Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,969

РАБОТА ПОДЪЕМА ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ

Иванов Е.М.
Показано, что работа подъема тела в однородном поле тяжести всегда больше величины потенциальной энергии mgh. Величина работы имеет минимум, величина которого зависит от способа подъема тела.
В школьных [1] и вузовских [2-4] курсах физики утверждается, что если тело массы m равномерно поднимать вверх на высоту h с помощью силы F=mg, то сила совершает положительную работу AF=mgh, равную потенциальной энергии П=mgh, а сила тяжести отрицательную работуAP=-mgh  [1]. Рассматривается также случай бросания тела вертикально вверх с начальной скоростью V0, обеспечивающей подъем тела на высоту h на основании закона сохранения и превращения энергии: K=П или f. Работу бросания считают равной f. В этих безобидных, на первый взгляд, утверждениях, содержится нечто, противоречащее одному из положений физики. В физике используется понятие КОЭФФИЦИЕНТА ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ (η ) - КПД. КПД не может быть больше единицы. КПД всегда меньше единицы, поскольку часть энергии превращается тоже в энергию, но не в ту, что нужна, и поэтому теряется для полезного использования. КПД всегда меньше единицы вследствие самой физической природы вещей и явлений. Если же записать КПД для выше приведенных случаев подъема тела на высоту h, то получим: f. Рассмотрим более подробно ряд случаев подъема тела на высоту h.

 § 1. Рассмотрим движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V0, за счет действия мгновенной силы в виде f [5, 6] , где f - δ- функция Дирака [7, 8]. Величину I0 будем называть единичным импульсом силы, численно равным количеству движения (импульсу), полученным телом I0=mV0. Дифференциальное уравнение движения (II закон Ньютона) имеет вид:

f                                  (1)

при нулевых начальных условиях:

f; f                       (2)

Где x- вертикальная координата, отсчитываемая от поверхности Земли. Для решения задачи воспользуемся двусторонним преобразованием Лапласа  [9]

ff                      (3)

Для решения этой задачи используется дифференциальное уравнение для односторонней функции f где H(t) - единичная (ступенчатая) функция Хевисайда [8, 9]. Тогда производные функции x*(t) имеют вид [9]

f;

f

После соответствующих преобразований, решение получается в следующем виде

f   f   f               (4)

Вычислим работу, совершаемую силами

f

f

f          (5)

Вычисляя интегралы, получим [9]

f;

f;

f;

f

Работа, совершаемая силами, запишется в виде:

f   (6)

Работа, совершенная единичным импульсом силы I0=mV0 (или начальная энергия, полученная телом) будет равна

f                  (7)

где f - начальная кинетическая энергия тела. Время подъема до максимальной высоты  f f , а максимальная высота подъема f. Подставляя в выражение (6) значение t0, получим конечное значение совершенной работы:

f                      (8)

Поскольку начальная энергия полученная телом A0=2K0, то КПД процесса бросания тела вертикально вверх будет равен

f

То, что начальная энергия тела A0=2K0 можно объяснить эффектом удвоения массы (силы тяжести) в случае внезапно приложенной нагрузки при бросании [5, 10].

 § 2. Рассмотрим случай движения тела вертикально вверх под действием постоянной вертикальной силы тяги FT. Уравнение движения (II закон Ньютона) запишется в следующем виде

f                      (9)

Если FT=mg, то правая часть тождественно равна нулю, и движения тела вверх не происходит, но в этом случае сила давления тела на опору (например, на поверхность Земли) равна нулю, поскольку сила тяги нейтрализует «тяжелую» массу, и тело находится в квазиневесомом состоянии (состояние левитации). Обозначим силу тяги, равную mg, значком "Л": FЛ=mg. Если сила тяги больше mg на величину ΔF, то уравнение (9) можно переписать в виде

f или f  (10)

Таким образом, часть силы тяги FЛ =mg не будет принимать непосредственного участия в работе по подъему тела вверх. Тело будет подниматься вверх только благодаря действию силы ΔF с ускорением f. За время t высота подъема будет равна

f              (11)

Работа подъема составит величину, равную

f                          (12)

Поскольку f есть импульс силы, численно равный импульсу (количеству движения), полученному телом f, где V1 - скорость тела в момент времени t, то можно записать f.

