Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТЕОРИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Паровик Р.И. 1, 2
1 ФГБОУ ВО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга»
2 ФГБУН «Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН»
Настоящая работа посвящена вопросам построения с помощью дробного исчисления класса математических моделей эредитарных колебательных систем. Эредитарные колебательные системы – это колебательные системы, обладающие последействием или «памятью». Математическое описание таких колебательных систем характеризуется интегро-дифференциальными уравнениями с ядрами, которые называются функциями памяти. Если эти функции имеют степенной вид, то мы можем записать интегро-дифференциальные уравнения в терминах производных дробных порядков. В общем случае математические модели эредитарных колебательных систем не имеют аналитического решения, поэтому с помощью теории конечно-разностных схем были разработаны численные алгоритмы их решения. Проведен анализ предложенных численных алгоритмов с помощью компьютерных экспериментов. Показана сходимость предложенных конечно-разностных схем. С помощью численных алгоритмов были построены осциллограммы и фазовые траектории различных эредитарных колебательных систем в зависимости от различных значений управляющих параметров.
устойчивость
предельные циклы
эредитарность
производные дробных порядков
1. Дробышева И.В. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов на примере осциллятора Дуффинга с дробными производными в смысле Римана-Лиувилля // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2016. – № 2(13). – С. 43–49.
2. Ким В.А. Осциллятор Дуффинга с внешним гармоническим воздействием и производной переменного дробного порядка Римана-Лиувилля, характеризующая вязкое трение // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2016. – № 2(13). – С. 50–54.
3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его приложения. – М.: Физматлит. 2003. – 272 с.
4. Паровик Р.И. Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга. 2015. – 178 с.
5. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2015. – № 1(10). – С. 18–24.
6. Паровик Р.И. Эредитарный осциллятор Дуффинга с переменными дробными порядками // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». – 2016. – Т. 8, – № 5. http://naukovedenie.ru/PDF/34TVN516.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.
7. Паровик Р.И. Математическое моделирование фрактального осциллятора Ван-дер-Поля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. – 2015. – Т. 17, № 2. – С. 57–62.
8. Паровик Р.И. О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка от времени // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2014. – № 1(8). – С. 60–65.
9. Рехвиашвили С. Ш. Размерные явления в физике конденсированного состояния и нанотехнологиях. – Нальчик: КБНЦ РАН, 2014. – 250 с.
10. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.
11. Учайкин В.В. Метод дробных производных. – Ульяновск: Артишок. 2008. – 512 с.
12. Duffing G. Elastizit at und Reibung beim Riementrieb // Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens A. – 1931. – Vol. 2, № 3. – P. 99–104.
13. Diaz G., Coimbra C.F.M. Nonlinear dynamics and control of a variable order oscillator with application to the van der Pol equation // Nonlinear Dyn. – 2009. – vol. 56. – Р. 145–157.
14. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier. 2006. – 523 p.
15. Leitman M.J., Mizel V.J. Hereditary Laws and Nonlinear integral Equations on the Line // Advances in mathematics. – 1976. – Vol. 22. – Р. 220–266.
16. Liu F., Zhuang P., Anh V., Turner I. A fractional order implicit difference approximation for the space-time fractional diffusion equation // ANZIAM J. – 2006. – № 47. – Р. C48–C68.
17. Li Ch., Chen A., Ye J. Numerical approaches to fractional calculus and fractional ordinary differential equation // Journal of Computational Physics. – 2011. – Vol. 230 – Р. 3352–3368.
18. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York: A Wiley-Interscience publication. 1993. – 384 p.
19. Machado J. A. T. et al. Fractional order dynamical systems and its applications. Brazilian Conference on Dynamics, Control and Their Applications, 2007. – 40 p.
20. Makarov D.V., Parovik R.I. Modeling of the economic cycles using the theory of fractional calculus // Journal of Internet Banking and Commerce. – 2016. – vol. 21. – № S6. – 014.
21. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. London: Academic Press. 1974. – 240 p.
22. Parovik R.I. Mathematical modeling of radon sub diffusion into the cylindrical layer in ground // Life Science Journal. 2014. – vol. 11. – № 9s. – Р. 281-283.
23. Parovik R.I., Shevtsov B.M. Radon transfer processes in fractional structure medium // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2010. – vol. 2. – № 2. – Р. 180–185.
24. Parovik R.I. Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable-order fractional derivatives // Archives of Control Sciences. – 2016. – vol. 26. – № 3. – Р. 429–435.
25. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. New York: Springer. 2011. – 218 p.
26. Rossikhin Y.A., Shitikova M.V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results // Applied Mechanics Reviews. – 2010. – Т. 63. – № 1. – 010801.
27. Seredynska M., Hanyga A. Nonlinear differential equations with fractional damping with applications to the 1dof and 2dof pendulum // Acta Mechanica. – 2005. – vol. 176. – № 3–4. – С. 169–183.
28. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. – 2014. – vol. 24. – № 1. – 013107.
29. Shen S., Liu F. Error analysis of an explicit finite difference approximation for the space fractional diffusion equation with insulated ends // ANZIAM J. – 2005. – № 46(E). – Р. C871–887.
30. Scholz Ch. H. The mechanics of earthquakes and faulting. Cambridge university press, 2002. – 471 p.
31. Usmonov B. A numerical solution of hereditary equations with a weakly singular kernel for vibration analysis of viscoelastic systems // Proceedings of the Latvian academy of sciences. Section B. – 2015. – Vol. 69, № 6 (699). – Р. 326–330.
32. Volterra V. Sur les equations int egro-diff erentielles et leurs applications // Acta Mathematica. – 1912. – Vol. 35, № 1. – Р. 295–356.

