Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

1 1
1

Является ли разрешимое произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемой группой. Оказалось, что разрешимое произведение упорядочиваемых групп вовсе не обязано быть упорядочиваемым. Контрпример строится для случая двуступенно разрешимого произведения упорядочиваемых групп.

Пусть A группа с образующими a,b,c и определяющими отношениями: prilma26.wmf A является упорядочиваемой группой. Обозначив через prilma27.wmf фактор – группу prilma28.wmf группы A по её коммутанту A1, через prilma29.wmf бесконечные циклические группы и prilma30.wmf, где k,e,n целые числа, e=0 или I. Построим группу prilma31.wmf со следующими соотношениями:

prilma32.wmf

где prilma33.wmf группа G1 без кручения, причем, подгруппа ее prilma35.wmf является двуступенно разрешимой и prilma36.wmf.

В самом деле,

prilma37.wmf

Существенным является то, что prilma38.wmf, так

prilma39.wmf

Далее prilma40.wmf инвариантная абелева подгруппа группы prilma41.wmf абелева группа.

Возьмем группу prilma42.wmf и бесконечную циклическую группу {d*}. Тогда отображение prilma43.wmf при котором prilma44.wmf где prilma45.wmf можно продолжить до гомоморфизма, так как если некоторое слово равно единице в prilma46.wmf, то образ этого слова равен единице в G2. Здесь символ prilma47.wmf обозначает двуступенно разрешимое произведение. Но в силу того, что C действует нетождественно prilma49.wmf действует нетождественно на prilma50.wmf Получается, таким образом, что prilma51.wmf индуцирует автоморфизм второго порядка на группе prilma52.wmf и, следовательно, группа prilma53.wmf не является упорядочиваемой, действительно, полагая prilma54.wmf получаем:

prilma55.wmf,

а это недопустимо.

Таким образом, класс упорядочиваемых групп незамкнут относительно разрешимых произведений.