Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УЗЛА РАЗМОТКИ РУЛОНА ТЕКСТИЛЬНЫХ И ПОЛИГРАФИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Степанов П.Е. 1 Усов А.Г. 1
1 Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна
В статье рассматривается задача разработки математической модели узла размотки рулона. Предложена уточнённая математическая модель, учитывающая наличие сенсорного вала на участке между рулоном и парой тянущих валиков. Поперечное сечение рулона представлено спиралью с постоянным шагом, определяемым как длина нормали между любыми двумя соседними витками. Предполагается, что в рассматриваемой системе обеспечивается постоянство силы натяжения; в качестве тормоза рулона используется электродвигатель постоянного тока. С целью устранения искажений частотных характеристик, для исследования колебаний в системе рассматривается вариант с разомкнутым управлением; управляющее воздействие, подаваемое на электродвигатель, устанавливается равным номинальному, полученным в результате проведения касательной линеаризации в окрестностях режима стабилизации. В силу предположения о непостоянстве параметров гармоник частотный анализ скорости рулона выполняется с помощью локального преобразования Фурье. На основании полученных результатов можно сделать вывод, что колебания, инициируемые рулоном, имеют две основные частоты, на начальном этапе размотки слабо изменяющиеся линейно, обусловленные как задаваемой формой внешнего витка спирали поперечного сечения, так и смещением оси вращения рулона относительно центральной оси.
узел размотки
идеальный рулон
касательная линеаризация
спектрограмма колебаний
разомкнутое управление
1. Степанов П.Е., Усов А.Г., Блоков М.П. Разработка математической модели разматываемого рулона в листорезальной машине // Известия высших учебных заведений. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2019. № 3. С. 34–40.
2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. М.: Издательство «Высшая школа», 1966. 830 с.
3. Трение в подшипниках качения. [Электронный ресурс]. URL: http://www.detalmach.ru/spravka817.htm (дата обращения: 01.12.2020).
4. Коэффициент трения, допустимые окружные скорости подшипников качения. [Электронный ресурс]. URL: https://inzhener-info.ru/razdely/konstruirovanie/opory-kacheniya/koeffitsient-treniya-dopustimye-okruzhnye-skorosti-podshipnikov-kacheniya.html (дата обращения: 01.12.2020).
5. Герман-Галкин Сергей Германович MATLAB & SIMULINK. М.: Корона-Век, 2014. 368 с.
6. Математическая модель дпт. [Электронный ресурс]. URL: https://studfile.net/preview/6365744/page:11/ (дата обращения: 01.12.2020).
7. Линеаризация уравнения динамики. [Электронный ресурс]. URL: https://www.toehelp.ru/theory/tau/lecture03.htm (дата обращения: 01.12.2020).
8. Павлейно М.А., Ромаданов В.М. Спектральные преобразования в MATLAB: учебно-методическое пособие. [Электронный ресурс]. URL: https://dspace.spbu.ru/bitstream/11701/5516/1/Спектральные %20преобразования %20в %20MATLAB %20 %281 %29.pdf (дата обращения: 01.12.2020).
9. Spectrogram. [Электронный ресурс]. URL: https://www.mathworks.com/help/signal/ref/spectrogram.html (дата обращения: 01.12.2020).
10. Использование оконных функций в задачах цифрового спектрального анализа. Примеры и рекомендации. [Электронный ресурс]. URL: http://www.dsplib.ru/content/winex/winex.html (дата обращения: 01.12.2020).

В технологических процессах текстильной и лёгкой промышленности часто используется оборудование для размотки рулона как на этапе подготовительных работ, так и на этапе основного производства. Размотка рулона может осуществляться как непрерывно, так и с остановками для отмеривания необходимой длины. При размотке материала требуется обеспечить контроль ряда показателей, среди которых важнейшими являются скорость полотна и сила его натяжения. На эти показатели оказывают влияние некоторые факторы, среди которых присутствуют характеристики рулона (форма втулки, рулона, механические характеристики и состояние материала внутри рулона), характеристики системы размотки и системы управления, конструктивные особенности узла размотки. Какие-либо нарушения этих показателей, к примеру непостоянство силы натяжения полотна, могут привести к образованию петель, складок и т.п. Нарушение заданной скорости движения полотна сказывается как на силе натяжения, так и на колебаниях полотна, инициирующихся непосредственно рулоном.