Теория эредитарных процессов получила широкое развитие в последние десятилетия, о чем свидетельствует множество работ как зарубежных [15, 25, 31, 32], так и отечественных авторов [4, 11, 20, 22, 23]. Например, в монографии В.В. Учайкина [11] эредитарным процессам посвящена целая глава. Эредитарные процессы – процессы, обладающие эффектами памяти. Например, в эредитарной системе эффект памяти означает, что текущее состояние системы зависит от ее предыдущих состояний. Поэтому такие процессы описываются с помощью интегро-дифференциальных уравнений, в которых содержатся функции памяти. Если функции памяти имеют степенную зависимость от времени, тогда можно перейти от интегро-дифференциальных уравнений к уравнениям с производными дробных порядков [3]. В этом случае эредитарные процессы иногда называют фрактальными, а порядки дробных производных могут быть связаны с фрактальной размерностью системы, а также зависеть от времени и функции смещения.

Отметим, что дробное исчисление достаточно хорошо изучено и насчитывает более чем 300-ую историю. Отметим такие настольные книги по этой проблематике как [3, 5, 14, 18, 21].

Объектом нашего исследования будут являться эредитарные нелинейные осцилляторы, которые описываются с помощью производных дробных переменных порядков, входящих в модельные уравнения. Такой интерес вызван их многочисленными приложениями [19, 26, 27]. Далее с помощью теории конечно-разностных схем найдем их численные решения. Эта работа является логическим продолжением работы автора [4], где были исследованы математические модели линейных эредитарных колебательных систем.

Отметим также монографию И. Петраса [25], в которой так же были рассмотрены эредитарные колебательные системы, однако в исходных уравнениях были выбраны другие операторы дробных производных, причем их порядки являлись константами.

