Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Куликова О.В. 1 Куликова И.В. 1

---

1 ФБГОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения»

Представлено методическое сопровождение использования статистических данных при изучении закона больших чисел в рамках дисциплины «Математика» на технических и экономических специальностях и направлениях подготовки в вузе. Оно дополняет дидактическое обеспечение, необходимое для более успешного освоения теории вероятностей. Предлагаемая иллюстрация содержания неравенств Маркова и Чебышева наглядно раскрывает закономерности случайных процессов и явлений. Применение электронных таблиц Excel в учебном исследовании отражает тенденции включения в образовательное пространство современных информационных технологий. Предложенное математическое моделирование вероятностных закономерностей в учебной деятельности выступает средством развития культуры мышления и творческих способностей студентов. Построение логически взаимосвязанных рассуждений при обобщении теоретического и эмпирического учебного материала создают благоприятные условия для формирования различных компетенций будущих инженеров и экономистов.

Статья в формате PDF

0 KB

теория вероятностей

закон больших чисел

случайная величина

статистические данные

учебное исследование

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 448 с.

2. Гнеденко Б.В. Очерк по истории теории вероятностей. – М.: Либроком, 2013. – 88 с.

3. Единая межведомственная информационно-статистическая система / Федеральная служба государственной статистики / Охрана окружающей среды и геолого-разведочные работы / Информация об охране атмосферного воздуха / Выбросы загрязняющих атмосферу веществ, отходящих от стационарных источников, за I полугодие / URL https://www.fedstat.ru/indicators/start.do (дата обращения: 27.02.2016).

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с.

5. Куликова О.В. Имитационное моделирование независимых повторных испытаний средствами Mathcad в учебном процессе вуза // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 3; URL: www.science-education.ru/ 109–9346 (дата обращения: 29.02.2015).

6. Куликова О.В., Куликова И.В. Применение вычислительного эксперимента для иллюстрации неравенства Чебышева в учебном процессе технического вуза // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 2; URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view id=12399 (дата обращения: 29.02.2016).

7. Куликова О.В., Чуев Н.П. Развитие творческих способностей и культуры мышления студентов вуза при изучении математики // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. – 2012. – № 3(15). – С. 120–128.

8. Минько А.А. Статистический анализ в MS Excel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 448 с.

9. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д. Письменный. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288 с.

Изучение теории вероятностей в курсе математики высшей школы на технических и экономических направлениях подготовки включает знакомство студентов с законом больших чисел (ЗБЧ). Термин ЗБЧ впервые появился в работах С. Пуассона в 1837 г. [2]. В настоящее время под ЗБЧ «естественно понимать всю совокупность предложений, утверждающих с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, что наступит некоторое событие, зависящее от неограниченно увеличивающего числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние» [1, с. 175]. В литературе, предназначенной для организации учебной деятельности студентов вуза, ЗБЧ представлен тремя теоремами (Бернулли, Чебышева, Пуассона) и двумя неравенствами (Маркова и Чебышева) [4, 9].

Изложению теорем Бернулли, Чебышева и Пуассона предшествует знакомство с неравенствами Маркова и Чебышева, понимание закономерностей которых позволяет не только успешно осваивать содержание теорем ЗБЧ, но и более эффективно познавать существенные взаимосвязи вероятностных процессов и явлений. Формирование понятий о соотношениях, отраженных в неравенствах Маркова и Чебышева, начинается с их определения, затем приводится аналитическое доказательство и предлагается для решения система типовых учебных заданий [4, 9]. Такое дидактическое сопровождение с обилием абстрактной символики и отдаленными от реальной действительности задачами не всегда приводит к успешному освоению содержания этих понятий студентами, планирующими получение профессионального образования, ориентированного на прикладное применение математических знаний и умений. В этом случае одним из вариантов достижения желаемых педагогических результатов выступает погружение студентов в выполнение лабораторных заданий.

