Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,007

О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ

Ромм Я.Е. 1
1 Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)»
Представлено несколько разновидностей необходимых и достаточных условий устойчивости, а также асимптотической устойчивости по Ляпунову для точки покоя системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Излагается построение и формальное обоснование этих условий. Построение опирается на метод Эйлера разностного решения задачи Коши для дифференциальной системы с учетом остаточного члена приближения. Полученные критерии применимы для оценок устойчивости решений нелинейных систем, линейных систем с матрицами переменных и постоянных коэффициентов. Для нелинейной системы критерии используют начальные значения из дельта-окрестности нулевого начального вектора. В случае линейной системы необходимые и достаточные условия устойчивости относятся к одному произвольно выбираемому решению с ненулевыми компонентами вектора начальных значений. Помимо того на этот случай указаны критерии, не зависящие от начальных значений. Выполнен анализ взаимосвязи, границ эквивалентности и взаимного различия данных разновидностей необходимых и достаточных условий устойчивости. Отмечена возможность их аналитического применения для теоретических оценок устойчивости и практического применения для компьютерного анализа устойчивости по ходу приближенного решения дифференциальной системы. Показана конструктивность предложенных критериев, выполнены численные эксперименты, подтверждающие их достоверность, детально обозначены способы и особенности программной реализации. В частности, необходимые и достаточные условия устойчивости в форме несобственного интеграла на полуоси программно реализуются с помощью первообразной. Работа включает, кроме того, формализованные оценки устойчивости на основе знаков компонентов решения и двух их производных. Обоснование оценок опирается на интегральную форму необходимых и достаточных условий устойчивости точки покоя. Построение оценок конструктивно использует компоненты правой части дифференциальной системы и их производные.
необходимые и достаточные условия устойчивости
компьютеризация анализа устойчивости
численное моделирование устойчивости
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
интегральная форма критериев устойчивости
оценки устойчивости на основе знаков решения и их производных
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во «Науку – всем», 2019. 480 с.
2. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 376 с.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2010. 558 с.
4. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория автоматического управления. М.: ЛЕНАНД, 2019. 500 с.
5. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44. № 6. С. 1217–1225.
6. Александров А.Ю., Жабко А.П., Косов А.А. Анализ устойчивости и стабилизация нелинейных систем на основе декомпозиции // Сибирский математический журнал. 2015. Т. 56. № 6. С. 1215–1233.
7. Новиков М.А. О вычислительных способах достаточных условий устойчивости автономных консервативных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 1 (41). С. 28–36.
8. Ромм Я.Е. Параллельные итерационные схемы линейной алгебры с приложением к анализу устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2004. № 4. С. 119–142.
9. Ромм Я.Е. Мультипликативные критерии устойчивости на основе разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2006. № 1. С. 127–142.
10. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН. Математическое моделирование. 2008. Т. 20. № 12. С. 105–118.
11. Ромм Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости на основе рекуррентных преобразований разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2015. Т. 51. № 3. С. 107–124.
12. Ромм Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости решений дифференциальных систем // Современные наукоемкие технологии. 2020. № 4. С. 42–63. DOI: 10.17513/snt.37973.
13. Ромм Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости по знакам компонентов решения дифференциальной системы и их двух производных // Современные наукоемкие технологии. 2021. № 9. С. 100–124. DOI: 10.17513/snt.38823.
14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. СПб.: Изд-во «Лань», 2018. 608 с.
15. Пиголкина Т.С. Автономные системы. Фазовые траектории. Элементы теории устойчивости. М.: Изд-во МФТИ, 2013. 40 с.
16. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 800 с.
17. Giesl P., Hafstein S. Computation of Lyapunov functions for nonlinear discrete time systems by linear programming. J. Difference Equ. appl. 2014. vol. 20. no. 4. P. 610–640.
18. Миронов В.В., Митрохин Ю.С. Технологический подход к исследованию устойчивости динамических систем: прикладные вопросы // Вестник РГРТУ. 2017. № 59. С.

Известные методы качественной теории дифференциальных уравнений представляют собой результаты фундаментальных исследований [1, 2] преимущественно теоретического характера. В то же время они лежат в основе практически всех приложений [3, 4]. Как правило, для построения этих методов не используются средства вычислительной математики, хотя исследования в области связи численных методов с устойчивостью проводятся на системной основе [5–7]. Непосредственное использование численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для построения критериев устойчивости по Ляпунову (ниже устойчивости) предпринято в [8, 9], кроме того в [10, 11], а также в [12, 13]. На этой основе удается сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости, которые с применением численных методов приобретают конструктивный характер, программно реализуемы и дают возможность численного моделирования устойчивости по ходу приближенного решения ОДУ [11, 12]. В данном направлении возникают самостоятельные задачи исследования, часть из них неформально заключается в следующем. Требуется выяснить, какие разновидности необходимых и достаточных условий устойчивости можно построить на основе численных методов решения ОДУ. Необходимо определить формальные ограничения, при которых они математически корректны, описать области их применения, исследовать возможность использования для численного моделирования устойчивости. Отдельно ставится задача получения формализованных оценок устойчивости на основе знаков компонентов решения и двух их производных. Построение оценок должно исходить из компонентов функции правой части дифференциальной системы и их производных, обоснование оценок должно быть связано с интегральной формой необходимых и достаточных условий устойчивости.

Цель исследования заключается в том, чтобы оценить возможное разнообразие необходимых и достаточных условий устойчивости, выяснить взаимосвязь и различие между ними, указать особенности решений и дифференциальных систем, к которым применима каждая их разновидность. Требуется представить обоснование предложенных критериев, показать их конструктивность, выполнить численный эксперимент с проверкой их достоверности, раскрыть способы и особенности компьютерной реализации.

Исходные положения. Пусть рассматривается задача Коши для системы ОДУ, которая имеет нулевое решение (точку покоя) missing image file,

missing image file, missing image file, missing image file, (1)

где missing image file, missing image file, missing image file. Требуется исследовать устойчивость в смысле Ляпунова точки покоя этой системы. Ниже возмущение missing image file, нулевого решения, если при необходимости не оговорено иное, не будет отмечаться специальным символом. Используются канонические нормы вектора, по умолчанию missing image file. Предполагается, что существует δ0 > 0, такое, что в области missing image file, V0 = V(t0), выполнены все условия существования и единственности решения, в частности вектор-функция U(t,V) определена, непрерывна в R0 и удовлетворяет условию Липшица:

missing image file

missing image file.

