Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ДИСПЕРСНО-АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИТА

Галиев И.М. 1 Самакалев С.С. 1
1 БУ ВО Ханты-Мансийского автономного округа – Югры «Сургутский государственный университет»
На современном этапе развития материалов и технологий их производства одним из наиболее перспективных материалов является фиброкомпозит. Конструкции из материала с дисперсным армированием обладают повышенной трещиностойкостью и прочностью. Моделирование композитного материала, хаотически заполненного тонкими фибрами, в настоящее время представляется крайне сложным из-за разницы в масштабах матрицы и армирующего наполнителя. В данной работе представлена конечноэлементная модель фиброкомпозита для определения упругих свойств конструкций из данного материала. В основе модели лежит предположение о слабом влиянии изгибных характеристик армирующего наполнителя – фибры на свойство материала, а существенным считается только влияние сжатия и растяжения фибры. Это позволило описать фибры стержневыми конечными элементами. Что позволило, не увеличивая размерность итоговой алгебраической системы уравнений, описывать упругое поведение композита, заполненного фибрами. Применяя вариационный принцип, получена система алгебраических уравнений для нахождения перемещений узлов шестигранного конечного элемента с фибрами, представленными стержневыми конечными элементами. Выполненные расчеты в компьютерной программе, составленной на основе данной модели, согласуются с результатами, полученными прямым методом с малым количеством фибр.
композит
композиционный материал
фибра
метод конечного элемента
фибробетон
1. Kar K.K. Composite Materials: Processing, applications, characterizations. Springer Berlin Heidelberg, 2017. DOI: 10.1007/978-3-662-49514-8.
2. Shi Yin. Development of Recycled Polypropylene Plastic Fibres to Reinforce Concrete. Springer, 2017. DOI: 10.1007/978-981-10-3719-1.
3. Singh H. Steel Fiber Reinforced Concrete: Behavior, Modelling and Design. Springer, 2016. DOI: 10.1007/978-981-10-2507-5.
4. Рабинович Ф.Н. Композиты на основе дисперсно-армированных бетонов. Вопросы теории и проектирования, технология, конструкции. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2011. 560 с.
5. Mittal V. Spherical and fibrous filler composites. Wiley-VCH, 2016. DOI: 10.1002/9783527670222.
6. Bouvet С. Mechanics of Aeronautical Composite Materials. Wiley-ISTE, 2017. DOI: 10.1002/9781119459057.
7. Huiming Y., Yingtao Z. Introduction to the Micromechanics of Composite Materials. CRC Press, 2016.
8. Li S., Jeanmeure L.F.C., Pan Q.J. A composite material characterisation tool: UnitCells. J. Eng. Math, 2015. Vol. 95. 279 p.
9. Liu G.R., Quek S.S. The Finite Element Method: A Practical Course. Elsevier, 2014. DOI: 10.1016/C2012-0-00779-X.

Как показывают исследования [1], дисперсное армирование, например, пластиковыми [2], стальными [3, 4], биологическими [5] волокнами улучшает механические характеристики материалов. Такое упрочнение основывается на предположении, что матрица композита перераспределяет напряжения по поверхности волокон. При модуле упругости волокна большем, чем матрицы, считается что основную часть приложенных напряжений воспринимают волокна, а общая прочность композиционного материала пропорциональна их объемному содержанию.

Существующие теории об определении упругих характеристик фиброкомпозитов основываются на различных гипотезах [6]. В большинстве случаев авторы используют эмпирические зависимости [7]. Экспериментальные данные, касающиеся модуля упругости фиброкомпозитов, также весьма противоречивы.

Введение коротких дискретных волокон в материал матрицы композита можно использовать для противодействия и предотвращения распространения трещин. Одной из основных проблем, препятствующих более широкому внедрению фиброкомпозитов, является отсутствие эффективных методов расчета конструкций из фиброкомпозитов на трещинообразование. Фиброкомпозит, в отличие от некомпозита, сохраняет прочность после образования трещин.