Современный интернет и программное обеспечение персональных компьютеров, предоставляя огромные возможности в получении и преобразовании числовой и текстовой информации, выступают для преподавателя хорошей технологической основой построения разнообразных видов и форм учебных заданий. Применение имитационного моделирования и вычислительного эксперимента для создания благоприятных условий восприятия вероятностных соотношений при изучении ЗБЧ, предложено в публикациях [5, 6], а использование статистических данных при проведении лабораторного исследования представлено в данной работе.

Результаты исследования и их обсуждение

Построение математических суждений и умозаключений с опорой на моделирование существенных взаимосвязей всегда создают благоприятные условия для познания студентами окружающей действительности, а обобщение результатов учебного исследования выступает основой развития продуктивной мыслительной деятельности.

Идея освоения вероятностных закономерностей. Изучение неравенств Маркова и Чебышева в вузовском курсе математики, проводимое по схеме от определения к доказательству и решению типовых задач, дополняется лабораторно-практическим заданием по иллюстрации вероятностных закономерностей с привлечением статистических данных. Такой подход основывается на взаимосвязи классического и статистического определений вероятности события. Информацию о значениях различных социальных, экономических, технологических, экологических и других показателей можно найти на сайте Федеральной службы государственной статистики (www.gks.ru).

Реализация методической идеи имеет три составляющие:

1) методическая разработка выполнения лабораторно-практического задания;

2) организация исследовательской деятельности студентов на учебных занятиях;

3) анализ продуктивности мыслительной деятельности субъектов образовательного процесса.

Предлагаемое лабораторно-практическое задание «Проверка адекватности математических моделей неравенств ЗБЧ» включает две части: иллюстрация вероятностных закономерностей неравенства Маркова и иллюстрация вероятностных закономерностей неравенства Чебышева. Прохождение каждой части лабораторно-практического задания распределяется на четыре этапа:

1) определение функциональных зависимостей;

2) составление наглядной модели дискретной случайной величины;

3) построение графических моделей функциональных зависимостей;

4) интерпретация полученных результатов.

Иллюстрация вероятностных закономерностей неравенства Маркова. Неравенство Маркова утверждает, что для любого положительного числа а, вероятность P(X ≥a) того, что неотрицательная случайная величина Х превысит или будет равна а, ограничена сверху величиной, равной отношению её математического ожидания MX к числу a.

Первый этап. Запись неравенства Маркова имеет вид [4, 9]

(1)

Математическое ожидание MX вычисляется по формуле [4, 9]

(2)

где xi – i-е значение дискретной случайной величины Х; n – количество значений дискретной случайной величины Х.

Если положительное число а в неравенстве (1) рассматривать как независимую переменную, то можно ввести две функциональные зависимости f1(a) = P(X ≥ a) и f2(a) = MX / a.

Второй этап. Наглядной моделью дискретной случайной величины Х может служить совокупность статистических данных о каком-либо показателе. Например, выберем Х как выбросы загрязняющих атмосферу веществ, отходящих от стационарных источников, за первое полугодие 2015 г. в различных субъектах Российской Федерации [3] (упорядоченные по возрастанию значения Х представлены в табл. 1).

Количество значений n случайной величины Х равно 83, минимальное и максимальное значения равны соответственно 0,23 и 689,68. Математическое ожидание MX, вычисленное по формуле (2), равно 87,57. Значения выбранного экологического показателя измеряются в тоннах.

Третий этап. Построение графиков функций f1(a) и f2(a) осуществляется через нахождение координат их точек. Область определения функций f1(a) и f2(a) в этой ситуации целесообразно задать интервалом [0,1; 700], так как P(X ≥ 0,1) = 1, а P(X ≥ 700) = 0.

Таблица 1

Значения случайной величины Х

Рис. 1. Графические модели функций f1(a) и f2(a)

Значения функции f1(a) вычисляются по формуле

(3)

где m(a) – количество значений Х ≥ а (устанавливается непосредственным подсчетом).

Зафиксируем значения функций f1(a) и f2(a) в табл. 2, а их изображение представим на рис. 1.