Для дальнейшего потребуется более жесткое ограничение, из которого следует условие Липшица. Именно, всюду ниже предполагается, если не оговорено иное, что выполнено соотношение

missing image file

missing image file. (2)

В случае, когда сравниваются нулевое решение и его возмущение, с учетом missing image file (производная от постоянной функции missing image file равна нулю), условие Липшица примет вид

missing image file,

а соотношение (2) перейдет в соотношение

missing image file

missing image file. (3)

В рассматриваемых условиях точка покоя устойчива, если missing image file найдется missing image file, такое что missing image file влечет missing image file. Точка покоя асимптотически устойчива, если она устойчива и найдется missing image file, такое, что из неравенства missing image file следует missing image file. Наряду с существованием и непрерывностью missing image file ниже при необходимости предполагается существование и непрерывность в R0 второй производной missing image file, что оговаривается отдельно. Иногда будут использоваться обозначения missing image file. Производная каждого компонента правой части (1) аналитически определяется по формуле полной производной сложной функции [14] missing image file, или

missing image file. (4)

Необходимые и достаточные условия устойчивости точки покоя. В рассматриваемых предположениях, в частности включающих (2), (3), в [10, 11], а также в [12, 13] предложены следующие критерии устойчивости и асимптотической устойчивости.

Теорема 1. Для устойчивости точки покоя системы (1) необходимо и достаточно существование missing image file, такого, что missing image file выполняется соотношение

missing image file

missing image file. (5)

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file

missing image file. (6)

В (6) деление на missing image fileизлишне, однако так дробь вводится в компьютерную программу для исследования устойчивости, поскольку априори характер устойчивости, вообще говоря, неизвестен.

Критерии теоремы 1 в рассматриваемых условиях эквивалентны (в дальнейшем ограничения для эквивалентности будут отдельно оговорены) критериям в приводимой ниже форме.

Теорема 2. В рассматриваемых условиях, включая ограничения (2), (3), для устойчивости точки покоя системы (1) необходимо и достаточно существование missing image file, такого, что missing image file выполняется соотношение

missing image file

missing image file. (7)

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое что missing image file влечет

missing image file missing image file. (8)

Обращение в ноль знаменателя подынтегральной функции при условии (3) приводит лишь к устранимым особенностям [12], что не влечет некорректности интегрирования (при рассматриваемых ограничениях в случае автономной системы знаменатель не обращается в ноль, поскольку различные решения не имеют общих точек [15]). Это следует из того, что левосторонний и правосторонний пределы подынтегральной функции в окрестности нуля знаменателя существуют, согласно (3) они конечны, кроме того, равны друг другу в силу непрерывности числителя и знаменателя в окрестности данной особой точки. В [11] показано, как обе приведенные теоремы вытекают из мультипликативных преобразований метода Эйлера, для целей исследования эти преобразования кратко излагаются ниже. Метод Эйлера решения задачи (1)

missing image file, (9)

включая запись с остаточным членом, на произвольном отрезке missing image file рассматривается в предположении, что значение независимой переменной missing image fileявляется произвольно фиксированным, при этом индекс i неограниченно растет одновременно с убыванием равномерного шага:

missing image file

missing image file. (10)

В форме с остаточным членом метод (9) примет вид missing image file, missing image file, где i, h из (10), qki – остаточный член формулы Тейлора для k-го компонента приближения:

missing image file,

аналогично, для возмущенного решения, missing image file, missing image file, missing image file, missing image file. Разность между возмущенным и точным решением запишется в виде

missing image file

missing image file

missing image file,

или

missing image file,

missing image file,

missing image file. (11)

В (11) и ниже не будет учитываться случай, когда missing image file, поскольку в предположении (2), в частности (3), эта особенность устранима и фактически не влияет на конечный результат [12]. Рекуррентное преобразование (11) влечет

missing image file,

missing image file,

missing image file, (12)

где h соответствует (10), wki из (11). В рассматриваемых условиях missing image file missing image file [10, 11] (что равносильно сходимости метода Эйлера на произвольном отрезке missing image file). Отсюда и из (12) следует

missing image file

missing image file. (13)

Согласно (10) предельное соотношение missing image file в (13) эквивалентно missing image file, можно было бы обозначать missing image file, для простоты обозначений это подразумевается, но не пишется. На missing image file частичное произведение missing image file при изменении i меняет одновременно все сомножители и равномерный шаг h в каждом из них. С учетом определения устойчивости из (13) непосредственно вытекает

Лемма 1. В рассматриваемых условиях для устойчивости решения задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы существовало missing image file, такое, что missing image file, при условии missing image file выполняется неравенство

missing image file

missing image file. (14)

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file. (15)

Очевидно, (13) эквивалентно соотношению

missing image file

missing image file. (16)

При сохранении всех рассматриваемых предположений из (16) вытекает

Следствие 1. При условии missing image file формулировка и утверждение леммы 1 дословно сохраняются при замене (14) на соотношение

missing image file

missing image file, (17)

и (15) – на соотношение

missing image file

missing image file. (18)

Дробь в (17) выражает отношение возмущения решения именно к вызвавшему его возмущению начальных значений при всех их вариациях в границах missing image file, в этих границах выполняется соотношение

missing image file

missing image file.

Следствие 2. Следствие 1 дает необходимые и достаточные условия устойчивости точки покоя системы (1): утверждения следствия 1 сохраняются в случае missing image file, при этом (17) переходит в соотношение

missing image file.

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости точки покоя получаются из утверждения этого следствия с переходом (18) в соотношение

missing image file

missing image file.

Очевидно, следствие 2 эквивалентно теореме 1, которая, таким образом, вытекает из леммы 1. Данные рассуждения обратимы, и лемма 1 также следует из теоремы 1. В результате лемма 1 и теорема 1 эквивалентны в рамках рассматриваемых ограничений. В тех же ограничениях из леммы 1 следует теорема 2. В самом деле, с учетом (11) и (2) выполняется неравенство:

missing image file

missing image file. (19)

Далее, предполагается, что h достаточно мало, и на основании (19) missing image file. Тогда missing image file, возмущение (13) преобразуется к виду

missing image file

missing image file.

Лемма 1 переходит в следующую лемму.

Лемма 2. В рассматриваемых условиях для устойчивости решения задачи (1) необходимо и достаточно существование missing image file такого, что для всех решений missing image file, при условии missing image file выполняется соотношение

missing image file

missing image file. (20)

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что неравенство missing image fileвлечет соотношение

missing image file. (21)

Условие (20) выполняется в том и только в том случае, если

missing image file

missing image file, (22)

условие (21) – тогда и только тогда, когда

missing image file. (23)

Согласно (10) missing image file при missing image file, с учетом (19) missing image file, отсюда

missing image file. (24)

В силу (24) для missing image file, missing image file, верны неравенства

missing image file.

