Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЗНАКАМ КОМПОНЕНТОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ И ИХ ДВУХ ПРОИЗВОДНЫХ

Ромм Я.Е. 1
1 Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)»
Предложен компьютерно-ориентированный метод анализа устойчивости в смысле Ляпунова решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), который выполняется по сочетаниям знаков числовых значений компонентов решения и их производных. Даны необходимые и достаточные условия устойчивости, а также асимптотической устойчивости в инвариантной форме, выражающие отношения компонентов решения к компонентам начальных значений, изложено их обоснование. Описаны эквивалентные критерии устойчивости и асимптотической устойчивости, представляющие собой интегральное обобщение условий для случаев произвольного сочетания и чередования знаков компонентов решения и производных. Изложены разновидности достаточных условий устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости решений на основе знаков компонентов правой части системы ОДУ и их производных, в том числе в интегральной форме, даны примеры аналитического использования. В целом предложенные критерии позволяют оценивать устойчивость решения по виду компонентов правой части системы и их производных без знания самого решения. В случае компьютерной реализации критериев это не принципиально, поскольку вычисляется приближенное решение системы. Производные правой части априори выражаются аналитически по формулам производной сложной функции, по ходу приближенного решения выполняется подстановка значений решения в выражения производных. Представлена инвариантная программная реализация критериев на основе разностного решения системы ОДУ по методу Эйлера. Даны программные коды и описаны численные эксперименты, которые иллюстрируют особенности результатов работы программ и достоверность предложенных критериев устойчивости.
критерии устойчивости по Ляпунову
компьютерный анализ устойчивости
численное моделирование устойчивости на основе метода Эйлера
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
знаки решения и его производных
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во «Науку – всем», 2019. 480 с.
2. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 376 с.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2010. 558 с.
4. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория автоматического управления. М.: ЛЕНАНД, 2019. 500 с.
5. Новиков М.А. О вычислительных способах достаточных условий устойчивости автономных консервативных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 1 (41). С. 28–36.
6. Giesl P.A., Hafstein S.F. Computation of Lyapunov functions for nonlinear discrete time systems by linear programming // J. Difference Equ. Appl. 2014. 20. P. 610–640.
7. Giesl P.A., Hafstein S.F. Revised CPA method to compute Lyapunov functions for nonlinear systems // J. of Math. Anal. And Appl. February 2014. Vol. 410. Issue 1. P. 292–306.
8. Giesl P.A., Hafstein S.F. Review on computational methods for Lyapunov functions // Discrete & Continuous Dynamical Systems. B. 2015. 20 (8). P. 2291–2331.
9. Ромм Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости решений дифференциальных систем // Современные наукоемкие технологии. № 4. 2020. С. 42–63. DOI: 10.17513/snt.37973.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. СПб.: Изд-во «Лань», 2018. 608 с.
11. Крищенко А.П. Устойчивость движения автономных систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 44 с.
12. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН. Математическое моделирование. 2008. Т. 20. № 12. С. 105–118.
13. Ромм Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости на основе рекуррентных преобразований разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2015. Т. 51. № 3. С. 107–124.
14. Пиголкина Т.С. Автономные системы. Фазовые траектории. Элементы теории устойчивости. М.: Издво МФТИ, 2013. 40 с.
15. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Численное моделирование устойчивости по Ляпунову // Современные наукоемкие технологии. 2021. № 7. С. 42–60. DOI: 10.17513/snt.38752.
16. Джанунц Г.А., Ромм Я.Е. Варьируемое кусочно-интерполяционное решение задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений с итерационным уточнением // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57. № 10. С.

Постановка вопроса

Математические методы анализа устойчивости в смысле Ляпунова (кратко – устойчивости) решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) системно изложены в [1, 2], для класса линейных уравнений – в [3], широко представлены в ряде других классических изданий, их основные применения в теории автоматического управления описаны в [4]. Исследования устойчивости актуальны во многих областях науки, техники и технологии, их незавершенность можно отметить в двух аспектах. Во-первых, известные методы не предлагают универсального анализа устойчивости для различных классов ОДУ. Во-вторых, эти методы, как правило, дают аналитические критерии, непосредственно не предназначенные для численного моделирования и компьютеризации анализа устойчивости. В то же время компьютеризация важна как инструментальное средство для теоретических исследований, для численного и математического моделирования процессов, требующих оценки устойчивости, для решения задач автоматизации управления. Наиболее общие математические методы анализа устойчивости носят характер теорем существования, тогда как для программирования необходима конструктивная форма алгоритмов. Исследования в аспекте алгоритмизации отражены, в частности, в [5, 6], на основе вычисления функций Ляпунова – в [7, 8], однако эти методы не отличает инвариантность относительно класса ОДУ. В излагаемой работе ставится задача представить методы анализа устойчивости, пригодные для компьютерной реализации. Подход основан на инвариантном преобразовании вектор-функции правой части дифференциальной системы, для выполнения которого априори вычисляются производные компонентов по формулам производных сложных функций. Сочетания комбинаций знаков решения и производных позволяет идентифицировать характер устойчивости. Для обоснования подхода необходимо определить условия, при которых асимптотическое стремление к нулю правой части системы влечет сколь угодно малое отклонение решения от нуля либо непосредственное его стремление к нулю. Без искомых условий аналогичные признаки устойчивости [9], представленные для случая автономных систем, не получают корректного обоснования. Как результат исследования предполагается изложить инвариантные формы необходимых и достаточных условий устойчивости на основе знаков решения системы и его двух первых производных, осуществить компьютерную реализацию метода, выполнить численные эксперименты, дать их подробное описание.

Цель исследования

Ставится цель разработать и исследовать компьютерно-ориентированный метод анализа устойчивости решения системы ОДУ по сочетаниям знаков компонентов решения и их производных. Требуется сформулировать и обосновать необходимые и достаточные условия устойчивости, а также асимптотической устойчивости в инвариантной форме, разработать алгоритмизацию и программную реализацию метода на основе приближенного решения системы. Необходимо выполнить численный эксперимент, представить коды программ, дать описание результатов их работы, детально сопоставить данные численного моделирования с аналитическими условиями устойчивости.

Исходные положения

Пусть рассматривается задача Коши для системы ОДУ, имеющей нулевое решение missing image file (точку покоя),

missing image file, (1)

где missing image file, missing image file, missing image file. Пусть требуется исследовать устойчивость точки покоя системы (1). Ниже возмущение missing image file нулевого решения не будет отмечаться специальным знаком. Используются канонические согласованные нормы матрицы и вектора, по умолчанию missing image file,
в численных экспериментах применяется эвклидова норма missing image file. Относительно (1) предполагается, что существует δ0 > 0, такое, что все условия существования и единственности выполнены для решения и для каждого его возмущения в области missing image file, missing image file, предполагается, что в этой области вектор-функция U(t, V) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица

missing image file. (2)

В данных условиях точка покоя устойчива, если missing image file найдется missing image file, такое, что missing image file влечет missing image file. Точка покоя асимптотически устойчива, если она устойчива и найдется missing image file, такое, что из неравенства missing image file следует missing image file.
Условия существования и единственности ниже предполагаются выполненными во всех рассматриваемых случаях, кроме того, наряду с существованием и непрерывностью первой производной missing image file предполагается существование и непрерывность в R0 второй производной решения missing image file. Эквивалентны обозначения производных missing image file,
missing image file. Производная каждого компонента правой части (1) аналитически определяется по формуле полной производной сложной функции [10] missing image file, или

missing image file. (3)

При оценках асимптотической устойчивости, если missing image file, необходимо указывать, при каких условиях missing image file, кратко

missing image file. (4)

В [1] аналог (4) используется как очевидное свойство функции Ляпунова, построенной для системы общего вида в рамках теоретико-множественных и пространственно-топологических ограничений, аналогично в [11] – для автономной системы. Для системы (1) условие (4) иногда наглядно, в частности, заведомо выполнено для линейных однородных систем. Однако в общем случае это соотношение требует обоснования и дополнительных ограничений. Ниже (4) записывается по компонентам: missing image file missing image file влечет missing image file missing image file. При оценках неасимптотической устойчивости потребуется аналог (4) с условием достаточной малости ненулевого решения. В дальнейшем всюду, где используется знак нестрогого неравенства относительно vk(t), missing image file, missing image file, предполагается, что решения системы (1) исключают каждый из случаев, когда missing image file,
а также missing image file и missing image file. Иначе знак missing image file можно было бы толковать в обе противоположные стороны, как и знак missing image file. Для краткости используются обозначения missing image file, missing image file missing image file, и иногда missing image file, missing image file, missing image file.

Условия устойчивости точки покоя системы ОДУ

Имеют место следующие достаточно наглядные утверждения.

Лемма 1. Если missing image file, такое, что missing image file, missing image file верны неравенства missing image file, missing image file missing image file, то точка покоя системы (1) устойчива, кроме того missing image file, missing image file.

Доказательство. Пусть missing image file, missing image file произвольно зафиксировано k = const и выбрано missing image file. Функция vk(t) не возрастает (missing image file),
поэтому missing image file missing image file. Отсюда missing image file при выборе missing image file выполнено неравенство missing image file missing image file. С учетом произвольности выбора k это означает устойчивость точки покоя. Невозрастающая функция missing image file ограничена снизу, поэтому [10] missing image filemissing image file. Лемма доказана.

Аналогично доказывается

Лемма 2. Если missing image file, такое, что missing image file, missing image file верны неравенства missing image file, missing image filemissing image file, то точка покоя системы (1) устойчива, кроме того missing image file, missing image file.

Если для некоторых missing image file выполнены условия леммы 1, а для всех остальных missing image file, missing image file – условия леммы 2, то утверждения обеих лемм обобщает

Предложение 1. Если missing image file, такое, что missing image file, missing image file выполняется, не чередуясь при значении k = const, одна из пар неравенств missing image file, missing image file или missing image file,
missing image file missing image file, то точка покоя системы (1) устойчива и missing image file,
missing image file.

Имеет место

Предложение 2. Если missing image file, такое, что missing image file, missing image file, missing image file выполняется, возможно, чередуясь при значении k = const, либо пара неравенств missing image file, missing image file, либо missing image file, missing image file, то точка покоя системы (1) устойчива и missing image filemissing image file.

