Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МАССООБМЕНА В ОКРЕСТНОСТИ КАПЛИ С УЧЁТОМ ОБЪЁМНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ

Ахметов Р.Г. 1 Ложкина Е.В. 1
1 ФГБОУ ВО «Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы»
Исследуется задача о массообмене вне капли, обтекаемой потоком жидкости при наличии гомогенной химической реакции. Особенности задачи: 1) малые числа Рейнольдса, 2) большие значения диффузионного числа Пекле Pe, 3) большие значения константы скорости объёмной химической реакции kv. Этот случай, когда числа Pe, kv – соизмеримы, наиболее трудный для исследования. Задача сводится к исследованию полулинейного эллиптического уравнения со слабой нелинейностью. Это соответствует нелинейной химической реакции в среде вне капли. Малый параметр , что соответствует большим числам Пекле. При этом задача носит бисингулярный характер. Ранее был исследован случай объёмной химической реакции первого порядка (линейная задача). В бисингулярных задачах эффективным становится метод согласования асимптотических разложений. В окрестности капли естественным образом возникают несколько пограничных слоёв. В этом случае между соседними областями требуется задание условий согласования. В диффузионном пограничном слое получены главные члены асимптотик решений задачи. В работе показано, что в окрестности задней критической точки решение задачи существенно носит слабо нелинейный характер. Это влияет на характер массообмена и в следе за каплей.
асимптотическое разложение
конвективная диффузия
метод согласования
число Пекле
1. Животягин А.Ф. Влияние гомогенной химической реакции на распределение концентрации в диффузном следе капли // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика и механика. 1980. № 6. С. 73–78.
2. Favelukis M., Lavrenteva O.M., Nir A. On the evolution and breakup of slender drops in an extensional flow. Phys. Fluids. 2012. Vol. 24. P. 043101.
3. Favelukis M. On the diffusion around a slender drop in a simple shear flow, Can. J. Chem. Eng. 2017. Vol. 95. P. 1626–1630.
4. Favelukis M. Mass transfer around slender drops in an extensional flow: inertial effects at large Peclet numbers. Can. J. Chem. Eng. 2015. Vol. 93. P. 2274–2285.
5. Favelukis M. Mass transfer around a slender drop in a nonlinear extensional flow, Nonlinear Eng. 2019. Vol. 8. P. 117–126.
6. Favelukis M., Lavrenteva O.M. Mass transfer around oblate spheroidal drops in biaxial stretching motion. The Canadian Journal. 2013. Vol. 92. No. 5. P. 964–972.
7. Zhao J.F., Zhang L., Li Z.D., Qin W.T. Topological structure evolvement of flow and temperature fields in deformable drop Marangoni migration in microgravitv. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2011. Vol. 54. No. 21. P. 4655–4663. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2011.06.012.
8. Zhang Sh., Duan L., Kang Q. Experimental research on thermocapillary migration of drops by using digital holographic interferometry. Exp. Fluids. 2016. Vol. 57. No. 7. P. 113.
9. Полянин А.Д. Точные решения в неявном виде нелинейных уравнений конвективного массо- и теплопереноса с переменными коэффициентами // Вестник Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». 2019. Т. 8. № 5. C. 415–427.
10. Полянин А.Д. Редукции и новые точные решения уравнений конвективного тепло- и массопереноса с нелинейным источником // Вестник Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». 2018. Т. 7. № 6. C. 458–469.
11. Akhmetov R.G. Asymptotics of Solution for a Problem of Convective Diffusion with Volume Reaction Near a Spherical Drop. Proceedings of the Steclov Institute of Mathematics, Suppl. 1. 2003. P. S8–S12.
12. Ахметов P.Г., Милюкова А.В. Асимптотические решения задачи конвективной диффузии внутри капли, обтекаемой потоком жидкости // Современные наукоемкие технологии. 2018. № 9. C. 29–34.