При missing image file получается аналог известного соотношения для рядов [16]:

missing image file

missing image file. (25)

С учетом (22), (23), (25) из леммы 2 вытекает

Следствие 3. Условия, формулировка и утверждения леммы 2 дословно сохраняются при замене соотношения (20) на соотношение вида

missing image file

missing image file, (26)

и (21) – на соотношение

missing image file. (27)

В (26), (27) missing image file – предел интегральной суммы на missing image file, согласно (11) элементами интегрального разбиения являются дроби

missing image file,

missing image file, missing image file,

представляющие собой дискретные значения функции

missing image file,

missing image file. (28)

При выполнении (2) функция (28) определена и непрерывна на отрезке missing image file с точностью до устранимых особенностей для каждого номера k компонента системы (1). Выражения из (26), (27) под знаком пределов включают определенные интегралы, их использование приводит к следующей теореме.

Теорема 3. В условиях леммы 2 оба утверждения этой леммы сохраняются при замене (20) на соотношение вида

missing image file

missing image file, (29)

и (21) – на соотношение

missing image file, (30)

где missing image file из (28).

Числитель дроби (28) является производной возмущения, он делится на само возмущение, поэтому существует первообразная: missing image file.

Следствие 4. Теорема 3 сохраняется, если соотношения (29), (30) заменить соответственно на соотношения вида

missing image file

missing image file.

и

missing image file.

где missing image file.

В случае точки покоя missing image file и следствие 4 перейдет в следующее утверждение.

Следствие 5. Для случая точки покоя теорема 3 сохраняется, если соотношения (29), (30) заменить соответственно на соотношения вида

missing image file.

и

missing image file.

где missing image file.

Теорема 3 с учетом (28) в этом случае примет вид следующей теоремы.

Теорема 4. В условиях леммы 2 оба утверждения этой леммы сохраняются при замене (20) на соотношение вида

missing image file

missing image file,

и (21) – на соотношение

missing image file.

Таким образом, теорема 4 вытекает из леммы 2. Данные рассуждения обратимы (с учетом предположений (2), (3), неравенства (19), а также малости h и неравенства missing image file), и эта теорема в рассматриваемых условиях эквивалентна лемме 2. Теорема 4 с точностью до обозначений повторяет теорему 2. Лемма 2 эквивалентна лемме 1. В результате теоремы 1 и 2 эквивалентны в рамках рассматриваемых ограничений.

В дальнейшем, как и в начале, возмущение точки покоя (если не оговаривается иное) не отмечается волной. В исходных обозначениях следствие 5 примет формулировку, непосредственно используемую в численном эксперименте для программной идентификации интегралов из (7), (8).

Следствие 6. Теорема 2 сохраняется, если соотношения (7), (8) заменить соответственно на соотношения вида

missing image file

missing image file (31)

и

missing image file, (32)

где missing image file.

Потенцирование (31), (32) влечет соответственно (5), (6).

Условия устойчивости в выражении через правую часть дифференциальной системы. Пусть предполагается существование и непрерывность в R0 второй производной missing image file решения системы (1). Пусть для missing image file имеет место аналог условия Липшица missing image file missing image file, и аналог (2):

missing image file

missing image file. (33)

Если сравниваются производные нулевого решения и его возмущения, то missing image file, missing image file, аналог условия Липшица примет вид

missing image file ,

а соотношение (33) перейдет в соотношение

missing image file. (34)

Из (34) и (3) следует неравенство

missing image file. (35)

В (34), (35) и ниже на ненулевое решение и его производную не ставится знак волны. Пусть missing image file, такое, что missing image file обеспечивается неравенство

missing image file missing image file. (36)

В частности, условие (36) будет выполняться, если missing image file верно соотношение

missing image file

missing image file

missing image file. (37)

Замечание 1. По аналогии с доказательством, данным в [12] для missing image file на основе (2), (3), можно показать, что в силу выполнения (33), (34) в правых частях (36), (37) нет неустранимых особенностей.

Имеет место

Теорема 5. В рассматриваемых условиях, включающих, в частности, (33), (34), при выполнении любого из соотношений (36), (37) для устойчивости точки покоя системы (1) достаточно существования missing image file, такого, что missing image file выполняется соотношение

missing image file

missing image file. (38)

Для асимптотической устойчивости точки покоя достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file missing image file . (39)

Доказательство следует из того, что при выполнении любого из условий (36), (37) соотношение (7) – необходимое следствие (38), соотношение (8) – следствие (39).

Следующая теорема эквивалентна теореме 5.

Теорема 6. В рассматриваемых условиях, включающих, в частности, (33), (34), при выполнении любого из условий (36), (37) для устойчивости точки покоя системы (1) достаточно существования missing image file, такого, что missing image file выполняется соотношение

missing image file

missing image file. (40)

Для асимптотической устойчивости достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file

missing image file. (41)

Доказательство. Неравенство (38) можно записать в виде missing image file, или missing image file, поэтому (38) равносильно missing image file, или missing image file. В итоге (38) эквивалентно (40) при missing image file. Далее, соотношение (39), missing image file, выполняется тогда и только тогда, когда выполняется missing image file. При missing image file это эквивалентно missing image file, или, missing image file. Отсюда (39) эквивалентно (41). Теорема доказана.

Из доказательства вытекает эквивалентная формулировка теоремы 5.

Следствие 7. В условиях теоремы 5 утверждения этой теоремы сохраняются, если соотношения (38), (39) заменить соответственно на соотношения

missing image file

missing image file. (42)

и

missing image file. (43)

где missing image file.

Замечание 2. Для асимптотической устойчивости условие (41) необходимо без использования (36), (37), как это следует из (3). Аналогично, (39) – необходимое условие устойчивости без учета (36), (37) ввиду эквивалентности (41) и (39) (в рассматриваемых ограничениях).

Ниже даны разновидности ограничений, при наличии которых утверждения теорем 5 и 6 будут дополнены необходимыми условиями устойчивости. Пусть вначале относительно системы (1) предполагается, что в R0 missing image file, такое, что missing image file выполняются пары неравенств

missing image file, missing image file,

missing image file, missing image file, (44)

или

missing image file, missing image file,

missing image file, missing image file. (45)

Неравенства (44) и (45) можно объединить в одно неравенство

missing image file missing image file, missing image file, (46)

где с учетом (34) в случае нуля в знаменателе возможны лишь устранимые особенности. Пусть наряду с тем предполагается, что выполнены неравенства

missing image file

missing image file,

missing image file. (47)

В совокупности данных предположений имеет место

Предложение 1.

