Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ НЕРАВЕНСТВ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В ВУЗОВСКОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Куликова О.В. 1 Куликова И.В. 1
1 ФБГОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения»
Представлено методическое сопровождение использования статистических данных при изучении закона больших чисел в рамках дисциплины «Математика» на технических и экономических специальностях и направлениях подготовки в вузе. Оно дополняет дидактическое обеспечение, необходимое для более успешного освоения теории вероятностей. Предлагаемая иллюстрация содержания неравенств Маркова и Чебышева наглядно раскрывает закономерности случайных процессов и явлений. Применение электронных таблиц Excel в учебном исследовании отражает тенденции включения в образовательное пространство современных информационных технологий. Предложенное математическое моделирование вероятностных закономерностей в учебной деятельности выступает средством развития культуры мышления и творческих способностей студентов. Построение логически взаимосвязанных рассуждений при обобщении теоретического и эмпирического учебного материала создают благоприятные условия для формирования различных компетенций будущих инженеров и экономистов.
теория вероятностей
закон больших чисел
случайная величина
статистические данные
учебное исследование
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 448 с.
2. Гнеденко Б.В. Очерк по истории теории вероятностей. – М.: Либроком, 2013. – 88 с.
3. Единая межведомственная информационно-статистическая система / Федеральная служба государственной статистики / Охрана окружающей среды и геолого-разведочные работы / Информация об охране атмосферного воздуха / Выбросы загрязняющих атмосферу веществ, отходящих от стационарных источников, за I полугодие / URL https://www.fedstat.ru/indicators/start.do (дата обращения: 27.02.2016).
4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с.
5. Куликова О.В. Имитационное моделирование независимых повторных испытаний средствами Mathcad в учебном процессе вуза // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 3; URL: www.science-education.ru/ 109–9346 (дата обращения: 29.02.2015).
6. Куликова О.В., Куликова И.В. Применение вычислительного эксперимента для иллюстрации неравенства Чебышева в учебном процессе технического вуза // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 2; URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view id=12399 (дата обращения: 29.02.2016).
7. Куликова О.В., Чуев Н.П. Развитие творческих способностей и культуры мышления студентов вуза при изучении математики // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. – 2012. – № 3(15). – С. 120–128.
8. Минько А.А. Статистический анализ в MS Excel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 448 с.
9. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д. Письменный. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288 с.

Изучение теории вероятностей в курсе математики высшей школы на технических и экономических направлениях подготовки включает знакомство студентов с законом больших чисел (ЗБЧ). Термин ЗБЧ впервые появился в работах С. Пуассона в 1837 г. [2]. В настоящее время под ЗБЧ «естественно понимать всю совокупность предложений, утверждающих с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, что наступит некоторое событие, зависящее от неограниченно увеличивающего числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние» [1, с. 175]. В литературе, предназначенной для организации учебной деятельности студентов вуза, ЗБЧ представлен тремя теоремами (Бернулли, Чебышева, Пуассона) и двумя неравенствами (Маркова и Чебышева) [4, 9].

Изложению теорем Бернулли, Чебышева и Пуассона предшествует знакомство с неравенствами Маркова и Чебышева, понимание закономерностей которых позволяет не только успешно осваивать содержание теорем ЗБЧ, но и более эффективно познавать существенные взаимосвязи вероятностных процессов и явлений. Формирование понятий о соотношениях, отраженных в неравенствах Маркова и Чебышева, начинается с их определения, затем приводится аналитическое доказательство и предлагается для решения система типовых учебных заданий [4, 9]. Такое дидактическое сопровождение с обилием абстрактной символики и отдаленными от реальной действительности задачами не всегда приводит к успешному освоению содержания этих понятий студентами, планирующими получение профессионального образования, ориентированного на прикладное применение математических знаний и умений. В этом случае одним из вариантов достижения желаемых педагогических результатов выступает погружение студентов в выполнение лабораторных заданий.

Современный интернет и программное обеспечение персональных компьютеров, предоставляя огромные возможности в получении и преобразовании числовой и текстовой информации, выступают для преподавателя хорошей технологической основой построения разнообразных видов и форм учебных заданий. Применение имитационного моделирования и вычислительного эксперимента для создания благоприятных условий восприятия вероятностных соотношений при изучении ЗБЧ, предложено в публикациях [5, 6], а использование статистических данных при проведении лабораторного исследования представлено в данной работе.

Результаты исследования и их обсуждение

Построение математических суждений и умозаключений с опорой на моделирование существенных взаимосвязей всегда создают благоприятные условия для познания студентами окружающей действительности, а обобщение результатов учебного исследования выступает основой развития продуктивной мыслительной деятельности.

Идея освоения вероятностных закономерностей. Изучение неравенств Маркова и Чебышева в вузовском курсе математики, проводимое по схеме от определения к доказательству и решению типовых задач, дополняется лабораторно-практическим заданием по иллюстрации вероятностных закономерностей с привлечением статистических данных. Такой подход основывается на взаимосвязи классического и статистического определений вероятности события. Информацию о значениях различных социальных, экономических, технологических, экологических и других показателей можно найти на сайте Федеральной службы государственной статистики (www.gks.ru).