Постановка и методика решения задач Коши для нелинейных эредитарных осцилляторов

Рассмотрим следующее интегро-дифференциальное уравнение эредитарного осциллятора для функции par01.wmf:

par02.wmf, (1)

где par03.wmf и par04.wmf – ядра, функции памяти, par05.wmf – функция, определяющая трения, par06.wmf – некоторая нелинейная функция, которая определяет тип осциллятора, x(t) – функция смещения, par07.wmf – время колебательного процесса, T > 0 – время моделирования. Если в уравнении (1) функции памяти имеют степенную зависимость от времени вида

par08.wmf (2)

то интегро-дифференциальное уравнение (1) можно записать в терминах производных дробных переменных порядков:

par09.wmf, (3)

где par10.wmf, par11.wmf – операторы дробного дифференцирования переменных порядков.

Существует другое представление операторов дробных производных, например, если степенные функции (2) имеют вид

par12.wmf (4)

тогда уравнение (3) запишется несколько иначе:

par13.wmf, (5)

где

par14.wmf, par15.wmf – операторы дробного дифференцирования.

Уравнения (3) и (5) описывают класс эредитарных нелинейных колебательных систем, и они будут являться в дальнейшем объектами нашего исследования. Для уравнений (3) и (5) справедливы начальные условия вида

par16.wmf. (6)

Задачи Коши (3), (6) и (5), (6) будем решать с помощью теории конечно-разностных схем [10]. Рассмотрим некоторые варианты аппроксимации операторов дробного дифференцирования, входящих в уравнения (3) и (5). Для этого рассмотрим равномерную расчетную сетку и разобьем отрезок par17.wmf на N частей с постоянным шагом τ при этом par18.wmf. Введем сеточную функцию par19.wmf. Согласно работах [8, 24], такую аппроксимацию можно осуществить с помощью следующих формул для операторов из уравнения (3):

par20.wmf par21.wmf (7)

где весовые коэффициенты par22.wmf и par23.wmf определяются по формулам

par24.wmf, par25.wmf.

Для операторов из уравнения (5):

par26.wmf (8)

где весовые коэффициенты aj и bj имеют вид

par27.wmf, par28.wmf.

Можно показать, следуя методикам из работ [29] и [16], что аппроксимации операторов дробного дифференцирования (7) и (8) имеют первый порядок. Если необходимо аппроксимировать операторы дифференцирования со вторым порядком, то можно воспользоваться следующими модифицированными формулами трапеций [17]:

par29.wmf par30.wmf (9)

где весовые коэффициенты уже будут определяться по формулам:

par31.wmf

par32.wmf

а D2xj и Dxj – дифференциальные операторы для второй и первой производных. Для значений xj, где par33.wmf эти операторы можно аппроксимировать со вторым порядком известными формулами центральных разностей:

par34.wmf.

Рассмотрим более подробно аппроксимацию в точке x0 для оператора D2x0, та как не задано дополнительного начального условия для второй производной при t = 0, то можно его аппроксимировать разностной формулой вида

par35.wmf,

где узел x–1 будет являться фиктивным и определяется согласно второму начальному условию (6) по формуле par36.wmf. В итоге соотношения (9) можно переписать следующим образом:

par37.wmf (10)

par38.wmf

где y0 = Dx0 следует из начальных условий (6).

Аналогично мы можем рассмотреть аппроксимацию для дифференциальных операторов дробных производных, входящих в уравнение (5):

par39.wmf (11)

par40.wmf

par41.wmf

par42.wmf

Отметим, что можно построить аппроксимации операторов дробных производных более высокого порядка. Например, по обобщенным формулам Симпсона [17]. В этой работе мы с помощью аппроксимаций (7)–(11) построим и исследуем соответствующие конечно-разностные схемы для дифференциальных задач (3), (6) и (5), (6) в зависимости от вида функций par43.wmf, par44.wmf, par45.wmf и par46.wmf, а также значений управляющих параметров. С помощью конечно-разностных схем построим и исследуем осциллограммы и фазовые траектории эредитарных нелинейных осцилляторов.

