Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,858

ФОРМИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР С НЕОБХОДИМЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В 2D-ПРОСТРАНСТВЕ

Дерлугян П.Д. 1 Иванов В.В. 1 Иванова И.В. 1 Шишка В.Г. 1 Дерлугян Ф.П. 1 Бережной Ю.М. 1
1 ФГУП ОКТБ «ОРИОН»
Обсуждается проблема формирования некоторых фрактальных структур в 2D-пространстве. Представлены результаты сравнительного анализа их фрактальных размерностей и некоторых топологических характеристик.
фрактальная структура
фрактальная размерность
генератор фрактальной структуры
кривая Коха
меандр
1. Иванов В.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки, 2001. №3. С. 60-61. 
2. Щербаков И.Н., Иванов В.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки.  2011. №5. С. 47-50. 
3. Иванов В.В., Щербаков И.Н. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. №3. С. 54-57.
4. Иванов В.В., Щербаков И.Н., Таланов В.М. // Совр. наукоемкие технологии. 2012. №1. С. 54-55.
5. Иванов В.В., Иванов А.В., Щербаков И.Н., Башкиров О.М. // Изв. вузов. Сев-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. №3. С. 46-49.
6. Иванов В.В. Комбинаторное моделирование вероятных структур неорганических веществ. – Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2003. – 204 с.
7. Иванов В.В., Таланов В.М. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2010. Т.1. №1. С.72-107.
8. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. // Междунар. журн. эксп. образования, 2010. №11. С. 153-155.
9. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2011. Т.2. № 3. С. 121-134.
10. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2012. Т.3. № 4. С. 82-100. 
11. Иванов В.В., Шабельская Н.П., Таланов В.М., Попов В.П. // Успехи соврем. естествознания, 2012.  № 2. 
С. 60-63. 
12. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания, 2012. № 3. С. 56-57. 
13. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. // Успехи совр. естествознания. 2012. № 4. С. 230-232. 
14. Иванов В.В., Таланов В.М. // Совр. наукоемкие технологии. 2012. № 2. С. 76-78.
15. Иванов В.В., Таланов В.М. // Журнал структурной химии. 2013. Т.54. № 2. С. 354-376.
16. Иванов В.В., Таланов В.М. // Кристаллография. 2013. Т. 58. № 3. С. 370–379.
17. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. № 8. С. 75-77. 
18. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. № 9. С. 74-77. 
19. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. № 10. С. 78-80.
20. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. № 11. С. 63-65.
21. Иванов В.В., Таланов В.М. // Соврем. наукоемкие технологии. 2012. № 11. С. 24-26.
22. Иванов В.В., Таланов В.М. // Соврем. наукоемкие технологии. 2012. № 12. С. 16-17.
23. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи соврем. естествознания. 2012. № 11. С. 61-62.
24. Щербаков И.Н., Иванов В.В., Логинов В.Т., Дерлугян П.Д., Трофимов Г.Е., Дерлугян Ф.П. Химическое наноконструирование композиционных материалов и покрытий с антифрикционными свойствами. – Ростов н/Д: Изд-во журн. «Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки», 2011. 152 с.
25. Патент 2422561 Рос. Федерация / Балакай В.И., Арзуманова А.В., Балакай И.В., Балакай К.В., Бырылов И.Ф., Иванов В.В. Опубл. 27.06 2011. Бюл. № 18. 
26. Патент 2451113 Рос. Федерация / Трофимов Г.Е., Щербаков И.Н., Шевченко М.Ю., Логинов В.Т., Дерлугян П.Д., Дерлугян Ф.П., Иванов В.В. Опубл. 20.05 2012. Бюл. № 14. 
27. Патент 2473711 Рос. Федерация / Трофимов Г.Е., Щербаков И.Н., Шевченко М.Ю., Логинов В.Т., Дерлугян П.Д., Дерлугян Ф.П., Иванов В.В. Опубл. 27.01 2013. Бюл. № 3. 

Трибологические свойства поверхности композиционных покрытий (КП) существенно зависят от конфигурации межфазных границ [1-4]. Интерпретация этого влияния в рамках синергической модели [5] основана на предположении о квазифрактальном характере этих конфигураций. Анализ возможности поиска поверхностных фрактальных структур с необходимыми характеристиками как вероятных аппроксимантов конфигураций межфазных границ является задачей данной работы. При формировании подобных фрактальных структур методами модулярного дизайна использовали теоретические положения, изложенные в работах [6-19].

Фрактальная кривая n-го поколения, сформированная итерацией генератора G = LK(1/l) на отрезке – стороне многоугольника {Pg} = {N}, может быть представлена как F{Pg},n = FK(1/l){Pg}n(G22){1+} [13-16]. Здесь: K – коэффициент самоподобия, n – количество итераций (значение n = 0 соответствует исходному многоугольнику, n =1 – генератору), G22 – симметрия фигуры, образованной замкнутой фрактальной кривой, 1+ означает, что ее размерность превышает топологическую размерность 1 инициального отрезка прямой.

Множества замкнутых фрактальных кривых МFK(4/3){Pg}(G22), построенные на периметре {N}-тел (темных {Pg} – ячеек некоторых сеток Кеплера-Шубникова), образуют совокупности фигур, представляющие собой упаковки определенных снежинок Коха в 2D-пространстве [16]. Множества замкнутых фрактальных кривых MF-K (4/3) Σ{Pg}(G22), построенные на периметре {N}-лакун (светлых {Pg}), образуют совокупность лакунарных фигур, дополняющие соответствующие множества МFK(4/3){Pg}(G22) до 2D-пространства [16]. В случае треугольных лакун генерируемое множество лакунарных кривых представляет собой результат его расслоения на мультимножество кривых МFK(4/3) Σ{3}(G22), каждая из которых состоит из определенного множества самоподобных с К(2/9) замкнутых кривых в виде двух сросшихся с частичным наложением снежинок Коха FK(4/3){3}(p6mm) [16].