Численное исследование имеет первостепенное значение для описания локализации деформации и инициирования трещины, т.е. для определения условий возникновения сильных напряжений и, следовательно, появления трещин [8].

Цель исследования: построение упрощенной математической и соответствующей численной модели дисперсно-армированного композита.

Материалы и методы исследования

Используется вариационный метод построения системы уравнений метода конечных элементов. Будем рассматривать шестигранный конечный элемент [9] с включенными в него фибрами.

galiev1.tif

Шестигранный конечный элемент с двумя фибрами

В основе модели лежит предположение о слабом влиянии изгибных характеристик армирующего наполнителя – фибры на свойство материала, а существенным считается только влияние сжатия и растяжения фибры. Это позволило описать фибры стержневыми конечными элементами. Так что перемещения концов фибры выражаются через перемещения узлов конечного элемента, в котором находится фибра. Это позволило, не увеличивая размерность итоговой алгебраической системы уравнений, описывать упругое поведение композита, заполненного фибрами. Потенциальная энергия деформации в данном случае будет состоять из потенциальной энергии связующего всего элемента без фибр за вычетом потенциальной энергии связующего в области пространства, занимаемого фибрами и потенциальной энергии фибр.

Результаты исследования и их обсуждение

Для вывода уравнений понадобятся известные формулы теории упругости и метода конечных элементов [9]. Представим их здесь в матричном виде.

В матричной форме связь между деформацией ε и перемещением U и деформацией может быть записана в виде

galiev01.wmf (1)

где

galiev02.wmf

u, v, w – перемещение вдоль осей x, y, z соответственно.

Закон Гука в матричной форме: galiev03.wmf, где матрица c определяет упругие свойства материала, galiev04.wmf, galiev05.wmf – компоненты тензора напряжений.

Рассмотрим элемент с nd узлами, имеющими координаты xi (в трехмерном случае galiev06.wmf), где i – номер узла galiev07.wmf.
Представим функции (например, перемещение по оси x) следующим образом:

galiev08.wmf (2)

где galiev09.wmf. Для трехмерного шестигранного 8-узлового элемента:

galiev10.wmf.

Заметим, что количество компонент этого вектора равно количеству узлов элемента.

Коэффициенты αi определяются из условия равенства искомой функции (перемещений по оси x) в узлах (2) galiev11.wmf, т.е. из решения системы линейных алгебраических уравнений:

galiev12.wmf (3)

В матричной форме можем записать так

galiev13.wmf (4)

где galiev14.wmf и

galiev15.wmf

Из (4) можно получить galiev16.wmf. Подставляя это выражение в (2), получим

galiev17.wmf (5)

Где матрица N называется функцией формы:

galiev18.wmf

Состояние равновесия или движения деформируемых систем наряду с дифференциальными уравнениями может описываться с помощью вариационных принципов. Например, с помощью принципа наименьшего действия Гамильтона: из всех допустимых перемещений наиболее вероятным является перемещение, соответствующее минимуму функционала Лагранжа. Математически принцип Гамильтона выражается формулой: galiev19.wmf Функционал Лагранжа

galiev20.wmf (6)

где T – кинетическая энергия, П – потенциальная энергия (энергия деформированного тела), Wf – работа внешних сил.

galiev21.wmf (7)

где V – объем твердого тела, U – множество допустимых перемещений.

galiev22.wmf (8)

galiev23.wmf (9)

где Sf – поверхность тела, на которую действуют внешние силы, fb – плотность объемных сил, fs – плотность поверхностных сил.

