib07.wmf grib08.wmf (3)

и зависит от знака его дискриминанта grib09.wmf. В данной работе исследуем оптимизационную задачу: найти значения параметров a и v, при которых валовый выпуск Yt в некоторый момент времени t максимален. Рассмотрим случай, когда D = 0, предполагая базовое потребление b неизменным. Полагаем (не нарушая общности анализа), что выпуски grib10.wmf. Тогда математическая постановка сформулированной задачи записывается как

grib11.wmf (4)

В соответствии с алгоритмом, изложенным в [6], решение уравнения (2) имеет вид

grib12.wmf, grib13.wmf, (5)

где grib14.wmf – единственный корень уравнения (3), а коэффициенты

grib15.wmf,

grib16.wmf.

В силу нулевых начальных условий,

grib17.wmf, grib18.wmf. (6)

Поскольку grib19.wmf и grib20.wmf, то grib21.wmf и условие grib22.wmf равносильно тому, что

grib23.wmf. (7)

Так как grib24.wmf, то из (7) получим grib25.wmf или 0 < v < 4. Таким образом, множество содержательных значений параметров a, v описывается линией вида (7), где 0 < v < 4 (рисунок). Так как a < 1, то grib27.wmfgrib28.wmfgrib29.wmf или v ≠ 1. Поэтому формально следует исключить значение v = 1, которому, согласно (7), соответствует значение grib30.wmf, т.е. исключить точку (1;1) кривой, представленной на рис. 1, – точку максимума. Однако для разрешимости задачи параметрической оптимизации (4), в соответствии с теоремой Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией на отрезке своей верхней и нижней грани [7], потребуем замкнутости множества значений параметров a, v, включив крайние их значения и указанную точку максимума, т.е. полагаем, что 0 ≤ v ≤ 4 и 0 ≤ a ≤ 1. Очевидно, это множество непусто, а его ограниченность следует из условий 0 < v < 4, 0 < a < 1. В силу формулы (7) корень уравнения (3)

grib31.wmf

и

grib32.wmf,

поэтому константы (6) преобразуются к виду

grib33.wmf,

grib34.wmf.

При этом выражение (5) для валового выпуска определяется формулой

grib35.wmf, grib36.wmf, или

griban1.wmf

График параметрической зависимости grib37.wmf, 0 ≤ v ≤ 4

grib38.wmf, grib39.wmf

Тогда задача (4) равносильна следующей

grib40.wmf, grib41.wmf (8)

Обозначим

grib42.wmf, grib43.wmf. (9)

Так как функция grib44.wmf возрастает по v, от задачи (8) перейдем к эквивалентной задаче

grib45.wmf, grib46.wmf или

grib47.wmf, grib46.wmf (10)

Исследуем на экстремум grib48.wmf из (10) как функцию от непрерывного параметра λ:

grib49.wmf

grib50.wmf.

Таким образом,

grib51.wmf. (11)

Обозначая

grib52.wmf, (12)

можем переписать формулу (11) в виде

grib53.wmf. (13)

Дифференцируем (12) по λ:

grib54.wmf

grib55.wmf.

Таким образом, получили

grib56.wmf, (14)

из которого следует: grib57.wmf кратно grib58.wmf. Интегрируя (14) по λ, получим

grib59.wmf.

Сделаем замену grib60.wmf. Тогда

grib61.wmf

grib62.wmf.

В итоге

grib63.wmf, (15)

откуда при λ = 1 имеем Qt(1) = C. С другой стороны, из (12) получим

grib64.wmf.

Таким образом, grib65.wmf, поэтому (15) окончательно запишем в виде

grib66.wmf. (15’)

Заметим, что из (15’) следует: Qt(λ) кратно grib67.wmf. Подставляя (15’) в (13), имеем

grib68.wmf. (16)

Кроме того, объединяя выражения (11) и (16), получим тождество

grib69.wmf, (17)

из которого следует, что λ = 1 – точка устранимого разрыва grib70.wmf. Действительно, при grib71.wmf из левой части (17) по правилу Лопиталя, с учетом (13) и (14), найдем

grib72.wmf

grib73.wmf.