Доказательство. Пусть missing image file, missing image file произвольно зафиксировано missing image file и выбрано missing image file. При выполнении любого сочетания пар неравенств функция missing image file с начальными значениями из missing image file-окрестности нуля не возрастает, поэтому missing image file missing image file. Отсюда missing image file, при выборе missing image file выполнено missing image file missing image file. С учетом произвольности выбора k это означает устойчивость точки покоя. Невозрастающая функция missing image file ограничена снизу, поэтому missing image filemissing image file. Лемма доказана.

Относительно бесконечного чередования пар неравенств при k = const формулируется

Теорема 1. Если missing image file, такое, что missing image file, missing image file, missing image file выполняется, бесконечно чередуясь при каждом значении k = const, либо пара неравенств missing image file, missing image file, либо missing image file, missing image file, то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

Доказательство. Поскольку выполнены условия предложения 2, точка покоя системы (1) устойчива. Кроме того missing image file,missing image file missing image file. Если предположить, что missing image file при некотором k = const, то можно взять последовательность точек missing image file, в каждой из которых missing image file: все такие точки существуют по непрерывности функции vk(t) и бесконечного чередования ее знака. Для взятой последовательности missing image file, что противоречит предположению missing image file. Предположение неверно, отсюда missing image file, или missing image file missing image file. Следовательно, missing image file missing image file, что означает асимптотическую устойчивость точки покоя. Теорема доказана.

Замечание 1. Как видно из доказательства, утверждение теоремы сохраняется в случае, когда бесконечное чередование пар неравенств при каждом missing image file происходит не периодически, но с переменным интервалом времени. Для доказательства требуется только, чтобы чередование на полуоси было бесконечным.

Следствие 1. Пусть точка покоя системы (1) устойчива. Пусть missing image file, такое, что missing image file, missing image file, missing image file выполняется, бесконечно чередуясь при каждом k = const, либо пара неравенств missing image file, missing image file, либо missing image file, missing image file, причем в промежутке между чередованием эти неравенства могут меняться произвольно. Тогда, если missing image file missing image file, то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

Доказательство. Существующий по условию предел missing image file не может быть ненулевым вследствие существования последовательности точек missing image file, в каждой из которых missing image file. Поэтому missing image file, missing image file, выполнено missing image file, и точка покоя системы (1) асимптотически устойчива. Следствие доказано.

Ниже приводятся леммы об асимптотической устойчивости точки покоя в зависимости от асимптотики правой части системы.

Лемма 3. Пусть выполнены условия предложения 2. Если missing image file,
такое, что missing image file, missing image file missing image file, и кроме того missing image file, то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

Доказательство. Поскольку выполнены условия предложения 2, точка покоя устойчива. Пусть missing image file, missing image file произвольно выбраны missing image file, missing image file.
Вследствие того, что missing image file, начиная с некоторого missing image file, missing image file выполняется, не чередуясь (при данном k = const), только одна из пар неравенств: missing image file, missing image file или missing image file, missing image file. Пусть рассматривается случай missing image file, missing image file missing image file. По условию missing image file. Если предположить, что missing image file,
то missing image file, такое, что, начиная с некоторого missing image file, будет верно неравенство missing image file. Тогда missing image file, где missing image file,
и missing image file, если missing image file. Отсюда missing image file при missing image file. Радиус missing image file из условия предложения 2 можно считать достаточно малым, чтобы полученное соотношение противоречило устойчивости точки покоя. Предположение неверно, поэтому missing image file. С учетом этого предела из соотношения missing image file, следует, что missing image file, и порядок малости vk(t) не ниже порядка малости uk(t). Следовательно, missing image file, если missing image file. Аналогично рассматривается случай missing image file, missing image file missing image file.
Ввиду произвольности выбора missing image file и missing image file отсюда следует missing image file missing image file, и точка покоя асимптотически устойчива. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть missing image file, такое, что missing image file, missing image file выполняется, возможно, чередуясь при k = const, либо пара неравенств missing image file, missing image file, либо missing image file,
missing image file missing image file. Точка покоя системы (1) асимптотически устойчива, если чередование этих неравенств бесконечно при каждом missing image file, или если missing image file,
такое, что missing image file, missing image file missing image file, и, кроме того, missing image file.

Доказательство. Поскольку выполнены условия предложения 2, точка покоя системы (1) устойчива. Если при каждом k = const чередование неравенств бесконечно, то асимптотическая устойчивость точки покоя следует из теоремы 1. Если missing image file,
и missing image file missing image file, missing image file, то асимптотическая устойчивость следует из леммы 3. Лемма доказана.

Непосредственно ниже представлены условия неустойчивости точки покоя.

Предложение 3. Если missing image file missing image file, missing image file, при которых missing image file,
missing image file, то точка покоя системы (1) неустойчива.

Доказательство. Пусть возмущение точки покоя системы (1) рассматривается в случае missing image file. Тогда missing image file, такое, что, начиная с некоторого missing image file,
будет верно неравенство missing image file. Отсюда missing image file, где missing image file, и missing image file при missing image file. Поэтому missing image file,
если missing image file. Радиус Δ можно считать достаточно малым, чтобы это было невозможно, если точка покоя устойчива. Следовательно, в данном случае точка покоя неустойчива. Аналогично, в случае missing image file. Рассмотренные соотношения в неравенствах только усилятся, если missing image file, и в этих случаях точка покоя неустойчива. Предложение доказано.

Следствие 2. Если missing image file missing image file, missing image file, при которых missing image file,
missing image file, то точка покоя системы (1) неустойчива. Необходимым условием устойчивости точки покоя является: либо missing image file, такое, что missing image file, missing image file missing image file,
либо в любой произвольно малой окрестности нулевого начального вектора найдется решение и такие значения missing image file, что для k-х компонентов предел missing image file не существует, а для остальных компонентов он равен нулю.

Доказательство разбивается на два случая. Первый – когда, начиная с некоторого missing image file, будет выполняться одно неравенство, для определенности missing image file (случай missing image file рассматривается аналогично). В этом случае повторяются рассуждения из доказательства предложения 3. Второй – когда uk(t) бесконечно чередует смену знака на противоположный при missing image file. Но второй случай в данных условиях невозможен, поскольку нашлась бы последовательность точек missing image file, в каждой из которых missing image file, следовательно, missing image file, что противоречит условию missing image file. Необходимое условие устойчивости является отрицанием данного достаточного условия неустойчивости. Следствие доказано.

Замечание 2. Для асимптотической устойчивости точки покоя системы (1) необходимость missing image file missing image file в соответствующей missing image file-окрестности следует из (2).

В самом деле, по определению асимптотической устойчивости точки покоя missing image file,
такое, что missing image file выполнено missing image file, если missing image file. В случае, когда в (2) сравниваются нулевое решение и его возмущение, с учетом missing image file (производная от постоянной функции missing image file равна нулю) условие Липшица примет вид missing image file. В рассматриваемой missing image file-окрестности предельный переход в неравенстве влечет missing image file, если missing image file.

Имеет место

Предложение 4. Если для системы (1) missing image file missing image file: missing image file, missing image file, missing image file,
такие, что неравенства missing image file, missing image file выполнены missing image file, то точка покоя системы не является асимптотически устойчивой. Аналогично, если missing image file выполнено missing image file,
missing image file.

Доказательство. Пусть в условиях предложения missing image file, missing image file missing image file. Какова бы ни была Δ1-окрестность нулевого начального вектора, функция vk(t) возрастает. Если vk(t) ограничена, то missing image file, если vk(t) не ограничена, то missing image file, тогда как для асимптотической устойчивости необходимо существование missing image file-окрестности нулевого начального вектора, при любом начальном векторе внутри которой missing image file. Аналогично рассматривается случай missing image file, missing image file missing image file. Предложение доказано.

Следствие 3. Утверждение предложения 4 сохраняется, если в тех же условиях выполнено либо missing image file, missing image file missing image file, либо missing image file, missing image file missing image file.

Доказательство аналогично предыдущему.

Предложение 5. Если для системы (1) missing image file: missing image file, missing image file, missing image file,
такие, что неравенства missing image file, missing image file выполнены missing image file, то точка покоя неустойчива. Аналогично, если missing image file выполнены неравенства missing image file, missing image file.

Доказательство. Пусть рассматривается случай, когда missing image file выполнены неравенства missing image file, missing image file. Аналогично тому, как показано в доказательстве предложения 3, в этом случае missing image file, и в силу этого предложения точка покоя системы (1) неустойчива. Аналогично, если missing image file выполнено missing image file, missing image file. Предложение доказано.

Следствие 4. Если для системы (1) missing image file: missing image file, missing image file, missing image file, такие, что missing image file выполняется либо пара неравенств missing image file, missing image file, либо missing image file, missing image file, то точка покоя системы неустойчива.

Доказательство. Пусть рассматривается случай, когда missing image file выполнены неравенства missing image file, missing image file. Если uk(t) ограничена, то с учетом строгого возрастания этой функции missing image file. Если uk(t) не ограничена, то missing image file. В обоих случаях точка покоя неустойчива по следствию 2. Аналогично, если missing image file, missing image file. Следствие доказано.

Необходимость бесконечного числа совпадений знаков компонентов решения и компонентов его второй производной в случае асимптотической устойчивости точки покоя доказывает

Предложение 6. Пусть точка покоя системы (1) асимптотически устойчива. Тогда, если missing image file, missing image file, такие, что missing image file выполняются неравенства missing image file,
missing image file missing image file, missing image file, то missing image file, при котором vk(t) бесконечное число раз принимает значение missing image file в точках полуоси missing image file. Если в тех же условиях выполняются неравенства missing image file, missing image file, то missing image file, при котором vk(t) бесконечное число раз принимает значение missing image file в точках полуоси missing image file. Если в случае выполнения любой из пар неравенств missing image filemissing image file, то missing image file missing image file, missing image file.

Доказательство. Пусть в условиях предложения рассматривается случай missing image file,
missing image file, missing image file. Если бы выполнялось missing image filemissing image file, то в силу missing image file функция vk(t), будучи строго возрастающей, имела бы конечный или бесконечный предел: missing image file. Но это исключало бы существование missing image file-окрестности (missing image file) нулевого начального вектора, при любых начальных значениях внутри которой должно выполняться missing image filemissing image file, что необходимо для асимптотической устойчивости. Отсюда в рассматриваемом случае существует missing image file, такое, что vk(t) бесконечное число раз принимает значение missing image file в точках missing image file. Если missing image filemissing image file, то по-прежнему не может выполняться missing image file, и vk(t) сохраняет знак missing image file. Отсюда missing image file missing image file,
где missing image file. Случай missing image file, missing image file рассматривается аналогично. Предложение доказано.