Таблица 2

Значения функции f1(a) и f2(a)

Четвертый этап. График функции f1(a) располагается ниже графика функции f2(a), следовательно, выполняется неравенство f1(a) ≤ f2(a). Это иллюстрирует тот факт, что вероятность P(X ≥ a) ограничивается сверху отношением МХ / а, согласно неравенству (1).

Иллюстрация вероятностных закономерностей неравенства Чебышева. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число а, вероятность P(|X – MX| ≥ a) того, что случайная величина Х абсолютно отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на a, ограничена сверху величиной, равной отношению её дисперсии DX к квадрату числа a.

Первый этап. Запись неравенства Чебышева имеет вид [4, 9]

(4)

Дисперсия DX для дискретной случайной величины вычисляется по формуле [4, 9]

(5)

Если положительное число a выразить в единицах стандартного отклонения σ и ввести случайную величину , то неравенство (4) можно записать в виде

(6)

где k – кратность σ.

Исследуемые функциональные зависимости принимают вид t1(k) = P(X ≥ k) и t2(k) = 1/k2.

Второй этап. Преобразование совокупности статистических данных (табл. 1) для получения наглядной модели осуществляется через изменение всех значений Х. Дисперсия DX, вычисленная по формуле (5), равна 16780,39. Стандартное отклонение σ = 129,54. Значения случайной величины , упорядоченные по возрастанию, представлены в табл. 3.

Минимальное и максимальное значения случайной величины равны соответственно 0,015 и 4,648.

Третий этап. Построение графиков функций t1(k) и t2(k) осуществляется через нахождение координат их точек. Область определения функций задается интервалом [0,01; 5], так как , а . Значения функции t1(k) вычисляются по формуле

(7)

где m(k) – количество значений (устанавливается непосредственным подсчетом).

Зафиксируем значения функций t1(k) и t2(k) в табл. 4, а их изображение представим на рис. 2.

Четвертый этап. График функции t1(k) располагается ниже графика функции t2(k), следовательно, выполняется неравенство t1(k) ≤ t2(k). Это иллюстрирует тот факт, что вероятность ограничивается сверху отношением 1/k2, согласно неравенству (6).

Таблица 3

Значения случайной величины

Рис. 2. Графические модели функций t1(k) и t2(k)

Таблица 4

Значения функции t1(k) и t2(k)

Выполнение студентами лабораторно-практического задания «Проверка адекватности математических моделей неравенств ЗБЧ» предусматривает активное использование электронных таблиц Excel [8]. Визуализация соотношений левых и правых частей в неравенствах Маркова и Чебышева осуществляется через изображение взаимного расположения графиков функциональных зависимостей. Возможности электронного процессора автоматизируют вычислительные процессы, необходимые для преобразования и упорядочивания статистических данных, нахождения значений характеристик случайных величин, построения графиков. Представленная технология организации учебной деятельности позволяет использовать данные материалы как методическое сопровождение при организации самостоятельной работы студентов.

Изучение неравенств Маркова и Чебышева студентами технических и экономических специальностей и направлений подготовки в вузовском курсе математики может осуществляться в следующей последовательности:

1) символьное и вербальное определение неравенств;

2) аналитическое доказательство для дискретных и непрерывных случайных величин;

3) выполнение представленного лабораторно-практического задания;

4) решение учебных задач.

Прохождение отмеченных этапов при изучении ЗБЧ требует активизации интеллектуальной деятельности студентов, что создает условия для развития их культуры мышления и творческих способностей в учебном процессе [7].

Заключение

Построение аналитико-синтетических рассуждений и умозаключений при доказательстве математических теорем и формул не всегда приводит студентов не математических специальностей и направлений подготовки в вузе к пониманию отображаемых в символьной форме существенных взаимосвязей объективной реальности, поэтому применение наглядных образов понятий и графических моделей расширяет систему дидактического сопровождения для познания окружающей действительности. Предложенное дополнение к методическим материалам по изучению ЗБЧ ставит своей целью включение студентов в исследовательскую деятельность, которая требует освоения теории и практики в диалектическом единстве.

Библиографическая ссылка