Если missing image file каждый компонент правой части (1) и его производная сохраняют знак (в виде нестрогого неравенства) missing image file, то выполнение одного из соотношений (44) или (45) необходимо, а в сочетании с выполнением (47) достаточно для устойчивости точки покоя системы (1). Для ее асимптотической устойчивости необходимо и при выполнении (47) достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file. (48)

Предложение 2. Условия предыдущего предложения необходимы и при выполнении (47) достаточны для устойчивости точки покоя системы (1). В тех же условиях для ее асимптотической устойчивости необходимо и при выполнении (47) достаточно, чтобы

missing image file

missing image file. (49)

Доказательство. В условиях каждого из предложений выполнено (46), что влечет (38) и, как следствие, (40). Отсюда, в случае выполнения (47), имеет место соотношение (5), что согласно теореме 1 достаточно для устойчивости. Если точка покоя устойчива, то в условиях каждого из предложений необходимо выполнено (44), либо (45) [13]. Тогда с точностью до устранимых особенностей необходимо выполнено missing image file missing image file. Таким образом, условия (44) –(46) необходимы для устойчивости точки покоя, следовательно, они необходимы для асимптотической устойчивости. Для асимптотической устойчивости выполнение (48), или же эквивалентного соотношения (49), достаточно в сочетании с выполнением (47), поскольку это влечет (6). Если точка покоя асимптотически устойчива, то missing image file, тогда согласно (3) missing image file, что эквивалентно (48) и (49), таким образом, эти условия необходимы. Оба предложения доказаны.

Пусть относительно системы (1) рассматривается случай, когда в R0 missing image file, такое, что missing image file выполняются неравенства

missing image file, missing image file missing image file,

missing image file, (50)

или

missing image file, missing image file missing image file,

missing image file. (51)

Неравенства (50) и (51) можно объединить в одно неравенство

missing image file missing image file, missing image file, (52)

где с учетом (3) возможны только устранимые особенности. Пусть, кроме того, missing image file, такое, что missing image file, missing image file, выполняется соотношение

missing image file (missing image file) missing image file. (53)

В совокупности данных условий имеет место

Предложение 3. Пусть для системы (1) missing image file выполнено любое из соотношений (50), (51). Если missing image file каждый компонент правой части (1) и его производная сохраняют знак (в виде нестрогого неравенства) missing image file, то точка покоя системы (1) устойчива. Если, кроме того, missing image file, missing image file, выполнено (53), то для ее асимптотической устойчивости и необходимо, и достаточно, чтобы missing image file missing image file.

Доказательство. Если выполнено (50) или (51), то верно (52), и устойчивость следует из (7). С учетом (50), (51) и сохранения знака в этих соотношениях (в виде нестрогого неравенства missing image file) missing image file, missing image file [13]. Тогда из (53) missing image file, в этом случае необходимым условием устойчивости, следовательно, и асимптотической устойчивости является missing image filemissing image file [13]. Отсюда с учетом (52) выполнение (53) возможно только, если missing image file missing image file, и соотношение missing image filemissing image file оказывается достаточным условием асимптотической устойчивости точки покоя системы (1). Предложение доказано.

Пусть для системы (1) рассматриваются условия, при которых missing image file, такое, что выполняются тройки неравенств

missing image file, missing image file, missing image file missing image file,

missing image file, missing image file, (54)

или

missing image file, missing image file, missing image file missing image file,

missing image file, missing image file. (55)

Имеет место

Предложение 4. Пусть в рассматриваемых условиях missing image file, такое, что выполняются соотношения (54) или (55). Тогда точка покоя системы (1) устойчива и missing image file необходимо выполняется (38). Для асимптотической устойчивости точки покоя необходимо, чтобы решение было устойчиво и missing image file выполнялось (39).

Следствие 8. В условиях предложения 4 точка покоя системы (1) устойчива и missing image file необходимо выполнять соотношение (40). Для асимптотической устойчивости точки покоя необходимо, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file выполняется соотношение (41).

Доказательство. Достаточность утверждений предложения и следствия относительно устойчивости точки покоя следует из того, что пары неравенств missing image file, missing image file или missing image file, missing image fileобеспечивают ограниченность нулем подынтегральной функции и тем самым выполнение соотношения (7) теоремы 2. С учетом эквивалентности (38) и (40) необходимость этих эквивалентных соотношений следует из неравенств missing image file, missing image file или missing image file, missing image file. Ввиду эквивалентности (39) и (41) необходимость утверждений относительно асимптотической устойчивости следует из (3). Предложение, а также следствие доказано.

Предложение 4 и следствие 8 дают необходимые условия устойчивости без требования выполнения соотношений (36) или (37).

Имеет место

Теорема 7. Пусть в изначально рассматриваемых для системы (1) условиях теоремы 2 missing image file, такое, что missing image file, missing image file, missing image file выполняются неравенства

missing image file, missing image file, missing image file,

или

missing image file, missing image file, missing image file.

Если при этом missing image file, такое, что выполняется любое одно из двух условий

1) missing image file, missing image file,

missing image file,missing image file

2) missing image file missing image file,

missing image file, missing image file,

то точка покоя системы асимптотически устойчива.

Доказательство. Очевидно,

missing image file

missing image file. (56)

Отсюда

missing image file. (57)

При выполнении 1) согласно (56) missing image file, поэтому функция missing image file не возрастает, с учетом знаков числителя и знаменателя она отрицательна missing image file, согласно (7) точка покоя устойчива. При выполнении 2) согласно (57) missing image file, и missing image file. Отсюда, как и при выполнении 1), точка покоя устойчива. В обоих случаях missing image file missing image file, missing image file, что missing image file обеспечивает выполнение (8). Теорема доказана.

При излагаемых ниже дополнительных ограничениях условия устойчивости (38) и асимптотической устойчивости (39) теоремы 5 сделаются необходимыми и достаточными.

Пусть в условиях теоремы 2 рассматриваются соотношения (38) и (7), а также (39) и (8). Пары соотношений (38) и (7) будут выполняться одновременно, если

missing image file

missing image file,

missing image file, (58)

или, с переходом к первообразным,

missing image file,

что равносильно

missing image file,

или

missing image file.

