Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

ПОТЕНЦИАЛЫ СКОРОСТЕЙ, ПОРОЖДАЕМЫЕ КРУГЛЫМИ ЦИЛИНДРОМ И ШАРОМ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ

А.И. Снопов
Исследование взаимодействия круглых цилиндров и шаров с идеальной несжимаемой жидкостью является важной частью курсов лекций по гидродинамике, читаемых в вузах. Обычно излагаются простейшие случаи: неподвижное тело в потоке и прямолинейно движущееся тело в покоящейся жидкости [1, 2, 3, 4]. Однако отсутствие общности не только снижает качество образования, но и увеличивает время на изложение материала.

Ниже излагается обобщенное решение кинематических задач о круглых цилиндре и шаре, движущихся произвольным образом ( , ) в безграничном потоке идеальной несжимаемой жидкости, имеющем на бесконечности скорость .

Принимается, что поле скоростей безвихревое ( ), потенциал скоростей φ удовлетворяет уравнению Лапласа  ( Δ -оператор Лапласа) и для всех точек поверхностей тел S должно выполняться условие , где .            (1)

Для цилиндра, совершающего плоское движение ортогонально своей оси, достаточно рассмотреть движение круглого его сечения радиуса a в его плоскости, принимаемой за плоскость xOy, использовать комплексную координату Z =x + iy и комплексный потенциал скоростей  являющийся аналитической функцией аргумента Z. Комплексно сопряженная скорость частицы жидкости определяется по формуле .

Простейшие комплексные потенциалы:

 (поступательный поток),  (точечный источник q>0 (сток <0)),  (вихрь. Г - вещественное), (диполь).      (2)

Вывод формулы для комплексного диполя

Поместим в начало координат сток, обильности q, а источник такой же обильности - в точку с координатой . Комплексный потенциал скоростей, порожденный этой гидродинамической системой в произвольной точке с комплексной координатой Z, равен


Запишем эту формулу так


и перейдем в ней к пределу при условиях: , . Так как , то получаем  что подтверждает справедливость формулы (2).

Простейшие пространственные потенциалы (r¯ - радиус-вектор точки):

(поступательный поток),  (пространственный точечный источник, q>0 (сток, q<0)),  (пространственный диполь)          (3)

Вывод формулы для пространственного диполя

Размещаем в начале координат сток обильности q, а источник равной обильности - в точке . Потенциал скоростей, порожденный этой системой в точке с векторной координатой r¯, равен


Запишем эту формулу так: .

Потенциал пространственного диполя φ определяется как предел потенциала φ* при условиях: ,   ,, . Учитываем, что  - производная по направлению ),  В результате получаем , что полностью согласуется с формулой (3).

Потенциалы скоростей, порожденные движением цилиндра и шара в жидкости

Так как идеальная жидкость не имеет внутреннего трения, то вращения цилиндра вокруг своей оси и шара не оказывают никакого влияния на движение такой жидкости и на поле скоростей в ней. Поэтому при построении потенциала скоростей, порожденных движением этих тел, учитываем .только их поступательное движение со скоростью u¯.

Для цилиндра искомый комплексный потенциал w представляем в таком виде

                (4)

где А - центр сечения. Комплексно сопряженная скорость потока равна

 (5)


Условия на бесконечности удовлетворены. Распорядимся выбором величин Г и М так, чтобы выполнялось условие (1), приводящее к равенству , где . Так как на L , то , что приводит к равенству
Re[( . из которого следует, что циркуляция Г остается неопределенной, а момент диполя, входящего в формулы (4) и (5), равен


 (6)

Для шара радиуса a с центром в точке А принимаем , и

  (7)

Так как , то в потоке

 (8)

Учитываем, что на поверхности шара  и  и выполняем условие (1). Получаем равенство

, или ,

Вектор  не постоянен, поэтому последнее равенство возможно лишь при

При этом значении M¯ и ,  для шара справедливы формулы (7) и (8).

Список литературы

  1. Лойцянский Л.Г.Механика жидкости и газа. - М., 1973. 817 с.
  2. Кочин Н.Е., Кибель И.Я., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М., 1963. Т. 1, 586 с.
  3. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Л., Издательство ЛГУ, 1978, 286 с.
  4. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dinamics. Cambridge University. 2000. 631 pp.

Библиографическая ссылка

А.И. Снопов ПОТЕНЦИАЛЫ СКОРОСТЕЙ, ПОРОЖДАЕМЫЕ КРУГЛЫМИ ЦИЛИНДРОМ И ШАРОМ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ // Современные наукоемкие технологии. – 2010. – № 7. – С. 321-324;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=25150 (дата обращения: 22.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074