Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ВЕЙВЛЕТ И ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Амосов О.С. 1 Муллер Н.В. 1
1 ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»
Рассматривается математическое и численное моделирование временных рядов с помощью вейвлет и фрактального анализа. Предложенный подход рассматривается как один из альтернативных для существующих методов оценки и управления процессами.
математическое и численное моделирование
временные ряды
вейвлет и фрактальный анализ
прогнозная оценка.
1. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. – М.: Постмаркет, 2000. – 352 с.
2. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
3. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразование: учебное пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 104 с.

Введение

Существует множество традиционных методов анализа временных рядов. Каждый из них имеет определенные преимущества и недостатки. Одним из основных методов обработки нестационарных временных рядов является спектральный анализ (Фурье-анализ), который позволяет охарактеризовать частотный состав исследуемого сигнала. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, что накладывает ограничения на применимость данного метода к ряду задач. Поэтому для решения задачи исследования нестационарных процессов необходимы более современные методы анализа сигналов, изначально предназначенных для нелинейных и нестационарных временных рядов. В работе рассматривается моделирование временных рядов с применением математического аппарата вейвлет и фрактального анализа (ВФА).

Преимущества вейвлет- и фрактального анализа

Вейвлет-базисы могут быть хорошо локализованными, как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес.

Вейвлет-анализ применяется для анализа нестационарных данных и вейвлет-преобразование представляется перспективным математическим аппаратом не только для задач, связанных с анализом сигналов различной природы, но и для решения уравнений, описывающих сложные нелинейные процессы в широких диапазонах масштабов. Он позволяет выявить пространственно-временные свойства изучаемого объекта, определить наличие перемежаемости, получить локальную высокочастотную и глобальную крупномасштабную информацию об объекте достаточно точно и без избыточности и позволяют судить о том, в какой момент времени появились те или иные компоненты сигнала.

Вейвлет-преобразования обладают практически всеми достоинствами преобразований Фурье, но в отличие от него, имеют достаточно много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач[2].

Особенность фрактального анализа временных рядов в том, что он учитывает поведение системы не только в период измерений, но и его предысторию. Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы, и что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.

Целью настоящего исследования является математическое и численное моделирование временных рядов методами вейвлет и фрактального анализа.

Объектом исследования являются временные ряды, предметом исследования – вейвлет и фрактальный анализ. Методологической основой исследования являются: виды численного анализа, фрактальный, вейвлет-, статистический анализ.

Постановка задачи

С помощью предложенных методов вейвлет- и фрактального анализа применительно к временному ряду, представленному числовыми значениями, необходимо получить количественные и качественные оценки, характеризующие нестационарность или хаотичность исследуемого процесса.

Этапы решения задачи

Основной алгоритм обработки строится при условии существования временного ряда, то есть собранного в разные моменты времени статистического материала о значении каких-либо параметров исследуемого процесса, где учитывается взаимосвязь измерений со временем.

Первый этап – это обработка временного ряда методом вейвлет- и фрактального анализа. Комплексное применение этих двух анализов позволит получить более полную информацию об исследуемом процессе, описанного временными рядами.

В работе вейвлет-преобразование осуществляется с помощью прямого WT (Wavelet transformation)[3]:

110650.jpg 

110655.jpg 110660.jpg 

где a – масштабный параметр; х – перенос (сдвиг) материнского вейвлета; s(t) – исходный сигнал; Ψ(t) – вейвлет-функция

Расчет фрактальной размерности в данном исследовании производится поточечным методом. Алгоритм расчета поточечной размерности на сегодняшний момент общеизвестен и является классическим (рис. 1).

Полученные величины фрактальных размерностей исследуемых временных рядов применяются в качестве критерия устойчивости исследуемого процесса. По величине фрактальной размерности можно получить количественную оценку хаотичности исследуемого процесса, а также многофакторность и «насыщенность» предпосылок, вызвавших нестационарности процесса) [1]:

Вторым и заключительным этапом алгоритма модели является построение прогнозной оценки на основе выделения показателей, стремящихся к нестабильному состоянию и предопределяющих неудовлетворительное состояние процесса. Результаты могут быть визуализированы и представлены в виде построенных вейвлет-скалограмм, которые дают наглядную картину наиболее резко меняющихся компонент сигнала. Тем самым появляется возможность выделить наиболее нестационарные области и по выделенным областям более детально провести анализ причин возникновения данных нестационарных событий в сигнале применительно к различным прикладным областям.

Выводы

- Данный алгоритм может быть применен для исследования и прогнозирования, в том числе стохастических социальных процессов, зависящих от большого количества факторов и описанных временными рядами.

- Распределение вейвлет- коэффициентов позволяет выявить нестационарности исследуемого процесса на любых частотно-временных масштабах и тем самым является как качественной, так и количественной характеристикой нестационарности.

- Распределение фрактальных размерностей позволяет получать количественную оценку хаотичности исследуемого процесса

- Данный алгоритм позволяет строить прогнозные оценки с выделением факторов (показателей), предопределяющих неудовлетворительное состояние рассматриваемого процесса

1099341.PNG 

Рис. 1. Блок-схема алгоритма расчета фрактальной размерности Хаусдорфа


Библиографическая ссылка

Амосов О.С., Муллер Н.В. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ВЕЙВЛЕТ И ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 3. – С. 122-124;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=34124 (дата обращения: 29.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074