Распределение концентрации удовлетворяет уравнению [1]

AHM02.wmf (1)

где число Пекле Pe = aU / D, kv – константа скорости объемной химической реакции, ∆ – оператор Лапласа. Поле скоростей AHM03.wmf определяется [1] функцией тока ψ(r, θ). Исследуется решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

C = 1 при r = 1; C→0 при r → ∞. (2)

В случае, когда числа Pe, kv – соизмеримы, наиболее трудный для исследования (величина μ = kv/Pe – постоянная). Задача сводится к исследованию полулинейного эллиптического уравнения со слабой нелинейностью, величина μ = kv/Pe – постоянная. В случае F(u) ≡ u асимптотика всюду вне капли построена в работе [1].

Задача массообмена тонкой капли в протяженном потоке исследована в работе [2], а в простом сдвиговом потоке в [3], при больших числах Пекле в [4], в нелинейном объемном потоке в [5]. В случаях деформированных капель задачи тепломассопереноса исследованы в работах [6–8]. А задачам конвективного массопереноса с переменными коэффициентами посвящены работы [9–10].

Пусть функция F(u) удовлетворяет условиям

AHM04.wmf и AHM05.wmf (3)

и справедливо разложение

AHM06.wmf (4)

при u → 0 и для некоторого k > 1.

Уравнение (1), с учетом обозначений ε = Pe-1/2 и μ = kv/Pe, приводим к виду

AHM07.wmf (5)

Цель исследования: построение асимптотики решения в малой окрестности капли, сначала в диффузионном пограничном слое исследуется асимптотика по малому параметру, далее вблизи точки стекания жидкости с капли исследуется асимптотика по пространственной переменной. Здесь используется техника исследования асимптотики средствами абстрактной математики в среде MAPLE и построена асимптотика на бесконечности. Далее, проводится компьютерное моделирование решений краевой задачи, используя построенную асимптотику. А затем в окрестности задней критической точки методом сращивания получен главный член асимптотики по параметру ε.

Диффузионный пограничный слой

В диффузионном пограничном слое асимптотика ищется в переменных AHM08.wmf. Тогда главный член c0(x, θ) строится как решение задачи

AHM09.wmf (6)

AHM10.wmf при AHM11.wmf (7)

В случае, когда AHM12.wmf удовлетворяет условиям (3), (4), при θ → 0 для определения v0(x) получаем задачу

AHM13.wmf (8)

AHM14.wmf при AHM15.wmf (9)

где AHM16.wmf. Справедлива теорема:

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3) и (4). Тогда при x → ∞ для решения уравнения (8) справедливо асимптотическое представление

AHM17.wmf (10)

где

AHM18.wmf

AHM19.wmf

AHM20.wmf

AHM21.wmf

AHM22.wmf

AHM23.wmf

AHM24.wmf

AHM25.wmf, и выполняются условия

AHM26.wmf для x > 0.

Доказательство теоремы. Сначала строится формальное асимптотическое решение вида (10). Для получения коэффициентов разложения применяются символьные вычисления в среде MAPLE.

Для начала в программе Maple набираем ряд для нахождения производных:

>AHM27.wmf

AHM28.wmf

AHM29.wmf

AHM30.wmf

Находим производную ряда:

>AHM31.wmf

>AHM32.wmf

AHM33.wmf

AHM34.wmf

AHM35.wmf

Вторая производная ряда находится:

>AHM36.wmf

>AHM37.wmf

AHM38.wmf

AHM39.wmf

AHM40.wmf

AHM41.wmf

AHM42.wmf

AHM43.wmf

Введем повторно ряд:

>AHM44.wmf

AHM45.wmf

AHM46.wmf

AHM47.wmf

Далее возводим набранный ряд в квадрат:

>AHM48.wmf

AHM49.wmf

AHM50.wmf

Возводим ряд в куб:

>AHM51.wmf

AHM52.wmf

Возводим ряд в четвертую степень:

>AHM53.wmf

AHM54.wmf

Набираем уравнение:

>AHM55.wmf

AHM56.wmf

Подставляем все найденные выражения в уравнение:

>AHM57.wmf

AHM58.wmf

AHM59.wmf

AHM60.wmf

AHM61.wmf

AHM62.wmf

AHM63.wmf

Из конечного выражения приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и получаем равенства для определения коэффициентов cj,i:

>AHM64.wmf

AHM65.wmf

>AHM66.wmf

AHM67.wmf

>AHM68.wmf

AHM69.wmf

>AHM70.wmf

AHM71.wmf

>AHM72.wmf

AHM73.wmf

>AHM74.wmf

AHM75.wmf

>AHM76.wmf

AHM77.wmf

>AHM78.wmf

AHM79.wmf

>AHM80.wmf

AHM81.wmf

>AHM82.wmf

AHM83.wmf

AHM84.wmf

Функция v0(x) ищется в виде суммы

AHM85.wmf (11)

где

AHM86.wmf (12)

для AHM87.wmf AHM88.wmf

Подставляя сумму (11) в уравнение (8), мы получаем задачу

AHM89.wmf (13)

AHM90.wmf (14)

где

AHM91.wmf (15)

Дальнейшее доказательство состоит в следующем. Аналогично работе [11] в левой части уравнения (13) выделяем линейную часть, а нелинейную часть переносим вправо.

AHM92.wmf (16)

где

AHM93.wmf

AHM94.wmf (17)

Для доказательства существования решения уравнения (16) исследуется однородное уравнение, затем задача сводится к решению интегрального уравнения.

Область задней критической точки

Решение задачи в пограничном слое задней критической точки строится в переменных AHM95.wmf AHM96.wmf Главный член асимптотики строится как решение уравнения

AHM97.wmf (18)

удовлетворяющее граничным условиям

AHM98.wmf при ξ = 0 (19)

и условию согласования

u(x, ξ) – u1(x) → 0 при ξ → ∞. (20)

Функция u1(x), построенная в теореме 1, удовлетворяет всем требуемым условиям (18)–(20).

Численное моделирование

Переходим к решению краевой задачи (8), (9). Здесь следует учесть, что в полученных разложениях (10) есть произвольная константа c1,0. Для того чтобы удовлетворить первому из ограниченных условий (9), то есть v(0) = 1, применяем теорему о непрерывной зависимости решения от параметров. Уравнение (8) перепишем в виде системы

AHM99.wmf (21)

Из условий устойчивости явных схем [12] следует, что следует интегрировать назад (т.е. с шагом h < 0). Начальные условия для системы (21) имеют вид

AHM100.wmf (22)

где постоянные v0, z0 определяются из выражения (10) и ее производной

AHM101.wmf

AHM102.wmf

В качестве промежутка для c1,0 зададим (a, b), где, например, a = 0,01, b = 20. Далее используем цикл с предусловием. Условие для цикла задаем: |y0 – 1| > ε, где y0 = v0(0). После указываем значение x = 150 и переходим к коэффициентам, которые задаются из формулы (10), а коэффициент c1,0 находим методом половинного деления, т.е. AHM103.wmf и далее уточняем приближения.

Рассмотрим случай, когда F(u) = u∙cos(u). Методом Рунге – Кутты получены следующие результаты:

μ = 0,5, y = 1,0000; z = -0,3427; c = 0,9540;

μ = 1, y = 1,0000; z = -0,6272; c = 0,9345;

μ = 3, y = 1,0000; z = -1,3495; c = 1,7560;

μ = 4,5, y = 0,9999; z = -1,7173; c = 4,6988;

μ = 5,5, y = 1,0000; z = -1,9253; c = 10,4955;

μ = 6, y = 1,0001; z = -2,0216; c = 16,2519.

Заключение

В работе показано, что в окрестности задней критической точки решение задачи существенно носит слабо нелинейный характер. Данный результат получен методом согласования асимптотики решения с асимптотикой решения в диффузионном пограничном слое.


Библиографическая ссылка

Ахметов Р.Г., Ложкина Е.В. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МАССООБМЕНА В ОКРЕСТНОСТИ КАПЛИ С УЧЁТОМ ОБЪЁМНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ // Современные наукоемкие технологии. – 2021. – № 6-1. – С. 9-16;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38690 (дата обращения: 21.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074