Последнее соотношение равносильно неравенствам

missing image file,

missing image file,

missing image file, (59)

где по построению с0 – произвольно выбираемая положительная константа, missing image file из теоремы 2. Неравенства (58) и (59) равносильны. Следовательно, при выполнении (59) соотношения (38) и (7) выполняются одновременно, и соотношение (38) оказывается необходимым и достаточным вместе с (7) условием устойчивости. Из (59) также ясно, что выполнение этого соотношения в случае missing image file возможно только, если missing image file, иначе нарушится левая часть соотношения – missing image file. Обратно, если missing image file, то необходимо missing image file, иначе нарушится правая часть соотношения – missing image file (то же следует из (3)). В результате при выполнении (59) вместе с (39) выполняется (8), и выполнение (39) наряду с (8) оказывается необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости.

Таким образом, имеет место следующее.

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 2, и пусть в рассматриваемых условиях, включающих, в частности, (33), (34), выполнено соотношение (59). Тогда для устойчивости точки покоя системы (1) необходимо и достаточно существование missing image file, такого, что

missing image file,

missing image file. (60)

В том же ограничении для асимптотической устойчивости точки покоя необходимо и достаточно, чтобы выполнялось предыдущее утверждение и нашлось missing image file, такое, что

missing image file missing image file,

missing image file. (61)

В силу эквивалентности в рассматриваемых условиях теорем 2 и 1, а также теорем 6 и 5 теорема 8 переходит в следующее утверждение.

Следствие 9. В условиях теоремы 8 для устойчивости точки покоя системы (1) необходимо и достаточно, чтобы нашлось missing image file, такое, что

missing image file

missing image file,

missing image file. (62)

В том же ограничении для асимптотической устойчивости точки покоя необходимо и достаточно, чтобы выполнялось предыдущее утверждение и нашлось missing image file, такое, что

missing image file

missing image file,

missing image file. (63)

Замечание 3. Как отмечалось, при выполнении (59), если missing image file, то missing image file.

С переходом к первообразным теорема 8 перейдет в утверждение, по форме сохраняющее соотношения (42), (43). Ввиду новых условий для этих соотношений и их значения для описания эксперимента утверждение полностью формулируется заново.

Следствие 10. В условиях теоремы 8 утверждения этой теоремы сохраняются, если соотношения (60) и (61) заменить соответственно на соотношения

missing image file,

missing image file (64)

и

missing image file missing image file,

missing image file. (65)

Замечание 4. Нетрудно видеть, что на основе изложенной схемы можно конструировать аналоги теоремы 8 и следствия 9 для производных правой части системы (1) произвольного порядка missing image file, если только эти производные существуют. В этом случае соотношение (60) заменится на соотношение

missing image file,

missing image file,

соотношение (61) – на соотношение

missing image file missing image file,

missing image file, missing image file.

Данные соотношения будут означать необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости при ограничении

missing image file

missing image file.

Потребуется, кроме того, предполагать аналог (34), чтобы исключить неустранимые особенности подынтегральной функции:

missing image file

missing image file

missing image file.

После перехода к первообразным будут получаться аналоги (62), (63), составленные из дробей missing image file, а также, на этой основе, – аналоги (64), (65).

О применении необходимых и достаточных условий устойчивости. Предложенные оценки устойчивости с учетом знаков компонентов решения и их двух первых производных так или иначе сводятся к применению теорем 1 и 2. Как правило, они являются частными случаями данных теорем, а также теоремы 8 и следствия 9. Теоремы 1, 2, будучи эквивалентными (в отмеченных ограничениях), дают необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости в сравнительно общем случае. По ходу их вывода получаются аналитические представления этих условий – (5), (6) и (7), (8). Для несобственного интеграла в (7), (8) существует первообразная, посредством которой интеграл на полуоси выражается через логарифм от модуля решения из соотношений (31) и (32). В процессе приближенного решения задачи Коши (1), например, по методу Эйлера, приближение каждого компонента решения становится известным на каждом шаге приближения, равно как становится известным отношение компонента решения к фиксированному начальному значению этого же компонента. На этой основе соотношения (5), (6) численно моделируются в процессе компьютерной реализации. Решение может быть реализовано для нескольких начальных значений в окрестности нулевого начального вектора, в результате будут численно моделироваться необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости. Интегральные оценки теоремы 2 численно моделируются аналогично, с той разницей, что вместо отношения компонента решения к его начальному значению берется логарифм от модуля этого отношения согласно (31) и (32). По такой же схеме интегральные соотношения (60) и (61) теоремы 8 реализуются либо по следствию 9 как соотношения (62), (63), либо по следствию 10 как соотношения (64), (65), – без аналитического вычисления производной правой части системы (1) из (4).

Соотношения теоремы 2 и теоремы 8 непосредственно в аналитическом виде применимы для теоретических оценок устойчивости на основе теорем сравнения, изложенных в [11], а также в [12] и [13], где даны примеры их применения. Для конкретной системы пример приводится ниже по ходу описания численного эксперимента, где помимо того представлены программные реализации интегральных соотношений на основе логарифмических соотношений (31) и (32), а также (64) и (65).

Для линейных систем ОДУ не требуется проверять рассматриваемые соотношения теорем 1 и 2, а также теоремы 8 и следствия 9 в Δ-окрестности нулевого начального вектора – достаточно проверить их выполнение для любого отдельно взятого решения, соответствующего начальному вектору со всеми ненулевыми компонентами [12]. Это непосредственно ясно из того, что в рассматриваемых ограничениях теорема 2 эквивалентна теореме 1, достаточно проверки соотношений (5), (6). Вместе с тем известно [1], что для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы было ограничено любое одно ненулевое решение. Ограниченность одного решения имеет место одновременно с ограниченностью левой части (5) при ненулевых значениях начальных компонентов. Известно также [1], что отдельно взятое решение линейной системы стремится к нулю тогда и только тогда, когда все решения стремятся к нулю. Такое свойство имеет место одновременно с выполнением (6) для одного произвольно выбранного решения с ненулевыми компонентами начального вектора. Аналогично, в случае соотношений (31), (32). Наконец в условиях теоремы 8 и следствия 9 соотношения (60), (61) выполняются одновременно с (7), (8) соответственно, а значит, и одновременно с (5), (6), аналогично, – для соотношений (62), (63), а также (64) и (65).

Для линейных систем можно применять условия устойчивости, которые полностью не зависят от начальных значений [8, 9], что отмечается также в [10, 11] и в [12, 13], ниже это иллюстрируется при описании численного эксперимента.

Численное моделирование необходимых и достаточных условий устойчивости по ходу решения системы. Пусть для примера рассматривается система

missing image file (66)

missing image file

где missing image file.

Требуется оценить устойчивость точки покоя. Из (66)

missing image file,

где missing image file. Аналогично,

missing image file.

Для уравнений системы выполнены неравенства missing image file, missing image file.

Отсюда missing image file,

где missing image file, missing image file.

