Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭВАКУАЦИИ ПЛОТНОГО ПЕШЕХОДНОГО ПОТОКА

Наумова Н.А. 1 Карачанская Т.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Кубанский государственный технологический университет»
Моделирование и планирование территорий, зданий и сооружений с учетом пешеходных потоков стало очень значимым в последнее время. При проектировании зданий аэропортов, торговых центров, спортивных и концертных площадок должна учитываться также возможность максимально безопасной эвакуации в случае чрезвычайных происшествий. Актуальной задачей является разработка математической модели, позволяющей определять параметры плотных пешеходных потоков для управления ими в режиме реального времени. В работе пешеходный поток рассматривается как случайный поток событий. Интервал между событиями – это время между двумя последовательными прибытиями пешеходов к линии с данной фиксированной координатой. Распределение интервалов принято подчиненным закону Эрланга шестого порядка. Для получения параметров эффективности эвакуации пешеходных потоков применялись методы теории массового обслуживания и теории случайных процессов. Разработан аналитический аппарат для определения среднего количества пешеходов в очереди перед эвакуационными выходами и характеристики ее длины. Рассмотрен также случай слияния нескольких потоков в один. Выведены вероятностные функции, характеризующие суммарный пешеходный поток. Представленная модель пешеходного потока позволяет в режиме реального времени по минимальному количеству исходных данных определять отдельные параметры эффективности организациии эвакуационного процесса.
пешеходный поток
математическая модель
случайный процесс
эвакуационный сценарий
организация движения
1. Helbing D., Molnar P. Social force model for pedestrian dynamics. «Physical Review E». 1995. No. 51(5). P. 4282–4286.
2. Johansson F. Microscopic Modelling and Simulation of Pedestrian Traffic. Lincoping University Department of Scince and Technology. Lincoping, Sweden. 2013. P. 119.
3. Carrillo J.A., Martin S., Wolfram M.-T. An improved version of the Hughes model for pedestrian ?ow. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2016. No. 26(04). P. 671–697.
4. Emiliano Cristiani, Benedetto Piccoli, and Andrea Tosin. Multiscale modeling of granular ?ows with application to crowd dynamics. Multiscale Modeling & Simulation. 2011. No. 9(1). P. 155–182.
5. Burger M., Hittmeir S., Ranetbauer H., Wolfram M.-T. Lane formation by side-stepping. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2016. No. 48(2). P. 981–1005.
6. Naumova N.A., Naumov R.A. Method of Solving Some Optimization Problems for Dynamic Traffic Flow Distribution. International Review on Modelling and Simulations. Italy. 2018. Vol. 11. No 4.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учеб. пособие для втузов. М.: Высш. шк., 2000. 480 с.
8. Cox D.R. Renewal theory. London: Methuen, 1962. P. 150.
9. Naumova N.A. Advanced optimization of road network: Pedestrian crossings with calling devices. International Journal of Emerging Trends in Engineering Research. 2020. No. 8 (1). P. 130–137.

Моделирование и планирование территорий, зданий и сооружений с учетом пешеходных потоков стало очень значимым в последнее время. В качестве примера можно привести здания аэропортов, торговых центров, ночных клубов, спортивных и концертных площадок. При их проектировании должна учитываться также возможность максимально безопасной эвакуации в случае чрезвычайных происшествий.

С этой целью разрабатываются модели пешеходных потоков, изучается и моделируется поведение людей в стандартных штатных ситуациях и в случае паники. В течение последних сорока лет разработана масса моделей различной степени детализации, для различных областей применения. Микроскопические модели определяют позицию и поведение отдельных пешеходов. Среди них следует отметить модель социальных сил и модель клеточных автоматов [1; 2] как наиболее популярные. Мезоскопические модели решают проблемы определения вероятности возникновения и величины очередей, скорости отдельных пешеходов, дистанции между ними. К ним относят, например, модель Больцмана. Макроскопические модели определяют глобальные параметры потока, такие как скорость и плотность [3; 4].

Несмотря на то что пешеходный поток гораздо менее организован, чем транспортный, существует феномен самоорганизации пешеходного потока [2; 5]. То есть без участия внешнего воздействия по прошествии некоторого времени поток пешеходов, движущихся в данном направлении, приобретает достаточно устойчивые параметры.

Актуальной задачей является разработка математической модели, позволяющей определять параметры плотных пешеходных потоков для управления ими в режиме реального времени.

