Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,969

FORMING OF THE LINEAR FRACTAL STRUCTURES WITH NECESSARY CHARACTERISTICS IN 2D-SPACE

Derlugyan P.D. 1 Ivanov V.V. 1 Ivanova I.V. 1 Shishka V.G. 1 Derlugyan F.P. 1 Berezhnoi Y.M. 1
1 FGUE SDTU «ORION»
Обсуждается проблема формирования некоторых фрактальных структур в 2D-пространстве. Представлены результаты сравнительного анализа их фрактальных размерностей и некоторых топологических характеристик.
The problem of forming of some fractal structures in 2D space was discussed. Results of comparative analyses of its fractal dimensions and some topologic characteristics were presented.
fractal structure
fractal dimension
generator of fractal structure
Coch’s curve
meander

Трибологические свойства поверхности композиционных покрытий (КП) существенно зависят от конфигурации межфазных границ [1-4]. Интерпретация этого влияния в рамках синергической модели [5] основана на предположении о квазифрактальном характере этих конфигураций. Анализ возможности поиска поверхностных фрактальных структур с необходимыми характеристиками как вероятных аппроксимантов конфигураций межфазных границ является задачей данной работы. При формировании подобных фрактальных структур методами модулярного дизайна использовали теоретические положения, изложенные в работах [6-19].

Фрактальная кривая n-го поколения, сформированная итерацией генератора G = LK(1/l) на отрезке – стороне многоугольника {Pg} = {N}, может быть представлена как F{Pg},n = FK(1/l){Pg}n(G22){1+} [13-16]. Здесь: K – коэффициент самоподобия, n – количество итераций (значение n = 0 соответствует исходному многоугольнику, n =1 – генератору), G22 – симметрия фигуры, образованной замкнутой фрактальной кривой, 1+ означает, что ее размерность превышает топологическую размерность 1 инициального отрезка прямой.

Множества замкнутых фрактальных кривых МFK(4/3){Pg}(G22), построенные на периметре {N}-тел (темных {Pg} – ячеек некоторых сеток Кеплера-Шубникова), образуют совокупности фигур, представляющие собой упаковки определенных снежинок Коха в 2D-пространстве [16]. Множества замкнутых фрактальных кривых MF-K (4/3) Σ{Pg}(G22), построенные на периметре {N}-лакун (светлых {Pg}), образуют совокупность лакунарных фигур, дополняющие соответствующие множества МFK(4/3){Pg}(G22) до 2D-пространства [16]. В случае треугольных лакун генерируемое множество лакунарных кривых представляет собой результат его расслоения на мультимножество кривых МFK(4/3) Σ{3}(G22), каждая из которых состоит из определенного множества самоподобных с К(2/9) замкнутых кривых в виде двух сросшихся с частичным наложением снежинок Коха FK(4/3){3}(p6mm) [16].

Для формирования фрактальных кривых можно использовать треугольные генераторы Коха гомологических рядов К(2(n+1)/(n+2)) (а) и К(2(3n-1)/3n) (б) (рис. 1, слева) [20]. В результате итерации данных генераторов на периметрах {n}-тел сеток Кеплера-Шубникова образуется множество разнообразных снежинок Коха, упорядоченных в 2D-пространстве [16].

der1.tif

Рис. 1. Изображения первых трех членов гомологических рядов треугольных генераторов Коха К(2(n+1)/(n+2)) (а) и К(2(3n-1)/3n) (б) и прямоугольных генераторов Коха К((n+4)/(n+2)) (а) и К((4n+1)/(2n+1)) (б)

По мере увеличения порядкового номера генератора в каждом гомологическом ряду при итерации наблюдается закономерное увеличение длины квазифрактальной кривой и изменение ее размерности в соответствии с зависимостями D = ln2(n+1)/ln(n+2) и D = ln2(3n–1)/ln3n [20].