По теореме сравнения, данной в [11, 12], точка покоя системы (66) асимптотически устойчива. Это и непосредственно ясно из теоремы 2 и (7), (8):

missing image file

missing image file.

Асимптотическую устойчивость подтверждает компьютерная реализация. На Delphi запрограммировано решение задачи (66) по методу Эйлера на отрезке missing image file с шагом missing image file. На выходе программы формируются компоненты левых частей (5) (без деления получался бы знак компонента решения, что для краткости закомментировано). Выводится эвклидова норма (norma (V/V0)) от обоих компонентов missing image file. Выводятся значения интегралов (INTEGRAL(v1/v10), INTEGRAL(v2/v20)) компонентов левой части (7), выраженные через первообразные согласно (31). Аналогично, формируются компоненты левых частей (62) (что также закомментировано), выводится их эвклидова норма (norma (U/U0)), значения интегралов (INTEGRAL(u1/u10), INTEGRAL(u2/u20)) компонентов левой части (60) в выражении через логарифмы согласно (64).

program RAE11NORMALOGVUnew1;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses

SysUtils;

const h = 0.0001; tt=10000000;

var t,t0,v1,v2,v10, v20,u10, u20: extended; k: longint;

function u1(t,v1,v2:extended):extended;

begin

u1:=-v1*exp(-0.18*ln(t))-1/sqr(t)*v1*exp(sqr(cos(exp(1/3*ln(sqr(v1*v2))))))

end;

function u2(t,v1,v2:extended):extended;

begin

u2:=-exp(sqr(sin(exp(1/7*ln(sqr(v1*v2))))))*

(1+ sqr(cos(exp(1/3*ln(sqr(v1)))*v2+exp(1/3*ln(sqr(v2)))*v1)))*v2*exp(-0.27*ln(t))

end;

begin

k := 0; t0:=0.55; v10:=-0.005*0.005; v20:=0.00005*0.005;

u10:=u1(t0,v10,v20); u20:=u2(t0,v10,v20);

v1:=v10; v2:=v20; t:=t0; while t <=10000 do

begin

v1:= v1+ h * u1(t,v1,v2); v2:= v2+ h * u2(t,v1 ,v2 );

k:=k+1; if k = tt then

begin

writeln (‘t=’,t:4,’ ‘);

writeln (‘norma (V/V0)=’, sqrt(sqr(v1/v10)+sqr(v2/v20)):4,’ ‘,

‘norma (U/U0)=’, sqrt(sqr(U1(t,v1,v2)/U10)+sqr(U2(t,v1,v2)/U20)):4,’ ‘);

writeln ({‘v1/v10=’,v1/v10:4,’ ‘,}’INTEGRAL(v1/v10)=’, ln(abs(v1/v10)):4,’ ‘,

{‘u1/u10=’,u1(t,v1,v2)/u10:4,’ ‘,}’INTEGRAL(u1/u10)=’, ln(abs(u1(t,v1,v2)/u10)):4,’ ‘);

writeln ({‘v2/v20=’,v2/v20:4,’ ‘,}’INTEGRAL(v2/v20)=’, ln(abs(v2/v20)):4,’ ‘,

{‘u2/u20=’,u2(t,v1,v2)/u20:4,’ ‘,}’INTEGRAL(u2/u20)=’, ln(abs(u2(t,v1,v2)/u20)):4,’ ‘);

writeln;

k:=0 end;

t:=t+h;

end;

readln

end.

Результаты работы программы:

t= 1.0E+0003

norma (V/V0)= 2.3E-0155 norma (U/U0)= 6.5E-0157

INTEGRAL(v1/v10)=-3.6E+0002 INTEGRAL(u1/u10)=-3.6E+0002

INTEGRAL(v2/v20)=-4.2E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-4.2E+0002

t= 2.0E+0003

norma (V/V0)= 2.8E-0272 norma (U/U0)= 7.2E-0274

INTEGRAL(v1/v10)=-6.3E+0002 INTEGRAL(u1/u10)=-6.3E+0002

INTEGRAL(v2/v20)=-7.0E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-7.0E+0002

t= 3.0E+0003

norma (V/V0)= 1.2E-0378 norma (U/U0)= 2.9E-0380

INTEGRAL(v1/v10)=-8.7E+0002 INTEGRAL(u1/u10)=-8.7E+0002

INTEGRAL(v2/v20)=-9.4E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-9.5E+0002

t= 4.0E+0003

norma (V/V0)= 1.1E-0478 norma (U/U0)= 2.6E-0480

INTEGRAL(v1/v10)=-1.1E+0003 INTEGRAL(u1/u10)=-1.1E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-1.2E+0003 INTEGRAL(u2/u20)=-1.2E+0003

t= 5.0E+0003

norma (V/V0)= 3.0E-0574 norma (U/U0)= 6.4E-0576

INTEGRAL(v1/v10)=-1.3E+0003 INTEGRAL(u1/u10)=-1.3E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-1.4E+0003 INTEGRAL(u2/u20)=-1.4E+0003

t= 6.0E+0003

norma (V/V0)= 2.0E-0666 norma (U/U0)= 4.1E-0668

INTEGRAL(v1/v10)=-1.5E+0003 INTEGRAL(u1/u10)=-1.5E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-1.6E+0003 INTEGRAL(u2/u20)=-1.6E+0003

t= 7.0E+0003

norma (V/V0)= 7.1E-0756 norma (U/U0)= 1.4E-0757

INTEGRAL(v1/v10)=-1.7E+0003 INTEGRAL(u1/u10)=-1.7E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-1.8E+0003 INTEGRAL(u2/u20)=-1.8E+0003

t= 8.0E+0003

norma (V/V0)= 6.5E-0841 norma (U/U0)= 4.9E-0842

INTEGRAL(v1/v10)=-1.9E+0003 INTEGRAL(u1/u10)=-1.9E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-1.9E+0003 INTEGRAL(u2/u20)=-1.9E+0003

t= 9.0E+0003

norma (V/V0)= 2.0E-0916 norma (U/U0)= 1.5E-0917

INTEGRAL(v1/v10)=-2.1E+0003 INTEGRAL(u1/u10)=-2.1E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-2.1E+0003 INTEGRAL(u2/u20)=-2.1E+0003

Из распечатки видно, что обе выводимые нормы убывают к нулю на отрезке missing image file и одновременно интегралы убывают к missing image file. Полученные результаты указывают на признаки асимптотической устойчивости согласно (5), (6), а также согласно (7), (8). Кроме того, это согласуется с (62), (63), а также с (60), (61). Аналогичного вида признаки воспроизводятся в ненулевых точках любой не большей по диаметру окрестности (t0:=0.55; v10:=-0.005*0.005; v20:=0.00005*0.005;) нулевого начального вектора, а также на десятикратно удлиненном отрезке приближенного решения.