Целью данной работы является разработка аналитического аппарата, позволяющего на мезоскопическом уровне определять параметры плотного пешеходного потока в случае эвакуационных сценариев.

Материалы и методы исследования

Многие модели пешеходных потоков на макроскопическом и мезоскопическом уровне построены по аналогии с потоками транспортных средств. С учетом эффекта самоорганизации потока пешеходов можем рассматривать его как случайный поток событий. Под событием будем понимать достижение пешеходом точки пространства с фиксированной координатой по направлению движения потока. Интервал между событиями – это время между двумя последовательными прибытиями пешеходов к линии с данной фиксированной координатой. По данным многочисленных исследований, плотный поток пешеходов согласуется с нормальным распределением. Для получения возможности применять методы теории массового обслуживания будем считать поток пешеходов подчиненным закону Эрланга, который при значении параметра k ≥ 5 близок к нормальному закону распределения. Аналогичная гипотеза была принята и подтверждена экспериментально автором данной статьи в модели транспортных потоков TIMeR_Mod [6].

Результаты исследования и их обсуждение

Как мы уже отметили, закон Эрланга при значениях параметра k ≥ 5 близок к нормальному и соответствует плотным потокам событий. Поэтому при эвакуации из мест массового скопления людей по узким коридорам поток пешеходов будем аппроксимировать законом Эрланга (как и транспортный). Для получения параметров эффективности эвакуации пешеходных потоков будем применять методы теории массового обслуживания и теории случайных процессов [7; 8].

1. Моделирование пешеходного потока как системы массового обслуживания

Пусть время обслуживания распределено по показательному закону с параметром μ. Поток заявок распределен по обобщенному закону Эрланга с параметрами λ0, λ1,…, λк порядка (k + 1). Обслуживаться могут не более n требований одновременно. Как известно, поток Эрланга порядка (k + 1) получается из простейшего, если оставить каждое (k + 1)-е событие, а промежуточные k отбросить. Поэтому для нахождения вероятности того, что обслуживается m (n > m) требований, применим метод псевдосостояний (рисунок).

Naumov1.wmf

Псевдосостояния распределения Эрланга порядка k + 1

В работе автора [9] при рассмотрении транспортных потоков уже были выведены формулы для выражения вероятности пребывания системы в данном псевдосостоянии. Поэтому сейчас воспользуемся готовым результатом.

Введем следующие обозначения:

pn(t), pn+1(t), …, pn+i(t), … пребывания системы в состояниях s0, s1, …, si, … соответственно;

Un+i – состояние системы, при котором все n каналов обслуживания заняты, в очереди i требований;

naumov02.wmf – вероятность пребывания системы в транзитивном состоянии naumov03.wmf;

naumov04.wmf – вероятность нахождения в очереди i требований в момент t.

Дифференциальные уравнения для определения вероятностей нахождения системы в транзитивных состояниях Un+i имеют вид:

naumov05.wmf (1)

Система дифференциальных уравнений для нахождения вероятностей наличия i требований в очереди:

naumov06.wmf naumov07.wmf 2)

Дифференциальное уравнение для момента, когда нет очереди и заняты m (m ≤ n) каналов обслуживания (состояние Um):

naumov08.wmf naumov09.wmf (3)

Для момента, когда система полностью свободна, дифференциальное уравнение имеет вид:

naumov10.wmf (4)

Обозначим naumov11.wmf, то есть rm(t) – вероятность пребывания системы в состоянии Um . Согласно законам теории вероятностей:

naumov12.wmf (5)

Тогда средняя ожидаемая длина очереди в момент времени t:

naumov13.wmf (6)

Решение данной системы дифференциальных уравнений для стацинарного процесса приведено в работе автора [9], поэтому приведем готовый результат:

naumov14.wmf (7)

naumov15.wmf naumov16.wmf (8)

naumov17.wmf naumov18.wmf (9)

Показатели эффективности функционирования системы при условии (α/n) < 1 следующие:

1) вероятность нахождения не более s требований в очереди равна:

naumov19.wmf (10)

2) математическое ожидание числа требований в очереди:

naumov20.wmf (11)

При вычислении показателей эффективности применялся метод псевдосостояний, при котором временная ось «растягивалась» в (k + 1) раз. Поэтому для «состыковки» результатов примем:

naumov21.wmf naumov22.wmf (12)

2. Определение параметров пешеходных потоков перед эвакуационным выходом

В формулах (12) mZ – среднее время обслуживания одного клиента. Рассматривая поток пешеходов как поток Пальма, в котором интервалы по времени имеют (специальный) закон распределения Эрланга с параметрами k = 6 и λ, получим следующие значения параметров:

naumov23.wmf naumov24.wmf (13)

Для определения среднего количества пешеходов в очереди перед эвакуационным выходом и вероятности нахождения в очереди не более s пешеходов следует подставить в формулы (10) и (11) значения, определяемые по формуле (13).

