Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,969

РАБОТА СИЛ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

Иванов Е.М.
Если работа силы гравитации F3=GMm/r2 при свободном падении тела m от r0 до r1 равна A0=m (ф1-ф0), где ф= GM/r - гравитационный потенциал, то рбота сторонних сил для перемещения тела в противоположном направлении Ac всегда много больше A0 . И только в идеальном (теоретическом) случае при действии мгновенной силы в виде I0б(t), получаем Ac--A0 .I0=mV1 – единичный импульс силы, б(t) - дельта – функция Дирака, V1 - скорость тела в конце свобоного падения.
Рассмотрим перемещение тела малой массы m в гравитационном поле массивного тела массы M. В случае m< Рассмотрим вначале свободное падение тела m от r0 до r1 (рис.1). Уравнение движения имеет вид

(1)

где ,  - гравитационная постоянная. Если в точке r0 начальная скорость равна нулю, то решение запишется в виде

 (2)

(3)

(2a)

Работу, совершаемую силой тяготения, можно определить, используя формулу (2) на основе соотношения:

 (4)

Если ввести понятие гравитационного потенциала , то выражение (4) для работы можно записать в виде

(4а)

В работах [1-3] показано, что работу можно так же вычислить, используя импульс силы I:

, где  (5)


где tk - время движения от r0 до r1, а dt определяется выражением (2а). Чтобы переместить тело m обратно из точки rв r0, необходимо приложить стороннюю силу F, большую, чем гравитационная сила F3=GMm/r2 и направленную в противоположную сторону.

СЛУЧАЙ I. Сторонняя сила больше гравитационной на постоянную величину ΔF, т.е. силы, действующие на тело m, можно представить в виде:

 где . Под действием силы ΔF тело будет совершать равноускоренное движение. Соотношение между координатой и временем определяется выражениями:  и . Вычислим импульсы всех сил за время tk (время движения от r1 до r0):


 (6)

;  (7)

Суммарная работа всех сил будет равна

Работа сторонней силы

 (8)

Работа гравитационной силы

 (9)

Отдельные составляющие работы будут определяться выражениями:

; (10)

Работа A+ имеет минимум, соответствующей силе

 (11)


Приведем численный пример. Пусть тело массы m=1кг перемещается в гравитационном поле Земли

 в пределах:   м и  м. В случае свободного падения в соответствии с (4) получаем A = 35,9 МДж. Гравитационные силы в точках r0 и r1, соответственно равны F0 =0,0399H,F1 = 3,99 H. Совершим перемещение в обратном направлении при  ΔF =0,1 H . Работу A+ в соответствии с (8) получаем в следующем виде: МДж, что в 31,7 раза больше А. По формуле (11) определяем  Н  и затрачиваемую работу , что в 10 раз больше А.

СЛУЧАЙ II. Сторонняя сила больше гравитационной на некоторый постоянный коэффициент β. Тогда силы, действующие на тело, можно записать в виде F = F1+ F2 - F3, где . Под действием силы  тело будет совершать ускоренное движение от r1 к r0 . При нулевой начальной скорости, решая уравнение движения, последовательно находим:


 (12)

 (13)

 (14)

Импульсы сил при движении тела m от r0  до r1 соответственно равны

;        (15)

Работа сторонней силы

 (16)

Работа гравитационной силы

 (17)

Выражение (16) имеет минимум при β=1 (рис. 2)

 (18)

Что в 4 раза больше работы свободного падения A, определяемой выражением (4), при этом работа гравитационной силы . При β>>1 работа гравитационной силы стремится к минимальной величине, равной  (рис. 3).


СЛУЧАЙ III. Для перемещения тела m от r1 к r0 на него в течении небольшого времени t* (при перемещении до r*) действует постоянная сила F0>F3, обеспечивающая в точке r* кинетическую энергию

 

 (19)

обеспечивающую перемещение тела m  по инерции от r* до r0. Уравнение движения в этом случае запишется в виде:

 (20)

При нулевых начальных условиях получим для участка от r1  до r* :

(21)

;                        (22)

Квадрат импульсов сил . Суммарная работа всех сил на участке от r1 до r* :

(23)

Работа силы тяги F0 будет равна , «антиработа» гравитационной силы

Приближенные значения этих работ:

        (24)

 (25)

В случае F0>>F3 будем иметь

 (26)


при этом , а , определяемой выражением (4). Идеальным вариантом этого случая является действие мгновенной силы, для чего следует устремить время действия силы , а величину силы . Тогда получим мгновенную силу в виде I0δ(t), где δ(t) - дельта - функция Дирака [4]. Единичный импульс силы будет равен I0=mv1, где V1 определяется выражением (4).

СЛУЧАЙ 4. Рассмотрим перемещение тела m по дуге S окружности радиуса r0. Если использовать выражение для работы (4а) с использованием гравитационного потенциала, то формально получаем A0=0, так как в данном случае φ10. Но это неверное заключение, не работа A0=0, а эта работа не может быть совершена силами данного поля. Для перемещения тела по дуге окружности необходимо действие двух сил: удерживающей силы Fy=-F3, которая предотвращает свободное падение тела, и перемещающую силу FT, направленную по касательной. Работа постоянной перемещающей силы

. Работа удерживающей силы , где t - время перемещения. Поскольку силы FT и Fy взаимно перпенди-кулярны, то работы этих сил аддитивны, т.е. суммарная работа A = AT + Ay

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  • Иванов Е.М. Работа и энергия в классической механике и I закон термодинамики // Фундаментальные ис-следования, №8, 2005, с. 11.
  • Иванов Е.М. Работа при движении тел с трением // Фундаментальные исследования, №6, 2005, с. 10.
  • Иванов Е.М. Определение работы и работа силы трения // Успехи современного естествознания. №8, 2005, с. 10.
  • Арсенин В.Я. Математическая физика.- М.: Наука, 1966.

Библиографическая ссылка

Иванов Е.М. РАБОТА СИЛ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2006. – № 7. – С. 12-17;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=22984 (дата обращения: 17.06.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252