Необходимо отметить, что аппроксимации (9) и (11) имеют второй порядок, поэтому построенные на их основе конечно-разностные схемы должны иметь также второй порядок аппроксимации. Однако, если аппроксимация в граничных точках имеет первый порядок, то конечно-разностная схема в итоге будет иметь первый порядок аппроксимации. Для повышения порядка аппроксимации конечно-разностной схемы необходимо использовать специальные методики аппроксимации в граничных точках, например метод фиктивного узла. Нас не будет интересовать более высокий, чем первый, порядок аппроксимации конечно-разностных схем.

Эредитарный осциллятор Дуффинга

Рассмотрим типичный нелинейный осциллятор Дуффинга [12], но с учетом эредитарности. В этом случае для эредитарного осциллятора Дуффинга в уравнении (1) положим: par47.wmf и par48.wmf является постоянной функцией. Здесь функция f(t) – внешнее воздействие на колебательную систему, как правило гармоническая функция.

Отметим, что в работе [28] был рассмотрен эредитарный осциллятор Дуффинга с фрактальным трением с дробной производной Римана – Лиувилля. Такой осциллятор использовался для изучения вязкоупругих свойств пучков, пластин и цилиндрических оболочек в работе [26], а также в работе [19] для организации и настройки PID контроллера. В работах [1] и [2] проведено обобщение модели осциллятора Дуффинга с фрактальным трением, построены осциллограммы и фазовые траектории для этой колебательной системы, получены новые колебательные режимы и подтверждены результаты работы [12]. В работе [5] была предложена математическая модель эредитарного осциллятора Дуффинга с производными дробных постоянных порядков в смысле Герасимова – Капуто, а в работе [6] была обобщена на случай переменных дробных порядков. Рассмотрим пример.

Пример 1. Управляющие параметры для эредитарного осциллятора Дуффинга выберем следующими: β(t) = 1,6 – 0,001t, γ(t) = 0,7 – 0,005t, f(t) = δcos(ωt), δ = 20, ω = 1, λ = 0,3, х0 = 0,2, y0 = 0,1. На рис. 1 приведены осциллограмма (рис. 1, а) и фазовая траектория (рис. 1, б), полученная для примера 1 при N = 2000 и T = 100 с помощью одной из конечно-разностных схем, на основе аппроксимаций (7)–(11).

Из рис. 1 мы можем увидеть, что амплитуда колебаний (рис. 1, а) имеет установившийся характер. Также можно заметить некоторое раздвоение колебаний на минимумах и максимумах, что на фазовой траектории (рис. 1, б) соответствует симметричным петлям. Фазовая траектория (рис. 1, б) выходит на предельный цикл, так, как колебания, не затухающие с установившейся амплитудой.

Эредитарный осциллятор Ван дер Поля

Рассмотрим другой тип эредитарного осциллятора – эредитарный осциллятор Ван дер Поля, который характеризует автоколебания. Для этого в исходных уравнениях (3) и (5) надо положить: par50.wmf, par51.wmf, где μ – коэффициент, который характеризует нелинейность в силу затухания колебаний.

Эредитарный осциллятор Ван дер Поля с производной дробного переменного порядка в диссипативной составляющей рассматривался в работе [13] с целью изучения вязкоупругих свойств осциллятора. В работе [7] автором была предложена математическая модель эредитарного осциллятора Ван дер Поля с производными дробных постоянных порядков в смысле Герасимова – Капуто. Рассмотрим пример.

parov1.tif

Рис. 1. Осциллограмма (а) и фазовая траектория (б) для примера 1

parov2.tif

Рис. 2. Осцилляторы (а) и фазовые траектории (б) для примера 3

parov3.tif

Рис. 3. Осциллограмма (а) и фазовая траектория (б)

Пример 2. Управляющие параметры для эредитарного осциллятора Ван дер Поля выберем следующими: β(t) = 1,8 – 0,001cos(πt), γ(t) = 0,7 – 0,005sin(πt), f(t) = δcos(ωt), δ = 20, ω = 1, μ = 12, х0 = 0,2, y0 = 0,1. На рис. 3 приведены осциллограмма (рис. 2, а) и фазовая траектория (рис. 2, б) для этого примера при значениях N = 2000 и T = 100.