Суммарный поток, полученный при слиянии s плотных пешеходных потоков можно также аппроксимировать с помощью (специального) закона Эрланга порядка k = 6. Второй параметр распределения при этом определяется как сумма исходных:

naumov25.wmf (14)

Если при этом среднее время эвакуации через каждый из n выходов равно mZ, то среднее количество людей, скопившихся у выхода, вычисляетя по той же формуле:

naumov26.wmf (15)

где naumov27.wmf naumov28.wmf

3. Определение функции распределения суммарного потока, получаемого при слиянии s плотных пешеходных потоков

В пункте 2 для определения количества пешеходов в очереди мы предположили, что суммрный поток также имеет распределение Эрланга. Если требуется определить вероятность того, что за время T0 к точке пространства с фиксированной координатой в суммарном потоке не подойдет ни один пешеход, следует более точно определить функцию распределения суммарного потока.

Для вывода функции распределения интервалов по времени в суммарном потоке воспользуемся методом, приведенным в работе [7]. Пусть τ* произвольная точка в суммарном потоке naumov29.wmf, не совпадающая ни с одним из событий в независимых потоках naumov30.wmf. Тогда время, оставшееся до появления очередного события в суммарном потоке, равно naumov31.wmf.

В случае справедливости гипотезы о распределении интервалов в потоке по закону Эрланга, согласно теории случайных процессов, вероятности того, что время Q, прошедшее после последнего прибытия автомобиля, и время R, оставшееся до очередного прибытия, меньше некоторого наперед заданного значения Т0, выражаются формулами:

naumov32.wmf (16)

Здесь приняты обозначения:

naumov33.wmf naumov34.wmf (17)

Итак, функция распределения времени, оставшегося до наступления очередного события в потоке Эрланга порядка ki, имеет вид:

naumov35.wmf (18)

Функция распределения минимальной из s случайных величин определяется по формуле:

naumov36.wmf (19)

Функция распределения интервалов по времени T(s) в суммарном потоке П(s) определяется по формуле:

naumov37.wmf (20)

Математическое ожидание интервала между событиями в потоке Пi равно naumov38.wmf. Тогда

naumov39.wmf (21)

Найдем плотность распределения naumov40.wmf

naumov41.wmf

naumov42.wmf (22)

В частности, если сливаются два потока Пальма, интервалы по времени в котором распределены по (специальному) закону Эрланга порядка k = 6 с параметрами λ1 и λ2, то

naumov43.wmf (23)

Найдем производную, подставим в формулу (23) и упростим:

naumov44.wmf (24)

Таким образом, функция распределения интервалов по времени в потоке, полученном при слиянии двух пешеходных потоков, распределенных по закону Эрланга порядка k = 6 с параметрами λ1 и λ2, следующая:

naumov45.wmf (25)

где функция naumov46.wmf определяется по формуле (24), а математическое ожидание интервала между событиями равно:

naumov47.wmf (26)

Вероятность того, что за время T0 к точке пространства с фиксированной координатой в суммарном потоке не подойдет ни один пешеход:

naumov48.wmf (27)

А вероятность противоположного события, то есть того, что пойдойдет хотя бы один:

naumov49.wmf (28)

Заключение

Представленная модель пешеходного потока позволяет в режиме реального времени по минимальному количеству исходных данных определять отдельные параметры эффективности организации эвакуационного процесса. Кроме того, ее можно применять при организации улично-дорожного движения с целью определения задержек транспортных средств и пешеходов у перекрестков. Преимущество модели перед имитационными микромоделями заключается также в скорости расчетов с ее помощью благодаря аналитическому аппарату.


Библиографическая ссылка

Наумова Н.А., Карачанская Т.А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭВАКУАЦИИ ПЛОТНОГО ПЕШЕХОДНОГО ПОТОКА // Современные наукоемкие технологии. – 2020. – № 9. – С. 42-47;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38212 (дата обращения: 21.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074