Имеет место

Теорема 2. Пусть точка покоя системы (1) устойчива. Тогда, если missing image file, такое, что missing image file, missing image file, missing image file выполняется, возможно чередуясь при k = const, пара неравенств missing image file, missing image file или missing image file, missing image file, и кроме того missing image file, то точка покоя системы асимптотически устойчива. Утверждение сохраняется, если в тех же условиях выполняется пара неравенств missing image file, missing image file или missing image file, missing image file.

Доказательство. Пусть произвольно зафиксировано missing image file и выбрано missing image file, такое, что missing image file, missing image file или missing image file, missing image file missing image file. При выполнении любой данной пары неравенств функция missing image file является строго убывающей и ограниченной снизу. Поэтому missing image file. Если предположить, что missing image file,
то это ведет к противоречию. В самом деле, поскольку missing image file missing image file,
то, начиная с некоторого missing image file, missing image file выполняется, не чередуясь при k = const, одна и только одна из пар неравенств: missing image file, missing image file или missing image file, missing image file. Иначе можно было бы взять последовательность точек missing image file, в каждой из которых missing image file (последовательность missing image file в этом случае существовала бы вследствие непрерывности функции uk(t) и бесконечной чередуемости ее знака), так что missing image file, что противоречило бы предположению missing image file. Тем самым missing image file, такое, что знак числителя неизменен missing image file. При стремящейся к отрицательному пределу дроби это влечет противоположный знак знаменателя. В случае, когда для некоторого missing image file выполнены неравенства missing image file, missing image file missing image file, с учетом missing image file (в данном случае missing image file), missing image file, такое, что, начиная с некоторого missing image file, будет верно неравенство missing image file. Тогда missing image file, где missing image file, и missing image file, если missing image file. Но это невозможно, поскольку missing image file missing image file (кроме того, missing image file можно считать достаточно малым, чтобы это противоречило устойчивости точки покоя). Случай missing image file, missing image file missing image file, рассматривается аналогично. В результате предположение missing image file неверно. Следовательно, missing image file. Таким образом, с учетом произвольности выбора missing image file выполнено missing image file missing image file, но тогда и missing image file missing image file. Отсюда, как и раньше (доказательство леммы 3), соотношение missing image file missing image file, влечет missing image file, поэтому точка покоя системы (1) асимптотически устойчива. Теорема доказана.

Из доказательств теоремы 2 и леммы 3 с учетом предложения 2 выводится

Следствие 5. Пусть missing image file, такое, что missing image file, missing image file, при каждом missing image file знаки функций vk(t), uk(t), missing image file постоянны missing image file. Тогда для асимптотической устойчивости точки покоя системы (1) необходимо, чтобы missing image file, такое, что missing image file, missing image file, missing image file, выполнялись тройки неравенств либо missing image file, missing image file, missing image file, либо missing image file, missing image file, missing image file, и, как следствие – неравенства missing image file, missing image file. Если кроме того missing image file, то все эти условия являются достаточными для асимптотической устойчивости точки покоя.

В самом деле, в условиях постоянства знаков vk(t), uk(t), missing image file любое нарушение тройки неравенств влечет либо missing image file, либо missing image file, что исключает асимптотическую устойчивость точки покоя. Напротив, выполнение любой из данных троек неравенств по предложению 2 означает устойчивость, кроме того, влечет, как явствует из доказательства теоремы 2, missing image file. При условии missing image file, отсюда следует, как показано в доказательстве леммы 3, missing image file и missing image file, что означает асимптотическую устойчивость точки покоя.

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости, выраженные через функции правой части системы (1), включают следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть точка покоя системы (1) устойчива и missing image file, такое, что missing image file, missing image file, missing image file выполняются пары неравенств missing image file, missing image file или missing image file, missing image file, и кроме того missing image file: missing image filemissing image file. Тогда для асимптотической устойчивости точки покоя необходимо, чтобы missing image file: missing image file missing image file.
Если в этих же условиях missing image file: missing image filemissing image file и missing image filemissing image file, то необходимым условием асимптотической устойчивости является missing image file,missing image file, достаточным условием асимптотической устойчивости является выполнение одновременно двух соотношений: missing image file и missing image file,missing image file.

Доказательство вытекает из следствия 2, предложения 6, теоремы 2 и ее доказательства, согласно которому missing image file, по следствию 2 этот предел не может быть ненулевым. Если дополнительно missing image file missing image file, то с учетом определения асимптотической устойчивости выполнены условия применения правила Лопиталя, отсюда missing image file missing image file. Для доказательства необходимых условий остается применить утверждение предложения 6, для достаточного условия – утверждение теоремы 2. Теорема доказана.

Следствие 6. Если соотношение missing image file missing image file включить в условия теоремы 3, то устойчивость последует из предложения 2, ее предположение в условиях теоремы станет излишним, остальные утверждения не изменятся.

Интегральные условия устойчивости точки покоя. В [9, 12, 13] предложены и обоснованы следующие критерии устойчивости и асимптотической устойчивости точки покоя в изложенных в начале статьи условиях.

Теорема 4. В рассматриваемых условиях для устойчивости точки покоя системы (1) необходимо и достаточно существование missing image file, такого, что missing image file выполняется неравенство

missing image file. (5)

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file. (6)

В (6) деление на missing image file излишне. Однако именно в такой форме информация вводится в компьютер, когда априори неизвестен характер устойчивости точки покоя. В дальнейшем это делается в описании численного эксперимента. Поэтому форма (6) сохраняется ниже для соответствия компьютерному анализу.

Критерии теоремы 4 эквивалентны приводимым ниже критериям в интегральной форме.

Теорема 5. В рассматриваемых условиях для устойчивости точки покоя системы (1) необходимо и достаточно существование missing image file, такого, что missing image file выполняется неравенство

missing image file. (7)

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file missing image file. (8)

Обращение в ноль значений знаменателя подынтегральной функции приводит лишь к устранимым особенностям [9], поэтому не влечет некорректности интегрирования. В случае автономных систем знаменатель вообще не обращается в ноль, поскольку различные решения не имеют общих точек [14]. В [13] показано, что теорема 5 следует из теоремы 4. Ниже выполняется обратный вывод, в результате теорема 5 эквивалентна теореме 4. Именно, интеграл в левых частях (7), (8) имеет первообразную: согласно (1) числитель подынтегральной функции есть производная знаменателя, поэтому missing image file, и missing image file, missing image file, или, missing image file. Отсюда выполнение (7) равносильно выполнению соотношения

missing image file, (9)

что имеет место тогда и только тогда, когда

missing image file. (10)

Таким образом, (5) эквивалентно (7) при missing image file. Аналогично, (8) эквивалентно

missing image filemissing image file, (11)

что возможно тогда и только тогда, когда

missing image file. (12)

В итоге (6) эквивалентно (8).

Теорема 5 обобщает рассмотренные отношения знаков решения и производных в качестве условий устойчивости. Так, частный случай условий (7), достаточный для устойчивости точки покоя, заключается в том, что missing image file, такое, что missing image file выполняется

missing image file, missing image file. (13)

Условие (13) с некоторыми оговорками равносильно объединению условий лемм 1, 2. Частный случай условий (8), достаточный для асимптотической устойчивости точки покоя – missing image file, такое, что missing image file верно неравенство

missing image file,missing image file. (14)

Условие (14) используется в формулировках теорем 2, 3 и следствия 5. Частный случай условия неустойчивости точки покоя – missing image filemissing image file, missing image file,missing image file:
missing image file, такие, что

missing image file. (15)

Условие (15) отчасти используется в предложении 4 и следствии 3.

Замечание 3. Теорема 5 включает не только достаточные, но и необходимые условия, как устойчивости, так и асимптотической устойчивости, представляет собой интегральное обобщение предшествующих утверждений на случай произвольного сочетания и чередования знаков решения и производной. В неявной форме теорема включает содержание всех этих утверждений.

Следствие 7. Если missing image file, такое, что missing image file функции vk(t) и uk(t) сохраняют знак missing image file, при этом выполняются неравенства либо missing image file, missing image file, либо missing image file, missing image file missing image file, missing image file, и, кроме того, missing image file, missing image file, то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

Доказательство. Поскольку выполнены условия предложения 2, точка покоя устойчива. В условиях следствия missing image file missing image file, такое, что, начиная с некоторого missing image file, будет верно неравенство missing image file, missing image file. Кроме того missing image file missing image file, missing image file. Согласно теореме Вейерштрасса missing image file. Отсюда missing image file, missing image file, где missing image file, что влечет (8). Следствие доказано.

Аналогичную (7)–(12) схему преобразований можно применить к отношению missing image file, здесь и ниже предполагается missing image file. В результате получится аналог теоремы 5, который не будет использовать выражения компонентов решения vk(t). Очевидно, missing image file, missing image file, или, missing image file. Аналогично (9), (10) и (11), (12), если выполняется

missing image file, (16)

что равносильно missing image file, то тогда и только тогда, когда missing image file. И если выполняется

missing image file,

что равносильно missing image file, то в том и только в том случае, когда

missing image file. (17)

Эквивалентное (7) условие (5) будет выполняться вследствие выполнения (16), если missing image file, такое, что missing image file будет обеспечиваться неравенство

missing image filemissing image file. (18)

Частным случаем условия (18) является неравенство, верное missing image file:

missing image filemissing image file. (19)

Имеет место

Теорема 6. При выполнении любого из соотношений (18), (19) для устойчивости точки покоя системы (1) достаточно существование missing image file, такого, что missing image file выполняется неравенство

missing image file. (20)

Для асимптотической устойчивости точки покоя достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file missing image file. (21)

Доказательство следует из того, что при выполнении любого из условий (18), (19) соотношение (7) – необходимое следствие (20), соотношение (8) – следствие (21).

Как и в случае теорем 4, 5, теорема 6 эквивалентна следующей теореме.

Теорема 7. При выполнении любого из условий (18), (19) для устойчивости точки покоя системы (1) достаточно существование missing image file, такого, что missing image file выполняется неравенство

missing image file. (22)

Для асимптотической устойчивости достаточно, чтобы решение было устойчиво и существовало missing image file, такое, что missing image file влечет

missing image file. (23)

Следствие 8. Если выполнены условия теоремы 7, то из (23), в эквивалентной форме missing image file, следует (12), что эквивалентно missing image file.