С другой стороны, из правой части (17) имеем

grib74.wmf,

т.е. grib75.wmf. Тогда grib76.wmf доопределим выражением grib77.wmf, считая ее непрерывной в точке λ = 1, т.е.

grib78.wmf. (18)

На основе формулы (16) несложно доказать следующую лемму.

Лемма. Если для уравнения динамики (2) справедливы условия

grib79.wmf, (19)

то

grib80.wmf. (20)

Доказательство. При grib81.wmf неравенство (20) очевидно в силу (16), (18) и условий grib82.wmf. Поэтому достаточно доказать указанное неравенство для 0 ≤ λ < 1. Применяя бином Ньютона к формуле (16), перепишем ее в виде

grib83.wmf. (21)

Рассмотрим двойную сумму более общего вида, чем правая часть (21):

grib84.wmf

grib85.wmf

или, упорядочивая слагаемые по степеням λ, имеем

grib86.wmf

grib87.wmf

Таким образом, доказано равенство grib88.wmf, в силу которого при grib89.wmf, перепишем выражение (21) в виде

grib90.wmf. (22)

Рассмотрим внутреннюю сумму по s в правой части (22):

grib91.wmf.

Сделаем в последней сумме замену grib92.wmf. Тогда

grib93.wmf.

Делая в полученной сумме замену grib94.wmf, запишем

grib95.wmf

grib96.wmf

В итоге получим

grib97.wmf. (23)

Рассмотрим тождество, получаемое из бинома Ньютона grib98.wmf или

grib99.wmf. (23’)

Умножая его на grib100.wmf и учитывая, что grib101.wmf, запишем

grib102.wmf grib103.wmf.

Интегрируя полученное тождество по z на интервале от 0 до 1, имеем

grib104.wmf

Таким образом,

grib105.wmf. (24)

Так как функция grib106.wmf, то справедлива оценка [7]:

grib107.wmf,

из которой, с учетом (24), следует, что grib108.wmf. Отсюда, в силу (23) и grib109.wmf, имеем неравенство

grib110.wmf,

означающее, что коэффициенты при λm в выражении (22) положительны. Поэтому справедливо неравенство (20) при λ ≥ 0 и, в частности, при 0 ≤ λ ≤ 2, так как grib111.wmf и grib112.wmf. При λ = 1 (20) также верно в силу (18).

Из леммы следует, что функция Rt(λ) монотонно возрастает по λ grib113.wmf. Поэтому, в силу соотношений (9), валовый выпуск в момент t также монотонно возрастает по параметру v. Следовательно, наибольшее значение Rt(λ) может достигать лишь на границах отрезка grib114.wmf:

grib115.wmf. (25)

При t = 2 из (10) имеем grib116.wmf, т.е. λ = 1 – точка устранимого разрыва. Тогда полагаем

grib117.wmf. (26)

С другой стороны, по формуле (10) при λ = 0; 2 соответственно найдем grib118.wmf; grib119.wmf, откуда, в силу (26) и неравенства grib120.wmf, имеем grib121.wmf, т.е., согласно (25), grib122.wmf. В итоге grib123.wmf. Тогда, с учетом (9), при условиях (19) найдем наибольший валовый выпуск в момент t по формуле

grib124.wmf. (27)

При этом наибольший валовый выпуск в момент t соответствуют значения параметров v = 4; a = 0.

Таким образом, используя методы решения линейных разностных уравнений, а также дифференциальное и интегральное исчисление, удалось показать, что валовый выпуск в момент t является монотонно возрастающим по параметру фактора акселерации при условиях нулевых валовых выпусков и наличии кратного корня у характеристического уравнения, соответствующего разностному уравнению, описывающему указанный экономический показатель. Это, в свою очередь, позволило получить выражение для максимального валового выпуска в заданный момент времени. Найденное выражение задает оценку сверху на любой валовый выпуск в произвольный момент времени t ≥ 2 в модели роста Самуэльсона – Хикса.


Библиографическая ссылка

Грибанов Е.Н., Победаш П.Н. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫПУСКОВ В МОДЕЛИ САМУЭЛЬСОНА – ХИКСА // Современные наукоемкие технологии. – 2018. – № 8. – С. 66-72;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37121 (дата обращения: 20.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074