После разбиения тела на конечные элементы необходимо деформации (перемещения) интерполировать некоторой функцией, используя значения перемещений в узлах элемента. Например, для перемещения по направлению оси x:

galiev24.wmf

где h означает приближенное слагаемое, nd – число узлов элемента, galiev25.wmf. Для трехмерной задачи:

galiev26.wmf (10)

где uh, vh, wh – приближенные значения перемещений вдоль осей x, y, z соответственно.

galiev27.wmf (11)

galiev28.wmf (12)

Матрица функций формы N будет иметь вид

galiev29.wmf,

где

galiev30.wmf

Так как согласно (1) galiev31.wmf, а согласно (10) galiev32.wmf, то выражение (8) будет выглядеть

galiev33.wmf

Обозначив

galiev34.wmf (13)

(матрица напряжений), получим

galiev35.wmf

Обозначим интеграл

galiev36.wmf (14)

и назовем его матрицей жесткости (для восьмиузлового элемента это матрица размера 24x24). Тогда

galiev37.wmf (15)

Аналогично рассмотрев выражение для кинетической энергии (7), получим

galiev38.wmf (16)

Введем обозначение galiev39.wmf и назовем эту матричную величину матрицей масс. Тогда (16) запишется в виде

galiev40.wmf (17)

Работа внешних сил (9) с учетом (10) запишется

galiev41.wmf

Введя обозначения galiev42.wmf и galiev43.wmf, получим

galiev44.wmf (18)

где galiev45.wmf – вектор действующих на элемент сил. Подставляя (16–18) в Лагранжиан (6), получим

galiev46.wmf (19)

Применяя принцип Гамильтона, получим: galiev47.wmf.

Потенциальная энергия в рассматриваемой задаче с фибрами будет состоять из: потенциальной энергии связующего всего элемента без фибр ПН за вычетом потенциальной энергии galiev48.wmf связующего в области пространства, занимаемого фибрами и потенциальной энергии фибр ПTi.

galiev49.wmf

где n – количество фибр, входящих в данный конечный элемент. Индекс T (truss) обозначает стержневой элемент, H (hexagon) – шестигранный элемент. Согласно определению матрицы жесткости (14):

galiev50.wmf galiev51.wmf

Согласно (13): galiev52.wmf. Элементы входящей в данное выражение матрицы galiev53.wmf будут определены ниже (21).

В глобальной системе координат матрица жесткости запишется в виде: galiev54.wmf, где T – матрица перехода от локальной системы координат, связанной с конечным элементом, к глобальной. Лагранжиан (19) будет выглядеть как

galiev55.wmf (20)

где galiev56.wmf galiev57.wmf galiev58.wmf ρ – плотность связующего, ρT – плотность фибры.

Согласно (3): galiev59.wmf, galiev60.wmf.

Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения galiev61.wmf: galiev62.wmf, где di – узловые перемещения (например, по оси x).

Тогда, с учетом (5):

galiev63.wmf,

где

galiev64.wmf (21)

galiev65.wmf

Из (11), (12) получим: galiev66.wmf, dej – вектор перемещения j-го узла: galiev67.wmf,

galiev68.wmf

Тогда galiev69.wmf galiev70.wmf galiev71.wmf galiev72.wmf galiev73.wmf galiev74.wmf где x1, x2 – радиусы векторы концевых точек i-й фибры. uH, vH, wH – векторы перемещений узлов шестигранника, соответствующие осям координат, например,

galiev75.wmf galiev76.wmf

Введем матрицу

galiev77.wmf

Тогда galiev78.wmf. Лагранжиан (20) будет выглядеть как

galiev79.wmf

Применяя принцип Гамильтона, окончательно получим систему алгебраических уравнений для нахождения перемещений узлов шестигранного конечного элемента с фибрами, представленными стержневыми конечными элементами:

galiev80.wmf

Заключение

На основе данной конечноэлементной модели составлена компьютерная программа, позволяющая рассчитывать прочность и жесткость конструкций из фиброкомпозита. Была проведена проверка модели на основе сравнения с результатами расчетов, полученными прямым методом в программе ANSYS Static Structural. Расчеты проводились только для конструкций с малым количеством фибр из-за большой вычислительной трудоемкости прямого метода. При данной проверке результаты обоих методов совпали.


Библиографическая ссылка

Галиев И.М., Самакалев С.С. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ДИСПЕРСНО-АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИТА // Современные наукоемкие технологии. – 2019. – № 11-2. – С. 258-263;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37801 (дата обращения: 17.08.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074