Замечание 4. В (23) и в (17) можно не использовать деление на missing image file, как и в (6), (11), (12) не использовать деление на missing image file, и можно убрать знак абсолютной величины. Формы (17), (23) используются при вводе-выводе данных в компьютерной реализации метода.

Следствие 9. Пусть для системы (1) missing image file, такое, что missing image file функции uk(t) и missing image file сохраняют знак missing image file, при этом выполняются неравенства либо missing image file, missing image file, либо missing image file, missing image file missing image file, missing image file, и кроме того missing image file. Тогда точка покоя системы асимптотически устойчива, если выполняется любое одно из двух условий

1) missing image file и missing image file missing image file,

2) missing image file и missing image file missing image file, missing image file.

Доказательство. В первом случае предел существует, поскольку по условию missing image file,
а предел знакопостоянной функции uk(t) существует вследствие монотонного убывания missing image file. Достаточно повторить часть рассуждений доказательства следствия 7,
в силу которых missing image file, missing image file, где missing image file. С учетом условия missing image file это влечет (7), и точка покоя устойчива. Очевидно, это влечет также (8), что означает ее асимптотическую устойчивость. Во втором случае рассматривается missing image file, при этом missing image file и missing image file имеют одинаковый знак. Производная отрицательна, если missing image file, функция missing image file монотонно убывает missing image file. Отсюда missing image file, что с учетом условия обеспечивает выполнение (7) и тем самым устойчивость точки покоя. Последнее неравенство, очевидно, влечет (8), причем согласно условию missing image file.
Следствие доказано.

Замечание 5. Если в условии 2 предполагать устойчивость точки покоя, то условие missing image file missing image file, missing image file будет выполняться автоматически, напротив, в условиях следствия 9 это неравенство влечет устойчивость по предложению 1.

Из следствия 9, замечания 5, а также из следствия 5 вытекает

Теорема 8. Пусть для системы (1) missing image file, такое, что missing image file выполняются тройки неравенств либо missing image file, missing image file, missing image file, либо missing image file, missing image file, missing image file missing image file, missing image file, и кроме того missing image file. Тогда точка покоя асимптотически устойчива, если missing image file missing image file, missing image file. Если missing image file missing image file, missing image file, то достаточным условием асимптотической устойчивости является missing image file,
missing image file, это же условие достаточно и при missing image file.

Интегральные критерии в значительной мере ориентированы на аналитическое применение, что иллюстрируется элементарными примерами, в которых с целью иллюстрации исключено использование аналитического решения. При анализе устойчивости точки покоя ее возмущение ниже рассматривается в предположении missing image file. При написании дроби предполагается, что функция знаменателя не обращается в ноль.

Пример 1. Условиям (18), (19) удовлетворяет уравнение

missing image file, (24)

missing image file. В самом деле, из (24) missing image file, missing image file, missing image file, missing image file. Отсюда missing image file, и применима теорема 6: missing image file, что согласно (17) означает устойчивость точки покоя. Далее, missing image file, согласно (18) это влечет асимптотическую устойчивость.

Тот же результат получится другим способом. В силу missing image file выполнены условия предложения 2, что непосредственно означает устойчивость точки покоя. Вследствие missing image file знаки числителя и знаменателя постоянны. По предложению 1
missing image file. Отсюда missing image file, и missing image file. Выполнены условия леммы 3, это означает асимптотическую устойчивость точки покоя уравнения (21).

Еще один способ: в силу missing image file выполнено (14), что является достаточным условием асимптотической устойчивости точки покоя.

Пример 2. Рассматривается уравнение

missing image file (25)

при любом missing image file. Из (25) missing image file, missing image file. Далее, missing image file, missing image file,
и missing image file,missing image file. Применима теорема 6: missing image file,
и missing image filemissing image file, что согласно (17) означает устойчивость точки покоя. Поскольку missing image file, то согласно (18) точка покоя асимптотически устойчива.

Тот же результат – иначе. В силу missing image file выполнены условия предложения 2, что сразу обеспечивает устойчивость точки покоя. Поскольку missing image file, то missing image file,
что влечет missing image file. Согласно (8) точка покоя уравнения (25) асимптотически устойчива.

Наиболее простой способ: missing image file влечет missing image filemissing image file, согласно (14) это достаточное условие асимптотической устойчивости.

Пример 3. Рассматривается уравнение

missing image file, (26)

при любом missing image file. Из (26) missing image file, missing image file. Отсюда missing image file,
missing image file, и missing image file, missing image file. Применима теорема 6: missing image file, missing image filemissing image file, – точка покоя устойчива. Вследствие missing image file точка покоя асимптотически устойчива. То же получается иначе. В силу missing image file выполнены условия предложения 2, что непосредственно влечет устойчивость точки покоя. Вследствие missing image file missing image file, отсюда missing image file, что согласно (8) означает асимптотическую устойчивость точки покоя уравнения (26). Простейший способ: missing image filemissing image file, отсюда missing image filemissing image file, согласно (14) точка покоя асимптотически устойчива.

Пример 4. Пусть рассматривается уравнение

missing image file (27)

при любом missing image file. Из (27) missing image file, missing image file.
Отсюда missing image file, missing image file. В этом случае неравенство (19) непосредственно проверить затруднительно, применимость теоремы 6 не получает обоснования. Теорему 5 применить можно, но без специальной оценки интегралов это не влечет правильной оценки устойчивости. Компьютерная реализация критериев (5), (6) теоремы 4 применительно к (27) показывает неасимптотическую устойчивость точки покоя.

Пример 5. Рассматривается уравнение

missing image file (28)

при любом missing image file. Из (28) missing image file, missing image file,
missing image file, missing image file. В этом случае неравенство (19) заведомо не выполняется. Однако устойчивость точки покоя получается согласно предложению 2, поскольку из (28) знаки v(t) и u(t) взаимно противоположны. При этом missing image file имеет конечный предел при missing image file. Следовательно, числитель дроби missing image file ограничен, missing image file, дробь отрицательна. Тогда интеграл (8) оценивается следующим образом: missing image file. Отсюда missing image file. Это означает, что не выполнено необходимое условие асимптотической устойчивости. Точка покоя уравнения (28) устойчива, но не устойчива асимптотически.

Пример 6. Пусть рассматривается уравнение

missing image file, (29)

missing image file. Из (29) missing image file, missing image file,
missing image file, missing image file. Функция missing image file ограничена,
missing image file, убывает с ростом t, однако неравенство missing image filemissing image file обеспечить затруднительно. Тем не менее устойчивость точки покоя следует из предложения 2, поскольку функции u(t) и v(t) противоположных знаков. Остается проверить (8): missing image file, где missing image file. Тогда missing image file. Это означает, что не выполняется необходимое условие асимптотической устойчивости. Точка покоя устойчива, но неустойчива асимптотически.

Пример 7. Рассматривается уравнение

missing image file (30)

при любом missing image file. Из (30) missing image file, missing image file, missing image file, missing image file. Знаки u(t) и v(t) противоположны. Согласно предложению 2 точка покоя устойчива. Условие (19) не выполняется. Остается оценить интеграл (8): missing image file. Отсюда missing image file, что нарушает необходимое условие асимптотической устойчивости. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

Пример 8. Пусть рассматривается уравнение

missing image file,missing image file.

По условию missing image file, missing image file. Отсюда следует (15), поэтому точка покоя неустойчива.

На основе критериев теоремы 6 можно построить аналоги признаков устойчивости, предложенных в [13] для критериев теоремы 5. Имеют место следующие утверждения.

Теорема 9. Если выполнено любое из условий (18) или (19), и, кроме того,

missing image file, missing image file, (31)

где missing image file,missing image file, то точка покоя системы (1) устойчива. В частности утверждение сохраняется, если в (31) missing image file, missing image file. Если missing image file, missing image file, missing image file, такие, что missing image file,missing image file,
и кроме того

missing image file, (32)

где missing image file, то точка покоя системы (1) неустойчива. В частности, утверждение сохраняется, если в (32) missing image file, missing image file.

Замечание 6. Условие во второй части теоремы 9 можно заменить на более общее условие missing image filemissing image file с сохранением утверждения.

Теорема 10. Пусть выполнено любое из условий (18) или (19) и точка покоя системы (1) устойчива. Если missing image file: missing image file, missing image file, верно неравенство

missing image file, missing image file, (33)

где missing image file, то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива. В частности, утверждение сохраняется, если в (33) missing image file, missing image file, missing image file, missing image file.

Доказательства обеих теорем с точностью до обозначений повторяют доказательства соответственных теорем из [13] с той разницей, что учитываются условия (18), (19).