Если теперь в первом уравнении системы (66) произвести изменение, состоящее в замене missing image file на +1, и не производить никаких других изменений, то получится система

missing image file (67)

missing image file

с теми же начальными значениями. Для первого уравнения системы (67) выполнено неравенство missing image file.

Поэтому missing image file,

где missing image file.

По соответственной теореме сравнения [11, 12] точка покоя системы (67) неустойчива. Это ясно и непосредственно из теоремы 2 и (7): missing image file, где missing image file, отсюда missing image file, где missing image file.

Неустойчивость подтверждает программная реализация. В случае системы (67) в той же программе изменится только описание первой функции (исходная функция закомментирована):

function u1(t,v1,v2:extended):extended;

begin

u1:=-v1*exp(-0.18*ln(t)) + v1*exp(sqr(cos(exp(1/3*ln(sqr(v1*v2))))))

//u1:=-v1*exp(-0.18*ln(t))-1/sqr(t)*v1*exp(sqr(cos(exp(1/3*ln(sqr(v1*v2))))))

end;

function u2(t,v1,v2:extended):extended;

begin

u2:=-exp(sqr(sin(exp(1/7*ln(sqr(v1*v2))))))*

(1+ sqr(cos(exp(1/3*ln(sqr(v1)))*v2+exp(1/3*ln(sqr(v2)))*v1)))*v2*exp(-0.27*ln(t))

end;

Других изменений не будет, за исключением длины отрезка, который теперь задается как missing image file. Результаты работы измененной программы:

t= 1.0E+0003

norma (V/V0)= 3.7E+0339 norma (U/U0)= 1.6E+0339

INTEGRAL(v1/v10)= 7.8E+0002 INTEGRAL(u1/u10)= 7.8E+0002

INTEGRAL(v2/v20)=-3.8E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-3.8E+0002

t= 2.0E+0003

norma (V/V0)= 8.9E+0656 norma (U/U0)= 4.1E+0656

INTEGRAL(v1/v10)= 1.5E+0003 INTEGRAL(u1/u10)= 1.5E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-5.2E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-5.2E+0002

t= 3.0E+0003

norma (V/V0)= 7.5E+0984 norma (U/U0)= 3.6E+0984

INTEGRAL(v1/v10)= 2.3E+0003 INTEGRAL(u1/u10)= 2.3E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-6.4E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-6.4E+0002

t= 4.0E+0003

norma (V/V0)= 1.3E+1319 norma (U/U0)= 6.4E+1318

INTEGRAL(v1/v10)= 3.0E+0003 INTEGRAL(u1/u10)= 3.0E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-7.5E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-7.5E+0002

t= 5.0E+0003

norma (V/V0)= 6.6E+1657 norma (U/U0)= 3.2E+1657

INTEGRAL(v1/v10)= 3.8E+0003 INTEGRAL(u1/u10)= 3.8E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-8.5E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-8.6E+0002

t= 6.0E+0003

norma (V/V0)= 8.3E+1999 norma (U/U0)= 4.1E+1999

INTEGRAL(v1/v10)= 4.6E+0003 INTEGRAL(u1/u10)= 4.6E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-9.5E+0002 INTEGRAL(u2/u20)=-9.5E+0002

t= 7.0E+0003

norma (V/V0)= 5.7E+2344 norma (U/U0)= 2.8E+2344

INTEGRAL(v1/v10)= 5.4E+0003 INTEGRAL(u1/u10)= 5.4E+0003

INTEGRAL(v2/v20)=-1.0E+0003 INTEGRAL(u2/u20)=-1.0E+0003

Из распечатки видно, что обе выводимые нормы возрастают к missing image file на отрезке [0.55,7300] и одновременно возрастают к missing image file оба интеграла от компонентов первого уравнения: INTEGRAL(v1/v10), INTEGRAL(u1/u10). На отрезке большей длины, в частности на [0.55,10000], наступает переполнение. Результаты указывают на признак неустойчивости согласно (5), а также согласно (7). Это согласуется с (60), а также с (62). Аналогичный признак неустойчивости воспроизводится в ненулевых точках любой не большей по диаметру окрестности нулевого начального вектора.

Пусть рассматривается система

missing image file. (68)

Система (68) линейна с матрицей постоянных коэффициентов missing image file. Ее характеристический полином missing image file имеет два комплексно сопряженных корня – мнимые единицы с противоположным знаком: missing image file, поэтому система устойчива [3], но не асимптотически. Очевидный вывод подтверждает программная реализация. Для системы (68) в исходной программе изменится описание функций, других изменений не требуется:

function u1(t,v1,v2:extended):extended;

begin

u1:=v2

end;

function u2(t,v1,v2:extended):extended;

begin

u2:=-v1

end;

Результаты работы программы с данным изменением:

t= 1.0E+0003

norma (V/V0)= 8.3E+0001 norma (U/U0)= 8.3E+0001

INTEGRAL(v1/v10)=-5.9E-0001 INTEGRAL(u1/u10)= 4.4E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 4.4E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-5.9E-0001

t= 2.0E+0003

norma (V/V0)= 9.3E+0001 norma (U/U0)= 9.3E+0001

INTEGRAL(v1/v10)=-9.8E-0001 INTEGRAL(u1/u10)= 4.5E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 4.5E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-9.8E-0001

t= 3.0E+0003

norma (V/V0)= 2.1E+0001 norma (U/U0)= 2.1E+0001

INTEGRAL(v1/v10)=-2.2E-0002 INTEGRAL(u1/u10)= 3.0E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 3.0E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-2.2E-0002

t= 4.0E+0003

norma (V/V0)= 6.9E+0001 norma (U/U0)= 6.9E+0001

INTEGRAL(v1/v10)=-3.2E-0001 INTEGRAL(u1/u10)= 4.2E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 4.2E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-3.2E-0001

t= 5.0E+0003

norma (V/V0)= 9.9E+0001 norma (U/U0)= 9.9E+0001

INTEGRAL(v1/v10)=-1.8E+0000 INTEGRAL(u1/u10)= 4.6E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 4.6E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-1.8E+0000

t= 6.0E+0003

norma (V/V0)= 4.2E+0001 norma (U/U0)= 4.2E+0001

INTEGRAL(v1/v10)=-9.6E-0002 INTEGRAL(u1/u10)= 3.7E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 3.7E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-9.6E-0002