Из рис. 2 видно, что осциллограмма (рис. 2, а) и фазовая траектория (рис. 2, б) похожи на осциллограмму (рис. 1, а) и фазовую траекторию (рис. 1, б) для эредитарного осциллятора Дуффинга. Поэтому можно сделать вывод о том, что введение производных с переменными дробными порядками в исходное уравнение осциллятора дает возможность получить колебательные режимы присущие другим осцилляторам.

Пример 3. Управляющие параметры: β(t) = 1,8 – 0,003sin(t), γ(t) = 0,8 – 0,005sin(t), f(t) = δcos(ωt), δ = 0, ω = 1, μ = 1, х0 = 0,2, y0 = 0,1. На рис. 3 приведены осциллограмма и фазовые траектории для этого примера.

Обратим внимание, что в примере 3 функция f(t) = 0. Амплитуда колебаний (рис. 3, а) со временем выходит на постоянный уровень, а фазовая траектория (рис. 3, б) стремится к аттрактору. Отметим, что введение производных дробных порядков в осцилляционное уравнение с нулевой правой частью приводит к затуханию колебаний. Это было показано в работе [11], где для эредитарного осциллятора в законе полной механической энергии появляются члены, которые отвечают за диссипацию энергии. В этом примере вы видим отсутствие диссипации энергии при нулевой правой части.

Эредитарный осциллятор с учетом stick-slip эффекта

Рассмотрим нелинейный осциллятор, который характеризует эффект прилипания скольжения и исследуется в рамках теории трибологии. С помощью этого осциллятора можно, например, описать латеральное движения груза по поверхности электронного атомного микроскопа [9] или использовать его в качестве механической модели землетрясений [30]. В этом случае в правой части уравнений (3) и (5) находится функция

par52.wmf,

где b – скорость движения груза вдоль поверхности, с – энергия адгезии поверхности, par54.wmf – коэффициенты ряда Фурье. В работе [9] указывается, что для расчета достаточно взять следующие семь коэффициентов Фурье: a1 = 0,436, a2 = 0,344, a3 = 0,164, a4 = 0,058, a5 = 0,021, a6 = 0,004, a7 = 0,003. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 4. Управляющие параметры для эредитарного осциллятора с эффектом stick-slip выберем следующими:

β(t) = 1,8 – 0,003sin(t), γ(t) = 0,8 – 0,005sin(t), b = 1, δ = 50, ω = 1, λ = 0,3, х0 = 0,2, y0 = 0,1. На рис. 4 приведена осциллограмма и фазовые траектории, полученные по одной из схем на основе аппроксимаций (7)–(11).

На рис. 4 видны две потенциальные ямы, в которых груз начинает прилипать вследствие адгезии поверхности, далее виден срыв груза в результате груз начинает скользить, испытывая колебания.

parov4.tif

Рис. 4. Осциллограмма (а) и фазовая траектория (б) для примера 4

Результаты исследования и их обсуждение

Численный анализ нелинейных осцилляторов показал, что при определенных значениях управляющих параметров и функциональных зависимостей дробных показателей β(t) и γ(t) могут появляться колебательные режимы, которые присущи другим нелинейным осцилляторам. Для эредитарного осциллятора Ван дер Поля, совершающего свободные колебания, были получены осциллограмма и фазовая траектория, которые соответствуют незатухающим колебаниям. Это является важным результатом, так как ранее считалось, что введение дробных производных в осцилляционные уравнения приводит к диссипации энергии колебательной системы [11].

Дальнейшее продолжение работы – качественный анализ решений нелинейных эредитарных осцилляторов, построение карт динамических режимов, показателей Ляпунова и сечений Пуанкаре, а также определение и классификация точек покоя.


Библиографическая ссылка

Паровик Р.И. ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТЕОРИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ // Современные наукоемкие технологии. – 2017. – № 1. – С. 61-68;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=36557 (дата обращения: 29.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074