При решении задач модернизации существующего оборудования проектируются новые системы управления устройств размотки. Следствием неидеальной формы рулона и погрешности установки рулона в машину является возникновение колебаний; очевидно, их параметры будут изменяться в процессе размотки ввиду изменений параметров рулона [1]. В проектируемой системе управления размоткой рулона должен обеспечиваться учёт указанных факторов.

В настоящей статье рассматривается задача разработки математической модели узла размотки с учётом геометрии втулки и рулона и расположения оси вращения втулки.

Материалы и методы исследования

В качестве примера рассмотрим узел размотки рулона, показанной на рис. 1, где 1 и 1' – пара разматывающих цилиндров, 2 – сенсорный вал, 3 – рулон, 4 – втулка, 5 – полотно материала. Обозначим: rн – радиус натяжения, rвр – радиус вращения, ω2 – угловая скорость рулона.

missing image file

Рис. 1. Схема узла размотки рулона

Будем считать рулон абсолютно твёрдым телом, вращающимся вокруг неподвижной оси О3z, перпендикулярной плоскости рисунка. При размотке рулона на него действует сила натяжения F, создающаяся разностью скоростей рулона и пары разматывающих цилиндров, момент силы трения в подшипниках качения в опорах Mт и момент, создаваемый электродвигателем в режиме противовключения Mд. Для рассматриваемой расчётной схемы нетрудно записать [2]:

missing image filemissing image file (1)

где Jp – момент инерции рулона. Момент трения подшипника в первом приближении можно описать как произведение радиальной нагрузки Fr, радиуса подшипника и коэффициента трения; в свою очередь, радиальная нагрузка определяется массой рулона [3, 4]:

missing image file (2)

где fт – коэффициент трения, rпш – радиус подшипника, Mр – масса рулона, g – ускорение свободного падения. Составлять уравнение будем относительно скорости рулона vр, для чего найдём её производную по времени:

missing image file (3)

объединяя (1), (2) и (3), после преобразований получаем

missing image file

missing image file (4)

где missing image file.

Момент инерции Jр является композицией функций missing image file. С учётом этого можно записать, что

missing image file. (5)

Аналогично выглядит выражение для производной от радиуса вращения. Подставим (5) в (4):

missing image file

missing image file. (6)

Получившееся выражение (6) является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно vр. Для его решения создадим S-модель в пакете Simulink программы MATLAB (рис. 2) [5]. В S-модели Mд = 0.

missing image file

Рис. 2. S-модель

Для моделирования использовались следующие исходные данные: поперечное сечение втулки представлено эллипсом с полуосями 36,1 мм и 39,9 мм, rсв = 100 мм, xсв = 1 м, поверхностная плотность полотна 60 г/м2, ширина полотна 1,2 м, Mр = 700 кг, F = 500 H. На рис. 3 показан график vр(t) при начальном условии vр(0) = 5 м/с, что соответствует работе системы в режиме стабилизации.

missing image file

Рис. 3. Зависимость линейной скорости при vр(0) = 5 м/с

Нетрудно догадаться, что при отсутствии тормозного момента, создаваемого электродвигателем или иным каким механическим устройством, в условии сохранения постоянной силы натяжения скорость рулона должна непременно возрастать, что и продемонстрировано на рис. 3. В режиме стабилизации скорость и сила натяжения полотна должны быть постоянными во избежание, к примеру, обрыва вследствие неконтролируемой подачи. Применение законов управления с обратной связью исказит частотные характеристики, в связи с чем воспользуемся разомкнутым управлением, задав некое номинальное управляющее воздействие. Составим выражение момента электродвигателя постоянного тока с постоянными магнитами [6]:

missing image file (7)

где се1 – константа противо э.д.с., ст1 – постоянная момента, R1 – сопротивление обмотки статора, u1 – напряжение, подаваемое на обмотку статора, – управляющее воздействие. Подставим (7) в (6):

missing image file. (8)