t= 7.0E+0003

norma (V/V0)= 5.2E+0001 norma (U/U0)= 5.2E+0001

INTEGRAL(v1/v10)=-1.5E-0001 INTEGRAL(u1/u10)= 3.9E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 3.9E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-1.5E-0001

t= 8.0E+0003

norma (V/V0)= 1.0E+0002 norma (U/U0)= 1.0E+0002

INTEGRAL(v1/v10)=-2.9E+0000 INTEGRAL(u1/u10)= 4.6E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 4.6E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-2.9E+0000

t= 9.0E+0003

norma (V/V0)= 6.1E+0001 norma (U/U0)= 6.1E+0001

INTEGRAL(v1/v10)=-2.3E-0001 INTEGRAL(u1/u10)= 4.1E+0000

INTEGRAL(v2/v20)= 4.1E+0000 INTEGRAL(u2/u20)=-2.3E-0001

Из распечатки видно, что обе рассматриваемые нормы не превосходят 9.3E+0001 (93) на всем отрезке [0.55,10000]. При этом оба интеграла не превосходят 4.6E+0000 (4.6). По всем рассматриваемым признакам система устойчива, тогда как признаков асимптотической устойчивости или неустойчивости в численном выражении не наблюдается.

Замечание 5. Как отмечалось, для линейных систем имеются необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости, которые не связаны с какими-либо начальными значениями, условия изложены и обоснованы в [8, 9]. Описание и примеры их применения приводятся в [11–13]. Результаты программной реализации данных условий, как правило, отличаются наглядностью. Так, для системы (68) в [11] приводятся следующие результаты работы программы:

1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000

1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000

………………………………………………………………………………….......

1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000

1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000 1.4E+0000

Эти данные соответствуют шагу missing image file метода Эйлера и выполнению 75 итераций, которые в приближении к асимптотике достигают значения missing image file. На всем отрезке missing image file округленное значение эвклидовой нормы матрицы missing image file, где E – единичная матрица, при каждом значении k не превосходит значения 1.4, что указывает на неасимтотическую устойчивость системы [11].

Замечание 6. В [13] приводится программно реализованное преобразование анализа устойчивости любого ненулевого решения дифференциальной системы к анализу устойчивости точки покоя преобразованной системы. Программная реализация тривиальна, поэтому относительно нее выше не сделано специальных оговорок.

О границах эквивалентности необходимых и достаточных условий устойчивости. Относительно эквивалентности теорем 1 и 2 необходимо отметить следующее. Эти две теоремы эквивалентны только в условиях теоремы 2, которые включают существование и единственность решения задачи Коши (1), но помимо того ещё ограничения (2) и (3). Без этих ограничений теорема 2 не вытекает из преобразований метода Эйлера (11), (12), а затем последующих преобразований, в числе которых (19) и (20)–(31). В то же время теорема 1 допускает принципиально более широкие условия [12], достаточность соотношений (5) имеет место непосредственно в условиях существования решения. В самом деле, если missing image file, такое, что для missing image file верно неравенство

missing image file

missing image file,

то в той же Δ1-окрестности missing image file, и для missing image file выполнено missing image file missing image file, лишь только missing image file. Отсюда missing image file, где missing image file, влечет missing image file. Таким образом, выполнение соотношения (5) является общим достаточным условием устойчивости, не использующим ограничения теоремы 2.

Что касается необходимости условий теоремы 1, то она обосновывается только (другого решения не найдено) исходя из преобразований метода Эйлера (11)–(13), это совпадает с необходимостью условий теоремы 2: соотношения (11)–(13) лежат в основе выполнения соотношений (20)–(31), с помощью которых выводится теорема 2. Более точно, если решение системы (1) устойчиво, то оно отличается от возмущенного решения согласно (12), (13), а это тогда и только тогда, когда верно (14). В свою очередь, корректность построения левой части этого неравенства целиком определяется условиями теоремы 2, которые вытекают из мультипликативных преобразований метода Эйлера. Таким образом, необходимые условия теорем 1 и 2 совпадают, тогда как достаточные условия теоремы 1 фактически выходят за рамки формальных ограничений этой теоремы.

Эквивалентность теорем 2 и 8 имеет место в еще более узких условиях, чем условия теоремы 2: она имеет место при выполнении всех ограничений теоремы 2, а также при дополнительных ограничениях теоремы 8, в частности при выполнении условий (33), (34) и (59). Условия эквивалентности теоремы 8 и следствия 9 можно разграничить подобно тому, как разграничивается эквивалентность теоремы 2 и теоремы 1.

Таким образом, речь об эквивалентности предложенных разновидностей необходимых и достаточных условий устойчивости может идти только при конкретном указании всех используемых ограничений. Различие ограничений существенно. Так, условия теоремы 2, взятые в форме соотношений (31), (32), наглядно исключают случаи смены знака компонентов решений системы (1) – в этих случаях компоненты решения пересекают полуось, поэтому логарифмы от их модуля в (31), (32) не существуют.

В противоположность теореме 2 ограничений на знак компонента решения соотношения (5), (6) теоремы 1 не требуют, их выполнение представляет собой самые общие достаточные условия устойчивости, в частности, для компьютерной реализации. Выполнение этих же соотношений является необходимым лишь при отмечавшихся ограничениях, заимствованных из теоремы 2.

Можно отметить, что предложенные необходимые и достаточные условия устойчивости сохраняют отличие от условий устойчивости известных методов [1–3], представляющих по преимуществу достаточные условия устойчивости, и, аналогично, от условий методов, основанных на компьютерных технологиях [17, 18].

Заключение

В работе построены критерии устойчивости по Ляпунову на основе метода Эйлера приближенного решения ОДУ. Сформулированы необходимые и достаточные условия устойчивости, которые дают возможность численного моделирования устойчивости по ходу решения задачи Коши для ОДУ. Описаны разновидности необходимых и достаточных условий устойчивости, их взаимосвязи и различия, определены формальные ограничения, при которых они корректны, указаны классы дифференциальных систем для их применения. Представлено обоснование предложенных критериев, показана их конструктивность, выполнены численные эксперименты, подтверждающие их достоверность, детализированы способы и особенности программной реализации. Помимо того, получены формализованные оценки устойчивости на основе знаков компонентов решения и двух их производных. Построение оценок опирается на компоненты функции правой части дифференциальной системы и их производные, обоснование оценок, как правило, использует интегральную форму необходимых и достаточных условий устойчивости.


Библиографическая ссылка

Ромм Я.Е. О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ // Современные наукоемкие технологии. – 2022. – № 2. – С. 92-109;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=39043 (дата обращения: 21.03.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.685