Обсуждение изложенного подхода. Необходимо оговорить зависимости uk(t) и vk(t) в предложенных условиях устойчивости. Одной из целей работы было найти аналитические критерии асимптотической устойчивости, в силу которых из соотношения missing image file следовало бы missing image file. Иными словами, требовалось обеспечить соотношение (4), позволяющее по поведению правой части (1) судить об устойчивости решения без знания самого решения. В неполной мере соотношение (4) реализовано в леммах 3, 4, предложении 3, следствии 2, предложении 5, следствии 4, предложении 6, теоремах 2, 3, следствии 9, теореме 8. В наибольшей мере выполнение (4) обеспечивают теоремы 6, 7 с использованием (20)–(23). Однако во всех этих случаях утверждения опираются либо на поведение missing image file, либо на неравенство missing image file, либо на интегральную форму (18). Тем самым условия выполнения (4) ставятся в зависимость от поведения missing image file,
в конечном счете – в зависимость от решения. Иногда для аналитической оценки устойчивости можно использовать полученные критерии без знания решения, но это не является общим случаем. Проблема априори неизвестного решения перестает существовать в случае приближенного решения задачи (1). Если, например, задача решается разностным методом, то получается пошаговое приближение решения missing image file на некотором отрезке missing image file, при этом необходимо используется значение правой части missing image file в каждой точке приближения. Пошаговой проверке оказываются доступны условия (5), (6), а также (13)–(15) (в данном приближении). Аналитическое выражение производной правой части вычисляется из (3). Подстановка в выражение missing image file пошаговых приближений missing image file дает значение производной на каждом шаге приближения missing image file. В результате доступны проверке условия (19), (22), (23), аналогично проверяемы условия большинства предложенных лемм, предложений, теорем и следствий. Значения проверяемых величин выводятся на каждом шаге решения, что дает доступную форму программного анализа устойчивости. Результаты проверки получаются сразу по нескольким критериям. Необходимо отметить два аспекта. Первый – заключается в аналитическом ограничении – формально критерии должны выполняться в некоторой Δ-окрестности начального вектора. Искомая Δ-окрестность программно не идентифицируется. Остается выполнять проверку в выборочных точках этой окрестности. Ускорение процесса с увеличением количества проверочных точек возможно на основе использования параллельной вычислительной системы – синхронный анализ выполним сразу по многим начальным векторам. К отмеченной трудности примыкает еще одна: полуось missing image file, во всех точках которой требуется выполнение проверяемых условий, по определению не идентифицируется программно. Для имитации полуоси отрезок missing image file можно удлинять до любой границы missing image file, используя, в частности, методы, описанные в [15, 16]. Помимо того можно выполнять проверочные выборки за пределами границ missing image file. Во всех случаях нельзя использовать укрупненный шаг разностного метода, чтобы не исказить результаты анализа из-за накопления погрешности. Второй аспект предложенного подхода, напротив, снижает обсуждаемые трудности. Если (1) относится к классу линейных систем, то выполнять проверку критериев в некоторой Δ-окрестности начального вектора не требуется. Как показано в [9] на основе [1], для оценки устойчивости системы (1), если она линейна, достаточно выполнения обсуждаемых критериев для одного произвольно взятого решения со всеми ненулевыми компонентами missing image file missing image file.
Вследствие приближенности компьютерного анализа желательно выполнять аналитическое исследование, в частности можно применять предложенные выше методы [9, 13].
Представленные методы относятся к нулевому решению системы (1). Теоретически к этому случаю сводится анализ устойчивости любого ненулевого решения [1]. При описании численных экспериментов будет проиллюстрировано программное сведение анализа устойчивости ненулевого решения к рассмотренным способам анализа нулевого решения.

Численный эксперимент. Пусть рассматривается система

missing image file (34)

где missing image file. Требуется исследовать устойчивость точки покоя. Из (34) missing image file, где обозначено missing image file. Аналогично, missing image file. Согласно (3) missing image file, в данном случае получится

missing image file,

missing image file

Следующая программа (Delphi) реализует анализ устойчивости точки покоя по знакам решения и двух его производных на основе разностного метода Эйлера.

program RAE11; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;

const h = 0.0001; tt=10000000; var t,v1,v2,eps1,eps2: extended; k: longint;

function u1(t,v1,v2:extended):extended;

begin u1:=-1/2*v1/sqrt(t)+1/sqr(t)*v1*sqr(cos(v1*v2)) end;

function u2(t,v1,v2:extended):extended;

begin u2:=-2/sqrt(t)*v2*(1+ sqr(sqr(sin(sqr(v1)*v1+sqr(v2)*v2)))*

sqr(sin(sqr(v1)*v1+sqr(v2)*v2))) end;

function u11(t,v1,v2:extended):extended;

begin u11:=0.25/(t*sqrt(t))*v1-2/(t*sqr(t))*v1*sqr(cos(v1*v2))+

(-0.5/sqrt(t)+1/sqr(t)*(sqr(cos(v1*v2))-v1*v2* sin(2*v1*v2)))* u1(t,v1,v2)-

1/sqr(t)*sqr(v1)*sin(2*v1*v2)*u2(t,v1,v2) end;

function u21(t,v1,v2:extended):extended;

begin u21:=1/(t*sqrt(t))*v2*(sqr(sin(v1*sqr(v1)+v2*sqr(v2)))*sqr(sqr(sin(v1*sqr(v1)+

v2*sqr(v2))))+1)-36/sqrt(t)*sqr(v1)*v2*sin(v1*sqr(v1)+

v2*sqr(v2))*sqr(sqr(sin(v1*sqr(v1)+v2*sqr(v2))))*cos(v1*sqr(v1)+v2*sqr(v2))*u1(t,v1,v2)-

2/sqrt(t)*(18*v2*sqr(v2)*sin(v1*sqr(v1)+v2*sqr(v2))*sqr(sqr(sin(v1*sqr(v1)+v2*sqr(v2))))*

cos(v1*sqr(v1)+v2*sqr(v2))+sqr(sin(v1*sqr(v1)+v2*sqr(v2)))*

sqr(sqr(sin(v1*sqr(v1)+ v2*sqr(v2))))+1)*u2(t,v1,v2) end;

begin

k := 0; eps1:=0.00005{*0.005}; eps2:=0.00005{*0.005}; v1:=eps1; v2:=eps2; t:=0.5; while t <=10000{00} do

begin v1:= v1+ h * u1(t,v1,v2); v2:= v2+ h * u2(t,v1 ,v2 ); k:=k+1; if k = tt then

begin writeln ('t=',t:4,' '); writeln ('norma=',sqrt(sqr(v1/eps1)+sqr(v2/eps2)):30,' ');

writeln ('v1=',v1:4,' ','u1=',u1(t,v1,v2):4,' ','u11=',u11(t,v1,v2):4,' ','u1/v1=',u1(t,v1,v2)/v1:4,

' ','u11/u1=',u11(t,v1,v2)/u1(t,v1,v2):4,' ','-0.1/sqrt(t)=',-0.1/sqrt(t):4,' ');

writeln ('v2=',v2:4,' ','u2=',u2(t,v1,v2):4,' ','u21=',u21(t,v1,v2):4,' ','u2/v2=',u2(t,v1,v2)/v2:4,

' ','u21/u2=',u21(t,v1,v2)/u2(t,v1,v2):4,' ','-0.1/sqrt(t)=',-0.1/sqrt(t):4,' ');

k:=0 end; t:=t+h; end; readln end.

Результат работы программы:

t= 1.0E+0003 norma= 2.74303107469284169E-0013

v1= 1.3E-0017 u1=-2.2E-0019 u11= 3.5E-0021 u1/v1=-1.6E-0002 u11/u1=-1.6E-0002 -0.1/sqrt(t)=-3.2E-0003

v2= 9.5E-0059 u2=-6.0E-0060 u21= 3.8E-0061 u2/v2=-6.3E-0002 u21/u2=-6.4E-0002 -0.1/sqrt(t)=-3.2E-0003

t= 2.0E+0003 norma= 5.63387098110754843E-0019

v1= 2.8E-0023 u1=-3.1E-0025 u11= 3.6E-0027 u1/v1=-1.1E-0002 u11/u1=-1.1E-0002 -0.1/sqrt(t)=-2.2E-0003

v2= 1.7E-0081 u2=-7.6E-0083 u21= 3.4E-0084 u2/v2=-4.5E-0002 u21/u2=-4.5E-0002 -0.1/sqrt(t)=-2.2E-0003

…………………………………………………………………………………………………………………….

t= 8.0E+0003 norma= 2.13764775102522473E-0038

v1= 1.0E-0042 u1=-6.0E-0045 u11= 3.4E-0047 u1/v1=-5.6E-0003 u11/u1=-5.7E-0003 -0.1/sqrt(t)=-1.1E-0003

v2= 3.5E-0159 u2=-7.8E-0161 u21= 1.8E-0162 u2/v2=-2.2E-0002 u21/u2=-2.2E-0002 -0.1/sqrt(t)=-1.1E-0003

t= 9.0E+0003 norma= 9.41235193418767399E-0041

v1= 4.7E-0045 u1=-2.5E-0047 u11= 1.3E-0049 u1/v1=-5.3E-0003 u11/u1=-5.3E-0003 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

v2= 1.3E-0168 u2=-2.8E-0170 u21= 5.9E-0172 u2/v2=-2.1E-0002 u21/u2=-2.1E-0002 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

В строке со значением независимой переменной указывается norma – эвклидова норма отношения возмущенного решения к его начальным значениям, вычисляемая из левых частей (5) для применения теоремы 4. В первом слева направо столбце идут компоненты решения в данной точке v1 (v1) и v2 (v2) (округление до двух значащих цифр мантиссы). Во втором столбце – производные компонентов решения u1 (u1) и u2 (u2) (значения правых частей (34) в той же точке). В третьем – производные компонентов правых частей u11 (missing image file)
и u21 (missing image file). В четвертом столбце – отношение компонентов производных к компонентам решения u1/v1 (missing image file) и u2/v2 (missing image file). В пятом – отношение компонентов вторых производных к компонентам первых производных u11/u1 (missing image file) и u21/u2 (missing image file). Значение элементов шестого столбца будет пояснено ниже. Вычисления выполнялись с шагом h = 10–4 на отрезке missing image file (закомментировано возможное продолжение отрезка). Из представленных данных следует, что значение нормы монотонно убывает до 10–41 (и ниже в продолжении временного отрезка). По теореме 4 согласно (6) это указывает на асимптотическую устойчивость точки покоя. Из расположения в строках видно, что vk и uk, а также missing image file убывают к нулю. При этом vk и uk противоположны по знаку, а vk и missing image file имеют одинаковый знак. По теореме 2, следствию 5, а также по теореме 8 это аналогично указывает на асимптотическую устойчивость точки покоя. Отношения missing image file и missing image file отрицательны и отделены от нуля. Согласно теоремам 2, 3, 5 и соотношению (14) это признаки асимптотической устойчивости. Кроме того, из построчного сопоставления выполнены условия (19) при missing image file, и применима теорема 6. При этом отношения missing image file и missing image file отрицательны и отделены от нуля, отсюда следует (21), что еще раз указывает на асимптотическую устойчивость точки покоя системы (34). Наконец, в шестом столбце данных располагаются значения функции –t–0.5. Из построчного сопоставления видно, что выполняются неравенства (33), коэффициент и показатель степени подбирались по виду предварительно выводившихся значений. По теореме 10 это также является достаточным условием асимптотической устойчивости точки покоя. Все эти соотношения воспроизводятся в качестве признаков асимптотической устойчивости при любом уменьшении радиуса окрестности начальных значений большем нуля (и при любой комбинации их знаков), в частности закомментировано eps1= eps2=0.00005*0.005, а также при удлинении промежутка решения в 100 и более раз. Таким образом, все предложенные признаки в программной реализации указывают на асимптотическую устойчивость точки покоя системы (34). Аналитически этот результат можно получить на основе теоремы 6 аналогично тому, как показано в [9].

Пусть рассматривается система

missing image file (35)

где missing image file, и требуется исследовать на устойчивость ее точку покоя. Из (35)

missing image file.