Уравнение (8) классифицируется как нелинейное и нестационарное, однако, строго говоря, в данной модели коэффициенты уравнения рассчитываются от угла поворота и ни прямой, ни неявной зависимости от времени нет. Можно свести уравнение (8) к нелинейному дифференциальному относительно γ(t), устранив тем самым нестационарность. Воспользуемся методом касательной линеаризации в окрестности номинального режима. Предварительно введём в рассмотрение номинальные, то есть желаемые значения регулируемых переменных и их отклонения: скорость – missing image file и управляющее воздействие – missing image file; безусловно, отклонения распространяются и на γ(t) [7]:

missing image file (9)

Найдём значение номинального управляющего воздействия, для чего примем x = 0, τ = 0:

missing image file.

Отсюда найдём

missing image file. (10)

Результат моделирования при vр(0) = 5 м/с, missing image file, missing image file, missing image file показан на рис. 4.

missing image file

Рис. 4. Зависимость vр(t)

Как видно из рис. 4, учёт в математической модели Мд обеспечил начальную стабилизацию «неколебательной» составляющей.

В силу изменения параметров колебаний, для частотного анализа воспользуемся локальным оконным преобразованием Фурье (ОПФ) и построим спектрограмму скорости рулона [8]. Как известно, локальное ОПФ подвержено принципу неопределённости, согласно которому невозможно получить одновременно хорошее разрешение по частоте и по времени. Анализу подвергается часть сигнала, принадлежащего временному интервалу missing image file с вычтенной полиномиально-аппроксимированной составляющей. Интервал квантования взят равным 0,001 с; частота дискретизации, следовательно, 1 кГц. Количество рассчитываемых временных интервалов kt в зависимости от длины исследуемого сигнала Nt, ширины оконной функции N и процента перекрытия p выражается следующей формулой [9]:

missing image file.

Ширину оконной функции можно выбрать, зная минимальное разрешение по частоте df, частоту дискретизации Fs и нормированную ширину главного лепестка АЧХ оконной функции по нулевому уровню F0 [10]:

missing image file.

Исходя из предположения, что частоты гармоник будут приблизительно кратны угловой скорости, а также основываясь на начальных данных, согласно которым угловая скорость в начале исследуемого процесса составит ≈ 3 рад/с, выберем максимальное значение минимального разрешения по частоте 0,7879 рад/с = 0,1254 Гц. В качестве оконной функции выберем окно Хэмминга с подавлением 42 дБ (F0 = 4), шириной 215 точек; перекрытие 75 %. Построим спектрограмму скорости рулона при тех же исходных параметрах (рис. 5); интенсивность цвета показывает амплитуду частотных составляющих.

missing image file

Рис. 5. Спектрограмма линейной скорости рулона

Как можно заметить, ОПФ выделяет две основные частоты: 10 и 20 рад/с , слабо изменяющиеся линейно.

Выводы

В данной статье было выполнено математическое моделирование рулона в узле размотки. Рассматривалось движение рулона под действием постоянной силы натяжения полотна материала в условиях отсутствия какого-либо тормозного элемента и при наличии электродвигателя постоянного тока, работающего в режиме противовключения. Как и ожидалось, отсутствие тормоза приводит к увеличению скорости рулона.

Применение электродвигателя как тормоза рулона привело к начальной стабилизации скорости рулона. Необходимо отметить, что получившаяся система классифицируется как система с разомкнутым управлением. Колебания скорости рулона, инициирующиеся самим рулоном, объясняются отсутствием обратной связи и основного алгоритма управления в системе.

Исследование получившихся результатов посредством оконного преобразования Фурье показало наличие двух основных гармоник с медленно изменяющимися частотами для выбранного интервала.

В дальнейшем полученные результаты будут использованы при моделировании узла размотки, всей перемоточной машины и синтезе алгоритма управления ей.


Библиографическая ссылка

Степанов П.Е., Усов А.Г. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УЗЛА РАЗМОТКИ РУЛОНА ТЕКСТИЛЬНЫХ И ПОЛИГРАФИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ // Современные наукоемкие технологии. – 2020. – № 12-2. – С. 317-323;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38449 (дата обращения: 26.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074