Для формирования фрактальных кривых можно использовать треугольные генераторы Коха гомологических рядов К(2(n+1)/(n+2)) (а) и К(2(3n-1)/3n) (б) (рис. 1, слева) [20]. В результате итерации данных генераторов на периметрах {n}-тел сеток Кеплера-Шубникова образуется множество разнообразных снежинок Коха, упорядоченных в 2D-пространстве [16].

der1.tif

Рис. 1. Изображения первых трех членов гомологических рядов треугольных генераторов Коха К(2(n+1)/(n+2)) (а) и К(2(3n-1)/3n) (б) и прямоугольных генераторов Коха К((n+4)/(n+2)) (а) и К((4n+1)/(2n+1)) (б)

По мере увеличения порядкового номера генератора в каждом гомологическом ряду при итерации наблюдается закономерное увеличение длины квазифрактальной кривой и изменение ее размерности в соответствии с зависимостями D = ln2(n+1)/ln(n+2) и D = ln2(3n–1)/ln3n [20].

Рассмотрим и некоторые другие виды генераторов. Бесконечная итерация прямоугольных генераторов G, в том числе и видоизмененной кривой Коха K(5/3)), на отрезке конечной длины приводит к формированию бесконечной фрактальной линии. Для моделирования могут быть использованы некоторые из сеток Кеплера-Шубникова, которые включают в себя тетрагоны {4} – ячейки сеток и являются производными от сеток Кеплера 4444, 488 или 46.12. Прямоугольный генератор К(5/3) является первым членом двух гомологических рядов прямоугольных генераторов К((n+4)/(n+2)) и К((4n+1)/(2n+1)), где n = 1,2,3…∞ (см. рис. 1, справа) [21]. Размерности фрактальных кривых, образованных с помощью генераторов К((n+4)/(n+2)) и К((4n+1)/(2n+1)), могут быть представлены как D = ln(n+4)/ln(n+2) и D = ln(4n+1)/ln(2n+1) [21]. При n→∞ величины D закономерно уменьшаются от 1,465 до значения 1,001.

Прямоугольный генератор-меандр К(8/4) является первым членом двух гомологических рядов меандров вида ((6n+2)/(2n+2)) и К((10n-2)/(2n+2)), где n = 1,2,3…∞ (рис. 2, слева) [22]. При многократном действии генераторов K((6n+2)/(2n+2)) на периметр ячейки квадратной сетки Кеплера 4444 формируется упорядоченное множество предфрактальных кривых. Для каждой замкнутой фрактальной кривой в ряду K((6n+2)/(2n+2)) размерность D = ln(6n+2)/ln(2n+2) при n→∞ закономерно уменьшается от 1,500 до 1,001 (рис. 3) [22]. При действии генераторов К((10n–2)/(2n+2)) на периметр ячейки квадратной сетки Кеплера 4444 формируется упорядоченное множество предфрактальных кривых. В гомологическом ряду генераторов К((10n–2)/(2n+2)) размерность каждой фрактальной кривой D = ln(10n–2)/ln(2n+2) принимает максимальное значение 1,613 при n = 2, а затем при n→∞ закономерно уменьшается также до значения 1,001 (рис. 3) [22].

Генератор К(6/2) является первым членом как минимум двух разновидностей гомологических рядов меандроподобных генераторов К(6n/2n) (см. рис. 2, справа) [23]. По мере увеличения порядкового номера генератора в каждом гомологическом ряду при итерации наблюдается закономерное изменение ее хаусдорфовой размерности D в соответствии с зависимостью D = ln6n/ln2n [23]. Фрактальная размерность кривой максимальна для первого члена данного ряда, а начиная со вторых членов ряда в представлениях (а) и (б) (рис. 2) размерности кривых D < 2 и при n→∞ закономерно уменьшаются от 1,792 до 1,001 (рис. 3) [23].

Таким образом, в 2D-пространстве могут быть сформированы фрактальные структуры вида МFK(1/l){Pg}{1+}. Данные фрактальные структуры характеризуются размерностями практически во всем диапазоне значений в интервале от 1 до 2 и могут быть использованы для интерпретации результатов исследований трибологических свойств поверхности композиционных материалов и покрытий [1-4, 24-27].

der2.tif

Рис. 2. Изображения первых трех членов гомологических рядов меандров K((6n+2)/(2n+2)) (а) и К((10n-2)/(2n+2)) (б) и гомологического ряда меандроподобных генераторов Коха К(6n/2n) (а и б)

der3.tif

Рис. 3. Изменение размерности фрактальных структур вида FK(1/l){Pg}n(G22){1+} от порядкового номера n в гомологических рядах инициирующих генераторов К(2(n+1)/(n+2)) (1), К(2(3n-1)/3n) (2), К((4n+1)/(2n+1)) (3), К((n+4)/(n+2)) (4), К((10n-2)/(2n+2)) (5), K((6n+2)/(2n+2)) (6), и К(6n/2n (7)

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, соглашение № 14.U01.21.1078. 


Библиографическая ссылка

Дерлугян П.Д., Иванов В.В., Иванова И.В., Шишка В.Г., Дерлугян Ф.П., Бережной Ю.М. ФОРМИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР С НЕОБХОДИМЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В 2D-ПРОСТРАНСТВЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 10-1. – С. 158-160;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=33401 (дата обращения: 22.10.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252