В силу автономности системы формула (3) примет вид missing image file, отсюда

missing image file, missing image file.

Чтобы выполнить анализ устойчивости точки покоя, достаточно воспользоваться предыдущей программой RAE11, в которой требуется заменить описание подпрограмм-функций правых частей и их производных на соответствующее описание для рассматриваемой системы:

function u1(t,v1,v2:extended):extended;

begin u1:=-v2+v1*(sqr(v1)+sqr(v2)-1); end;

function u2(t,v1,v2:extended):extended;

begin u2:=v1+v2*(sqr(v1)+sqr(v2)-1); end;

function u11 (t,v1,v2:extended):extended;

begin u11:=(3*sqr(v1)+sqr(v2)-1)*u1(t,v1,v2)+(2*v1*v2-1)*u2(t,v1,v2); end;

function u21(t,v1,v2:extended):extended;

begin u21:=(2*v1*v2+1)*u1(t,v1,v2)+(sqr(v1)+3*sqr(v2) -1)*u2(t,v1,v2); end;

Других изменений в программе не потребуется. Результат работы программы:

t= 1.0E+0003 norma= 6.82796739175175673E-0435

v1=-8.1E-0440 u1=-2.5E-0439 u11= 6.6E-0439 u1/v1= 3.1E+0000 u11/u1=-2.6E+0000 -0.1/sqrt(t)=-3.2E-0003

v2= 3.3E-0439 u2=-4.1E-0439 u21= 1.6E-0439 u2/v2=-1.2E+0000 u21/u2=-3.9E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.2E-0003

t= 2.0E+0003 norma= 3.29693623286688257E-0869

v1=-1.6E-0873 u1= 1.1E-0873 u11= 1.0E-0873 u1/v1=-6.8E-0001 u11/u1= 9.4E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.2E-0003

v2= 5.0E-0874 u2=-2.1E-0873 u21= 3.1E-0873 u2/v2=-4.1E+0000 u21/u2=-1.5E+0000 -0.1/sqrt(t)=-2.2E-0003

t= 3.0E+0003 norma= 1.59192352419691632E-1303

v1=-6.0E-1308 u1= 1.1E-1307 u11=-1.0E-1307 u1/v1=-1.9E+0000 u11/u1=-9.3E-0001 -0.1/sqrt(t)=-1.8E-0003

v2=-5.2E-1308 u2=-8.0E-1309 u21= 1.2E-1307 u2/v2= 1.5E-0001 u21/u2=-1.5E+0001 -0.1/sqrt(t)=-1.8E-0003

t= 4.0E+0003 norma= 7.68595824875659265E-1738

v1= 6.4E-1743 u1= 3.1E-1742 u11=-7.6E-1742 u1/v1= 4.9E+0000 u11/u1=-2.4E+0000 -0.1/sqrt(t)=-1.5E-0003

v2=-3.8E-1742 u2= 4.4E-1742 u21=-1.2E-1742 u2/v2=-1.2E+0000 u21/u2=-2.9E-0001 -0.1/sqrt(t)=-1.5E-0003

………………………………………………………………………………………………………………………

t= 9.0E+0003 norma= 0.00000000000000000E+0000

v1=-8.5E-3914 u1= 1.3E-3913 u11=-1.0E-3913 u1/v1=-1.6E+0000 u11/u1=-7.8E-0001 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

v2=-5.5E-3914 u2=-3.0E-3914 u21= 1.7E-3913 u2/v2= 5.5E-0001 u21/u2=-5.6E+0000 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

t= 1.0E+0004 norma= 0.00000000000000000E+0000

v1= 1.2E-4349 u1= 4.7E-4348 u11=-9.7E-4348 u1/v1= 3.9E+0001 u11/u1=-2.1E+0000 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

v2=-4.9E-4348 u2= 5.0E-4348 u21=-2.5E-4349 u2/v2=-1.0E+0000 u21/u2=-4.9E-0002 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

Значение нормы монотонно убывает до нуля. По теореме 4 согласно (6) это указывает на асимптотическую устойчивость точки покоя. Из расположения в строках видно, что vk, uk, missing image file также убывают к нулю, тем самым выполнены необходимые условия устойчивости (следствие 2). Однако в этой задаче vk, uk и missing image file чередуют знаки в произвольном порядке, отношения missing image file и missing image file не всегда отрицательны, тем не менее при детальном выводе данных видно соответствие следствию 1, указывающему на асимптотическую устойчивость. Из построчного сопоставления видно, что не выполнены условия (19), поэтому не применима теорема 6, несмотря на то, что отношения missing image file и missing image file отрицательны и отделены от нуля. Из шестого столбца видно, что выполняются неравенства (33), однако теоремой 10 воспользоваться нельзя ввиду невыполнения (19). Тем не менее на основании просмотра данных следует однозначный вывод. Именно, все данные указывают на выполнение необходимых условий устойчивости, некоторые данные не указывают на выполнение достаточных условий устойчивости. Невыполнение последних не означает отсутствия устойчивости. Аналогичные утверждения можно сделать относительно корреляции данных с асимптотической устойчивостью. В то же время значение нормы вектора компонентов (6) убывает к нулю, означая по теореме 4 выполнение необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости точки покоя. Более того, теорема 4 эквивалентна теореме 5, которая в интегральной оценке учитывает все неочевидные особенности поведения знаков решения и правой части системы. Поэтому выполнение условий (5), (6) является другой (эквивалентной) формой выполнения условий (7), (8), что в любом случае влечет асимптотическую устойчивость точки покоя системы (35). Аналитически полученный результат доказан в [17].

Все рассмотренные соотношения воспроизводятся в качестве признаков асимптотической устойчивости при любых допустимых вариациях радиуса окрестности начальных значений. Удлинить временной отрезок непосредственно при данных параметрах не удается, однако он удлиняется на порядок и больше, если взять h = 10–3, eps1= eps2=0.0005. При этом качественно сохраняются все описанные результаты.

Замечание 7. Именно условия (5), (6), будучи эквивалентными (7), (8) и являясь их доступной программной реализацией, наиболее полно выражают асимптотические особенности поведения знаков решения и его двух производных. При этом (5) неэквивалентно определению устойчивости. Определение требует, чтобы для сколь угодно малого missing image file выполнялось missing image file, тогда как (5) требует, чтобы для произвольной (хотя бы сколь угодно большой) константы missing image file выполнялось неравенство missing image file, где missing image file – компонент отношения ненулевого решения к его же начальному значению.

Пусть теперь рассматривается система

missing image file, (36)

где missing image file. Требуется исследовать на устойчивость нулевое и ненулевое решение. Из (36) missing image file, missing image file. Отсюда

missing image file, missing image file.

Чтобы выполнить анализ устойчивости нулевого решения, достаточно воспользоваться той же программой RAE11, в которой следует заменить описание подпрограмм-функций правых частей и их производных на соответствующее описание для системы (36):

function u1(t,v1,v2:extended):extended;

begin u1:=-v2*sqrt(sqr(v1)+sqr(v2)); end;

function u2(t,v1,v2:extended):extended;

begin u2:=v1*sqrt(sqr(v1)+sqr(v2)); end;

function u11 (t,v1,v2:extended):extended;

begin u11:=(-1/sqrt(sqr(v1)+sqr(v2)))*( v1* v2*u1(t,v1,v2)+

(sqr(v1)+2* sqr(v2))*u2(t,v1,v2)); end;

function u21(t,v1,v2:extended):extended;

begin u21:=1/sqrt(sqr(v1)+sqr(v2))*((2*sqr(v1)+sqr(v2))*u1(t,v1,v2)+

v1*v2*u2(t,v1,v2)); end;

Результат работы программы:

t= 1.0E+0003 norma= 1.41421356217253380E+0000

v1= 4.6E-0005 u1=-3.8E-0009 u11=-2.3E-0013 u1/v1=-8.1E-0005 u11/u1= 6.1E-0005 -0.1/sqrt(t)=-3.2E-0003

v2= 5.3E-0005 u2= 3.3E-0009 u21=-2.7E-0013 u2/v2= 6.1E-0005 u21/u2=-8.1E-0005 -0.1/sqrt(t)=-3.2E-0003

t= 2.0E+0003 norma= 1.41421356192948485E+0000

v1= 4.2E-0005 u1=-4.0E-0009 u11=-2.1E-0013 u1/v1=-9.4E-0005 u11/u1= 5.3E-0005 -0.1/sqrt(t)=-2.2E-0003

v2= 5.7E-0005 u2= 3.0E-0009 u21=-2.8E-0013 u2/v2= 5.3E-0005 u21/u2=-9.4E-0005 -0.1/sqrt(t)=-2.2E-0003

t= 3.0E+0003 norma= 1.41421356165181346E+0000

v1= 3.8E-0005 u1=-4.2E-0009 u11=-1.9E-0013 u1/v1=-1.1E-0004 u11/u1= 4.6E-0005 -0.1/sqrt(t)=-1.8E-0003

v2= 5.9E-0005 u2= 2.7E-0009 u21=-3.0E-0013 u2/v2= 4.6E-0005 u21/u2=-1.1E-0004 -0.1/sqrt(t)=-1.8E-0003

……………………………………………………………………………………………………………………..

t= 9.0E+0003 norma= 1.41421355963621205E+0000

v1= 1.0E-0005 u1=-4.9E-0009 u11=-5.2E-0014 u1/v1=-4.7E-0004 u11/u1= 1.0E-0005 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

v2= 7.0E-0005 u2= 7.4E-0010 u21=-3.5E-0013 u2/v2= 1.0E-0005 u21/u2=-4.7E-0004 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

t= 1.0E+0004 norma= 1.41421355928279811E+0000

v1= 5.5E-0006 u1=-5.0E-0009 u11=-2.8E-0014 u1/v1=-9.0E-0004 u11/u1= 5.5E-0006 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

v2= 7.0E-0005 u2= 3.9E-0010 u21=-3.5E-0013 u2/v2= 5.5E-0006 u21/u2=-9.0E-0004 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

Значение нормы missing image file ограничено. Причем ограничение одной и той же константой 1.4142136 неизменно сохраняется при любом уменьшении начальных значений, на несколько порядков включительно. По теореме 4 согласно (5) это указывает на неасимптотическую устойчивость точки покоя. Знаки vk и uk не сохраняются в стабильном состоянии на отрезке решения, равно как и знаки uk и missing image file, missing image file, это проявляется в процессе более подробного вывода данных. Поэтому нельзя применить предложение 4, следствие 3, предложение 5 и следствие 4. Соответственно, нестабильны знаки отношений missing image file и missing image file, поэтому неприменимы теорема 3 и соотношения (13)–(15). Проверка того, что missing image file missing image file либо missing image file не существует, по данным численного эксперимента оказалась неосуществимой. Поэтому нельзя сослаться на следствие 2. Тем не менее не оказалось данных, которые бы противоречили факту ограниченности missing image file и missing image file в соотношении (5). Остается принять, что согласно теореме 4 и критерию (5) точка покоя системы (36) неасимптотически устойчива. В [18] это утверждение доказано аналитически.