Рассмотрим и некоторые другие виды генераторов. Бесконечная итерация прямоугольных генераторов G, в том числе и видоизмененной кривой Коха K(5/3)), на отрезке конечной длины приводит к формированию бесконечной фрактальной линии. Для моделирования могут быть использованы некоторые из сеток Кеплера-Шубникова, которые включают в себя тетрагоны {4} – ячейки сеток и являются производными от сеток Кеплера 4444, 488 или 46.12. Прямоугольный генератор К(5/3) является первым членом двух гомологических рядов прямоугольных генераторов К((n+4)/(n+2)) и К((4n+1)/(2n+1)), где n = 1,2,3…∞ (см. рис. 1, справа) [21]. Размерности фрактальных кривых, образованных с помощью генераторов К((n+4)/(n+2)) и К((4n+1)/(2n+1)), могут быть представлены как D = ln(n+4)/ln(n+2) и D = ln(4n+1)/ln(2n+1) [21]. При n→∞ величины D закономерно уменьшаются от 1,465 до значения 1,001.

Прямоугольный генератор-меандр К(8/4) является первым членом двух гомологических рядов меандров вида ((6n+2)/(2n+2)) и К((10n-2)/(2n+2)), где n = 1,2,3…∞ (рис. 2, слева) [22]. При многократном действии генераторов K((6n+2)/(2n+2)) на периметр ячейки квадратной сетки Кеплера 4444 формируется упорядоченное множество предфрактальных кривых. Для каждой замкнутой фрактальной кривой в ряду K((6n+2)/(2n+2)) размерность D = ln(6n+2)/ln(2n+2) при n→∞ закономерно уменьшается от 1,500 до 1,001 (рис. 3) [22]. При действии генераторов К((10n–2)/(2n+2)) на периметр ячейки квадратной сетки Кеплера 4444 формируется упорядоченное множество предфрактальных кривых. В гомологическом ряду генераторов К((10n–2)/(2n+2)) размерность каждой фрактальной кривой D = ln(10n–2)/ln(2n+2) принимает максимальное значение 1,613 при n = 2, а затем при n→∞ закономерно уменьшается также до значения 1,001 (рис. 3) [22].

Генератор К(6/2) является первым членом как минимум двух разновидностей гомологических рядов меандроподобных генераторов К(6n/2n) (см. рис. 2, справа) [23]. По мере увеличения порядкового номера генератора в каждом гомологическом ряду при итерации наблюдается закономерное изменение ее хаусдорфовой размерности D в соответствии с зависимостью D = ln6n/ln2n [23]. Фрактальная размерность кривой максимальна для первого члена данного ряда, а начиная со вторых членов ряда в представлениях (а) и (б) (рис. 2) размерности кривых D < 2 и при n→∞ закономерно уменьшаются от 1,792 до 1,001 (рис. 3) [23].

Таким образом, в 2D-пространстве могут быть сформированы фрактальные структуры вида МFK(1/l){Pg}{1+}. Данные фрактальные структуры характеризуются размерностями практически во всем диапазоне значений в интервале от 1 до 2 и могут быть использованы для интерпретации результатов исследований трибологических свойств поверхности композиционных материалов и покрытий [1-4, 24-27].

der2.tif

Рис. 2. Изображения первых трех членов гомологических рядов меандров K((6n+2)/(2n+2)) (а) и К((10n-2)/(2n+2)) (б) и гомологического ряда меандроподобных генераторов Коха К(6n/2n) (а и б)

der3.tif

Рис. 3. Изменение размерности фрактальных структур вида FK(1/l){Pg}n(G22){1+} от порядкового номера n в гомологических рядах инициирующих генераторов К(2(n+1)/(n+2)) (1), К(2(3n-1)/3n) (2), К((4n+1)/(2n+1)) (3), К((n+4)/(n+2)) (4), К((10n-2)/(2n+2)) (5), K((6n+2)/(2n+2)) (6), и К(6n/2n (7)

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, соглашение № 14.U01.21.1078.