Однако чтобы остановить тело на данной высоте h, необходимо еще совершить работу торможения, численно равную кинетической энергии, приобретенной телом f;

f                      (13)

Отдельного разговора заслуживает вопрос о том, что же делает другая часть силы тяги FЛ=mg? Ведь она не принимает участия в подъеме тела на высоту h, она лишь нейтрализует силу тяжести, обеспечивая условия левитации. Можно записать баланс импульсов сил в виде:

f                     (14)

Возведя обе части равенства в квадрат и разделив на 2m, получим баланс энергий (работ):

f             (15)

Работу, совершаемую силой FT, можно переписать в следующем виде:

f   (16)

Или, с учетом выражений (11) и (12):

f                     (17)

Первый член в правых частях выражений (15)-(17) представляет собой работу силы левитации в стационарном (неподвижном) состоянии

f               (18)

Второй член выражает работу, связанную с ускоренным перемещением силы левитации

f                (19)

Третий член - это обычная работа силы ΔF, обеспечивающей ускоренное движение тела в соответствии со II законом Ньютона:

f            (20)

Произведение работ f. На рис. 1 показана зависимость величины работы левитации AЛ от величины работы AΔ, выраженных в долях потенциальной энергии mgh.

Выражение (17) имеет минимум, равный f при f. На графике (рис. 2) показана зависимость работы f, совершаемой силой тяги FT, выраженной в долях потенциальной энергии П=mgh, от величины соотношения ΔF / mg. Если использовать обычную формулу определения работы подъема тела на высоту h с некоторым ускорением a, то будем иметь A=m(g+a)h = (FЛ + ΔF)h  . Ее зависимость от величины соотношения ΔF / mg показана на графике (рис. 3). Самое нелепое на этом графике то, что при ΔF=0 совершается работа подъема, равная mgh, хотя, согласно условиям статики, тело должно оставаться неподвижным.

Отрицательная работа, совершаемая силой тяжести при подъеме тела вверх вовсе не равна mgh. Она равна

f            (21)

Сумма работ (17) и (21) дает величину f, т.е. величину кинетической энергии, приобретенной телом на высоте h.

КПД подъема при f без учета работы торможения составляет f.

§3. Тело находится в состоянии левитации (приложена сила тяги f). Для того, чтобы тело двигалось вверх, в начальный момент времени на тело действует направленный вверх единичный импульс силы f. В этом случае дифференциальное уравнение движения запишется в виде

f         (22)

при нулевых начальных условиях. Решая уравнение с помощью преобразования Лапласа, получим

f              (23)

Вычисляем работу, совершаемую всеми силами

f      (24)

где f, а t1 - время движения до высоты f. Вычисляя интегралы, выделим положительную и отрицательную работы

f              (25)

f                  (26)

Преобразуем выражения, входящие в (25)

f,       где f

f

f

Тогда суммарную положительную работу (работу подъема) можно записать в виде

f               (25а)

Эта работа имеет минимум, равный f при величине f. График зависимости суммарной работы подъема AΣ в зависимости от величины 2K1, выраженных в долях потенциальной энергии П=mgh, показана на графике (рис. 4). Отрицательная работа, совершаемая силой тяжести (27), может быть представлена в виде:

f                       (26а)

При больших значениях начального импульса (f ) она асимптотически стремится к своему обычному значению f.

Величина энергии, приобретенной в результате ударного нагружения мгновенным импульсом силы I1=mV1, равна f. Двойная энергия  является результатом удвоения массы при внезапно приложенной нагрузке (в рамках модели материальной точки). В рамках реального упругого тела половина энергии идет на возбуждение упругих колебаний, которые вследствие дисперсии и внутреннего трения с течением времени затухают, переходя во внутреннюю энергию (тело нагревается).

СПИСОК ЛИТЕРАТУР

  1. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. средн. шк. - М.: Просвещение, 1990.
  2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том I. Механика. - М.: Наука, 1989.
  3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Учебн. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1989.
  4. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности: Учебн. пособие для физ. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1986.
  5. Иванов Е.М. Дополнительные главы классической механики: - Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2004.
  6. Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических //Успехи современного естествознания, № 9, 2004.
  7. Арсенин В.Я. Математическая физика. - М.: Наука, 1966.
  8. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970.
  9. Б. Ван Дер Поль, Х. Бреммер. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. - М.: Изд. Иностр.Лит. 1952.
  10. Иванов Е.М. Закон инерции Галилея (I закон Ньютона) //Вестник ДИТУД, № 1, 2003.

Библиографическая ссылка

Иванов Е.М. РАБОТА ПОДЪЕМА ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ // Современные наукоемкие технологии. – 2005. – № 3. – С. 9-12;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=22372 (дата обращения: 26.04.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252