Для оценки устойчивости ненулевого решения missing image file системы (36), программа RAE11 модифицируется таким образом, что вместо исходного возмущения точно такому же анализу подвергается разность между возмущением missing image file ненулевого решения и самим этим решением, то есть missing image file (в программе ниже – компоненты (vv1-v1)
и (vv2-v2)). Соответственно анализируемые производные также переходят в разность производных, missing image file (в программе – u11(t,vv1,vv2)-u11(t,v1,v2) и u21(t,vv1,vv2)-u21(t,v1,v2)), аналогично преобразуются вторые производные и связанные с производными компоненты отношений. В остальном программа RAE11 не меняется, – с точностью до описания новых переменных сохраняется раздел описаний, измененная исполняемая часть программы приводится ниже:

begin

k := 0; eps1:=0.00005; eps2:=0.00005; v1:=1.00005; v2:=1.00005; vv1:=v1+eps1; vv2:=v2+eps2;

t:=0; while t <=10000 do begin

v1:= v1+ h * u1(t,v1,v2); v2:= v2+ h * u2(t,v1 ,v2 ); vv1:= vv1+ h * u1(t,vv1,vv2); vv2:= vv2+ h * u2(t,vv1 ,vv2);

k:=k+1; if k = tt then begin

writeln ('t=',t:4,' '); writeln ('norma=',sqrt(sqr((vv1-v1)/eps1)+sqr((vv2-v2)/eps2)):30,' ');

writeln ('vv1-v1=',vv1-v1:4,' ','uvv1-uv1=',u1(t,vv1,vv2)-u1(t,v1,v2):4,' ',

'uvv11-uv11=',u11(t,vv1,vv2)-u11(t,v1,v2):4,' ','(uvv1-uv1)/(vv1-v1)=',

(u1(t,vv1,vv2)-u1(t,v1,v2))/(vv1-v1):4,' ','(uvv11-uv11)/(uvv1-uv1)=',

(u11(t,vv1,vv2)-u11(t,v1,v2))/(u1(t,vv1,vv2)-u1(t,v1,v2)):4,' ','-0.1/sqrt(t)=',-0.1/sqrt(t):4,' ');

writeln ('vv2-v2=',vv2-v2:4,' ','uvv2-uv2=',u2(t,vv1,vv2)-u2(t,v1,v2):4,' ',

'uvv21-uv21=',u21(t,vv1,vv2)-u21(t,v1,v2):4,' ','(uvv2-uv2)/(vv2-v2)=',

(u2(t,vv1,vv2)-u2(t,v1,v2))/(vv2-v2):4,' ','(uvv21-uv21)/(uvv2-uv2)=',(u21(t,vv1,vv2)-u21(t,v1,v2))/(u2(t,vv1,vv2)-

u2(t,v1,v2)):4,' ','-0.1/sqrt(t)=',-0.1/sqrt(t):4,' ');

k:=0 end; t:=t+h; end; readln

end.

Начальные значения невозмущенного решения взяты для примера v1:=1.00005; v2:=1.00005; остальное все, как в программе RAE11. Результат работы модифицированной программы:

t= 1.0E+0002 norma= 1.98747505986183401E+0002

vv1-v1= 6.1E-0003 uvv1-uv1= 1.1E-0002 uvv11-uv11=-1.1E-0002 (uvv1-uv1)/(vv1-v1)= 1.8E+0000

(uvv11-uv11)/(uvv1-uv1)=-1.1E+0000 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0002

vv2-v2=-7.9E-0003 uvv2-uv2= 8.5E-0003 uvv21-uv21= 1.6E-0002 (uvv2-uv2)/(vv2-v2)=-1.1E+0000

(uvv21-uv21)/(uvv2-uv2)= 1.9E+0000 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0002

t= 2.0E+0002 norma= 3.95033509945234586E+0002

vv1-v1=-3.7E-0003 uvv1-uv1=-2.7E-0002 uvv11-uv11= 7.1E-0003 (uvv1-uv1)/(vv1-v1)= 7.4E+0000

(uvv11-uv11)/(uvv1-uv1)=-2.6E-0001 -0.1/sqrt(t)=-7.1E-0003

vv2-v2= 1.9E-0002 uvv2-uv2=-5.1E-0003 uvv21-uv21=-3.8E-0002 (uvv2-uv2)/(vv2-v2)=-2.6E-0001

(uvv21-uv21)/(uvv2-uv2)= 7.5E+0000 -0.1/sqrt(t)=-7.1E-0003

t= 3.0E+0002 norma= 5.88927116693107776E+0002

vv1-v1=-1.7E-0002 uvv1-uv1= 3.3E-0002 uvv11-uv11= 3.4E-0002 (uvv1-uv1)/(vv1-v1)=-1.9E+0000

(uvv11-uv11)/(uvv1-uv1)= 1.0E+0000 -0.1/sqrt(t)=-5.8E-0003

vv2-v2=-2.4E-0002 uvv2-uv2=-2.4E-0002 uvv21-uv21= 4.7E-0002 (uvv2-uv2)/(vv2-v2)= 1.0E+0000

(uvv21-uv21)/(uvv2-uv2)=-1.9E+0000 -0.1/sqrt(t)=-5.8E-0003

……………………………………………………………………………………………………………

t= 9.9E+0003 norma= 1.17849867942501696E+0004

vv1-v1=-5.7E-0001 uvv1-uv1=-1.6E-0001 uvv11-uv11= 7.7E-0001 (uvv1-uv1)/(vv1-v1)= 2.8E-0001

(uvv11-uv11)/(uvv1-uv1)=-4.7E+0000 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

vv2-v2= 1.4E-0001 uvv2-uv2=-6.6E-0001 uvv21-uv21=-1.9E-0001 (uvv2-uv2)/(vv2-v2)=-4.7E+0000

(uvv21-uv21)/(uvv2-uv2)= 2.8E-0001 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

t= 1.0E+0004 norma= 1.18511900536141132E+0004

vv1-v1= 3.6E-0001 uvv1-uv1= 5.4E-0001 uvv11-uv11=-4.9E-0001 (uvv1-uv1)/(vv1-v1)= 1.5E+0000

(uvv11-uv11)/(uvv1-uv1)=-9.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

vv2-v2=-4.7E-0001 uvv2-uv2= 4.2E-0001 uvv21-uv21= 6.2E-0001 (uvv2-uv2)/(vv2-v2)=-9.0E-0001

(uvv21-uv21)/(uvv2-uv2)= 1.5E+0000 -0.1/sqrt(t)=-1.0E-0003

Значение нормы missing image file растет от 1.98747505986183401E+0002
до 1.18511900536141132E+0004.

Согласно теореме 4 и соотношению (5) точка покоя системы (36) неустойчива. В [18] это утверждение аналитически доказано одновременно для всех ненулевых решений.

Пусть теперь рассматривается линейная однородная система с постоянной матрицей коэффициентов

missing image file, (37)

missing image file. (38)

Устойчивость системы будет анализироваться непосредственно по изложенной схеме и по аналогичной программе с той разницей, что уравнений не два, а четыре. Соответственно, должен рассматриваться вектор из четырех компонентов missing image file. Для каждого компонента свои первая и вторая производные, и в программе должны быть не две, а четыре подпрограммы-функции, описывающие первые производные, и столько же функций для описания вторых производных. По сути больше ничего в программе не меняется, но требуются две оговорки. Во-первых, производные задаются тривиально, исходя из того, что missing image file, missing image file, то есть для задания второй производной требуется квадрат исходной матрицы. Во-вторых, как показано в [9] и отмечалось выше, все рассмотренные критерии устойчивости достаточно применить не к совокупности решений с начальным вектором из окрестности нуля, а к любому одному решению с произвольным начальным вектором, все компоненты которого отличны от нуля. Полученный результат устойчивости или неустойчивости будет означать устойчивость или неустойчивость всей системы [1]. Анализ системы (37) с сохранением обозначений программы RAE11 выполняет следующая программа.

program RAE111111; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;

const n=4; h = 0.0001; tt=100000; type matr=array[1..n,1..n] of extended;

const D:matr=((-1,-0.9, 0.7,-0.1),

(0.8,-0.9, 0.5, 0.2),

(-0.3,0.4,-0.2,-0.6),

(0.7,-0.2,0.9,-1.4));

{D:matr=((1,-0.9, 0.7,-0.1),

(0.8,0.9, 0.5, 0.2),

(-0.3,0.4,0.2,-0.6),

(0.7,-0.2,0.9,1.4));}

var a,a1,c: matr; i,j,l,k: integer; s,t,v1,v2,v3,v4,v10,v20,v30,v40,eps1,eps2,eps3,eps4: extended;

function u1(var a:matr;var t,v1,v2,v3,v4:extended):extended;

begin u1:=a[1,1]*v1+a[1,2]*v2+a[1,3]*v3+a[1,4]*v4; end;

function u2(var a:matr;var t,v1,v2,v3,v4:extended):extended;

begin u2:=a[2,1]*v1+a[2,2]*v2+a[2,3]*v3+a[2,4]*v4; end;

function u3(var a:matr;var t,v1,v2,v3,v4:extended):extended;

begin u3:=a[3,1]*v1+a[3,2]*v2+a[3,3]*v3+a[3,4]*v4; end;

function u4(var a:matr;var t,v1,v2,v3,v4:extended):extended;

begin u4:=a[4,1]*v1+a[4,2]*v2+a[4,3]*v3+a[4,4]*v4; end;

function u11(var a1:matr;var t,v1,v2,v3,v4:extended):extended;

begin u11:=a1[1,1]*v1+a1[1,2]*v2+a1[1,3]*v3+a1[1,4]*v4; end;

function u21(var a1:matr;var t,v1,v2,v3,v4:extended):extended;

begin u21:=a1[2,1]*v1+a1[2,2]*v2+a1[2,3]*v3+a1[2,4]*v4; end;

function u31(var a1:matr;var t,v1,v2,v3,v4:extended):extended;

begin u31:=a1[3,1]*v1+a1[3,2]*v2+a1[3,3]*v3+a1[3,4]*v4; end;

function u41(var a1:matr;var t,v1,v2,v3,v4:extended):extended;

begin u41:=a1[4,1]*v1+a1[4,2]*v2+a1[4,3]*v3+a1[4,4]*v4; end;

begin

for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin a[i,j] := D[i,j]; end;

for i := 1 to n do for j := 1 to n do begin s:= 0; for l:= 1 to n do s:= s+a[ i , l ]*a[ l , j ]; a1[i, j]:= s end;

k := 0; eps1:=0.000005; eps2:=0.000005; eps3:=0.000005; eps4:=0.000005; v1:=eps1; v2:=eps2; v3:=eps3; v4:=eps4;

t:=0; while t <=10000 do begin v1:= v1+h*u1(a,t,v1,v2,v3,v4); v2:= v2+h*u2(a,t,v1,v2,v3,v4);

v3:= v3+h*u3(a,t,v1,v2,v3,v4); v4:= v4+h*u4(a,t,v1,v2,v3,v4); k:=k+1; if k=tt then begin

writeln ('t=',t:4,' '); writeln ('norma=',sqrt(sqr(v1/eps1)+sqr(v2/eps2)+sqr(v3/eps3)+sqr(v4/eps4)):30,' ');

writeln ('v1=',v1:4,' ','u1=',u1(a,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','u11=',u11(a1,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','u1/v1=',

u1(a,t,v1,v2,v3,v4)/v1:4,' ','u11/u1=',u11(a1,t,v1,v2,v3,v4)/u1(a,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','-0.1/sqrt(t)=',-20/sqrt(t):4,' ');

writeln ('v2=',v2:4,' ','u2=',u2(a,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','u21=',u21(a1,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','u2/v2=',

u2(a,t,v1,v2,v3,v4)/v2:4,' ','u21/u2=',u21(a1,t,v1,v2,v3,v4)/u2(a,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','-0.1/sqrt(t)=',-20/sqrt(t):4,' ');

writeln ('v3=',v3:4,' ','u3=',u3(a,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','u31=',u31(a1,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','u3/v3=',

u3(a,t,v1,v2,v3,v4)/v3:4,' ','u31/u3=',u31(a1,t,v1,v2,v3,v4)/u3(a,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','-0.1/sqrt(t)=',-20/sqrt(t):4,' ');

writeln ('v4=',v4:4,' ','u4=',u4(a,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','u41=',u41(a1,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','u4/v4=',

u4(a,t,v1,v2,v3,v4)/v4:4,' ','u41/u4=',u41(a1,t,v1,v2,v3,v4)/u4(a,t,v1,v2,v3,v4):4,' ','-0.1/sqrt(t)=',-20/sqrt(t):4,' ');

k:=0 end; t:=t+h; end; readln end.

Результат работы программы:

t= 1.0E+0001 norma= 1.78676640589015832E-0001

v1=-5.3E-0008 u1= 1.0E-0008 u11=-2.8E-0009 u1/v1=-2.0E-0001 u11/u1=-2.6E-0001 -0.1/sqrt(t)=-6.3E+0000

v2= 5.0E-0007 u2=-1.0E-0007 u21= 2.0E-0008 u2/v2=-2.0E-0001 u21/u2=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-6.3E+0000

v3= 6.4E-0007 u3=-1.3E-0007 u31= 2.7E-0008 u3/v3=-2.0E-0001 u31/u3=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-6.3E+0000

v4= 3.7E-0007 u4=-7.4E-0008 u41= 1.4E-0008 u4/v4=-2.0E-0001 u41/u4=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-6.3E+0000

t= 2.0E+0001 norma= 2.33223801465169568E-0002

v1=-6.9E-0009 u1= 1.4E-0009 u11=-2.9E-0010 u1/v1=-2.0E-0001 u11/u1=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-4.5E+0000

v2= 6.6E-0008 u2=-1.3E-0008 u21= 2.7E-0009 u2/v2=-2.0E-0001 u21/u2=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-4.5E+0000

v3= 8.3E-0008 u3=-1.7E-0008 u31= 3.5E-0009 u3/v3=-2.0E-0001 u31/u3=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-4.5E+0000

v4= 4.8E-0008 u4=-9.7E-0009 u41= 2.0E-0009 u4/v4=-2.0E-0001 u41/u4=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-4.5E+0000

……………………………………………………………………………………………………………………...

t= 2.7E+0003 norma= 1.07878879748941343E-0236

v1=-3.2E-0243 u1= 6.5E-0244 u11=-1.3E-0244 u1/v1=-2.0E-0001 u11/u1=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.9E-0001

v2= 3.0E-0242 u2=-6.2E-0243 u21= 1.3E-0243 u2/v2=-2.0E-0001 u21/u2=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.9E-0001

v3= 3.9E-0242 u3=-7.9E-0243 u31= 1.6E-0243 u3/v3=-2.0E-0001 u31/u3=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.9E-0001

v4= 2.2E-0242 u4=-4.5E-0243 u41= 9.1E-0244 u4/v4=-2.0E-0001 u41/u4=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.9E-0001

t= 2.7E+0003 norma= 1.40816655776991311E-0237

v1=-4.2E-0244 u1= 8.5E-0245 u11=-1.7E-0245 u1/v1=-2.0E-0001 u11/u1=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.9E-0001

v2= 4.0E-0243 u2=-8.1E-0244 u21= 1.6E-0244 u2/v2=-2.0E-0001 u21/u2=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.9E-0001

v3= 5.0E-0243 u3=-1.0E-0243 u31= 2.1E-0244 u3/v3=-2.0E-0001 u31/u3=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.9E-0001

v4= 2.9E-0243 u4=-5.9E-0244 u41= 1.1E-0244 u4/v4=-2.0E-0001 u41/u4=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-3.9E-0001

…………………………………………………………………………………………………………………….

t= 1.0E+0004 norma= 5.47291005571722000E-0884

v1=-1.6E-0890 u1= 3.3E-0891 u11=-6.7E-0892 u1/v1=-2.0E-0001 u11/u1=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.0E-0001

v2= 1.5E-0889 u2=-3.1E-0890 u21= 6.4E-0891 u2/v2=-2.0E-0001 u21/u2=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.0E-0001

v3= 2.0E-0889 u3=-4.0E-0890 u31= 8.1E-0891 u3/v3=-2.0E-0001 u31/u3=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.0E-0001

v4= 1.1E-0889 u4=-2.3E-0890 u41= 4.6E-0891 u4/v4=-2.0E-0001 u41/u4=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.0E-0001

t= 1.0E+0004 norma= 7.14390892089263713E-0885

v1=-2.1E-0891 u1= 4.3E-0892 u11=-8.7E-0893 u1/v1=-2.0E-0001 u11/u1=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.0E-0001

v2= 2.0E-0890 u2=-4.1E-0891 u21= 8.3E-0892 u2/v2=-2.0E-0001 u21/u2=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.0E-0001

v3= 2.6E-0890 u3=-5.2E-0891 u31= 1.0E-0891 u3/v3=-2.0E-0001 u31/u3=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.0E-0001

v4= 1.5E-0890 u4=-3.0E-0891 u41= 6.1E-0892 u4/v4=-2.0E-0001 u41/u4=-2.0E-0001 -0.1/sqrt(t)=-2.0E-0001

Относительно полученных данных можно повторить сказанное относительно данных анализа системы (34): на примере системы (37) с матрицей (38) подтверждаются все предложенные признаки асимптотической устойчивости. В частности, норма missing image file монотонно убывает до 10–885, что согласно (6) указывает на асимптотическую устойчивость точки покоя. Компоненты vk, uk, missing image file убывают к нулю. При этом vk и missing image file всегда имеют одинаковый знак, который проти-
воположен знаку uk, что согласно следствию 5
и теореме 8 также указывает на асимптотическую устойчивость. Отношения missing image file отрицательны и отделены от нуля, это означает признак асимптотической устойчивости. Выполнены условия (19), missing image file, и применима теорема 6, причем missing image file отрицательны и отделены от нуля, отсюда следует (21), также указывая на асимптотическую устойчивость. В шестом столбце значения функции missing image file, из строк видно, что выполняется (33), по теореме 10 это еще одно условие асимптотической устойчивости. Таким образом, все признаки в программной реализации указывают на асимптотическую устойчивость системы (37) с матрицей (38). Если в этой матрице изменить на противоположный знак верхнего элемента главной диагонали, как закомментировано в программе, и повторить программу с полученной матрицей, то возникнет переполнение. Если сократить отрезок решения в 10 раз, то выходные данные покажут критический рост нормы missing image file, означающий неустойчивость, при этом данные в строках не будут соответствовать признакам устойчивости. Такое поведение систем вида (37) характерно, в случае асимптотической устойчивости выходные данные программ соответствуют всем предложенным признакам. В случае неасимптотической устойчивости иначе, однако на устойчивость всегда указывает ограниченность нормы по критерию (5), соответствующие примеры приведены в [9]. Неустойчивость системы неизменно идентифицируется по монотонному росту нормы missing image file согласно тому же критерию.

В целом во всех проведенных численных экспериментах всегда подтверждалась достоверность критериев (5), (6), эквивалентных интегральной форме критериев (7), (8), остальные критерии, в зависимости от конкретной задачи, численно либо согласовались с ними, либо не оказывались с ними в противоречии.

Заключение

Изложен компьютерно-ориентированный метод анализа устойчивости решения системы ОДУ по сочетаниям знаков компонентов решения и их производных. Сформулированы необходимые и достаточные условия устойчивости в инвариантной форме, представлено их математическое обоснование. Выполнена алгоритмизация и инвариантная компьютерная реализация метода на основе приближенного решения системы. Представлен численный эксперимент, даны коды программ, описаны результаты их работы. Данные численного моделирования подтверждают предложенные аналитические условия устойчивости.


Библиографическая ссылка

Ромм Я.Е. КОМПЬЮТЕРНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЗНАКАМ КОМПОНЕНТОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ И ИХ ДВУХ ПРОИЗВОДНЫХ // Современные наукоемкие технологии. – 2021. – № 9. – С. 100-124;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38823 (дата обращения: 28.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674