Реализация методической идеи имеет три составляющие:

1) методическая разработка выполнения лабораторно-практического задания;

2) организация исследовательской деятельности студентов на учебных занятиях;

3) анализ продуктивности мыслительной деятельности субъектов образовательного процесса.

Предлагаемое лабораторно-практическое задание «Проверка адекватности математических моделей неравенств ЗБЧ» включает две части: иллюстрация вероятностных закономерностей неравенства Маркова и иллюстрация вероятностных закономерностей неравенства Чебышева. Прохождение каждой части лабораторно-практического задания распределяется на четыре этапа:

1) определение функциональных зависимостей;

2) составление наглядной модели дискретной случайной величины;

3) построение графических моделей функциональных зависимостей;

4) интерпретация полученных результатов.

Иллюстрация вероятностных закономерностей неравенства Маркова. Неравенство Маркова утверждает, что для любого положительного числа а, вероятность P(X ≥a) того, что неотрицательная случайная величина Х превысит или будет равна а, ограничена сверху величиной, равной отношению её математического ожидания MX к числу a.

Первый этап. Запись неравенства Маркова имеет вид [4, 9]

kul01.wmf (1)

Математическое ожидание MX вычисляется по формуле [4, 9]

kul02.wmf (2)

где xi – i-е значение дискретной случайной величины Х; n – количество значений дискретной случайной величины Х.

Если положительное число а в неравенстве (1) рассматривать как независимую переменную, то можно ввести две функциональные зависимости f1(a) = P(X ≥ a) и f2(a) = MX / a.

Второй этап. Наглядной моделью дискретной случайной величины Х может служить совокупность статистических данных о каком-либо показателе. Например, выберем Х как выбросы загрязняющих атмосферу веществ, отходящих от стационарных источников, за первое полугодие 2015 г. в различных субъектах Российской Федерации [3] (упорядоченные по возрастанию значения Х представлены в табл. 1).

Количество значений n случайной величины Х равно 83, минимальное и максимальное значения равны соответственно 0,23 и 689,68. Математическое ожидание MX, вычисленное по формуле (2), равно 87,57. Значения выбранного экологического показателя измеряются в тоннах.

Третий этап. Построение графиков функций f1(a) и f2(a) осуществляется через нахождение координат их точек. Область определения функций f1(a) и f2(a) в этой ситуации целесообразно задать интервалом [0,1; 700], так как P(X ≥ 0,1) = 1, а P(X ≥ 700) = 0.

Таблица 1

Значения случайной величины Х

0,23

8,61

13,33

20,19

39,98

63,05

95,3

149,27

494,85

0,96

8,99

13,55

21,06

45,06

63,83

96,47

150,68

673,09

1,1

9,37

14,08

24,22

46,26

66,57

98,08

151,7

689,68

1,42

9,38

15,63

26,8

48,66

67,19

100,46

214,06

 

2,87

10,34

15,89

30,03

52,32

74,8

102,76

224,74

 

4,13

10,45

16,13

31,87

53,53

79,13

119,56

226,61

 

5,15

11,35

16,54

33,7

55,32

79,49

125,2

304,02

 

5,45

12,38

16,84

36,38

58,3

80,1

135,38

311,19

 

5,64

12,59

19

36,44

61,64

80,21

140,8

323,22

 

6,77

12,96

19,52

38,82

62,7

85,64

141,51

336,02

 

kulik1.wmf

Рис. 1. Графические модели функций f1(a) и f2(a)

Значения функции f1(a) вычисляются по формуле

kul03.wmf (3)

где m(a) – количество значений Х ≥ а (устанавливается непосредственным подсчетом).

Зафиксируем значения функций f1(a) и f2(a) в табл. 2, а их изображение представим на рис. 1.

Таблица 2

Значения функции f1(a) и f2(a)

№ п/п

а

m(a)

f1(a)

f 2(a)

1

0,1

83

1

875,7

2

50

39

0,47

1,75

3

100

20

0,24

0,87

4

200

10

0,12

0,45

5

500

2

0,02

0,17

6

700

0

0

0,12

Четвертый этап. График функции f1(a) располагается ниже графика функции f2(a), следовательно, выполняется неравенство f1(a) ≤ f2(a). Это иллюстрирует тот факт, что вероятность P(X ≥ a) ограничивается сверху отношением МХ / а, согласно неравенству (1).

Иллюстрация вероятностных закономерностей неравенства Чебышева. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число а, вероятность P(|X – MX| ≥ a) того, что случайная величина Х абсолютно отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на a, ограничена сверху величиной, равной отношению её дисперсии DX к квадрату числа a.

Первый этап. Запись неравенства Чебышева имеет вид [4, 9]

kul04.wmf (4)

Дисперсия DX для дискретной случайной величины вычисляется по формуле [4, 9]

kul05.wmf (5)

Если положительное число a выразить в единицах стандартного отклонения σ kul06.wmf и ввести случайную величину kul07.wmf, то неравенство (4) можно записать в виде

kul08.wmf (6)

где k – кратность σ.

Исследуемые функциональные зависимости принимают вид t1(k) = P(X ≥ k) и t2(k) = 1/k2.

Второй этап. Преобразование совокупности статистических данных (табл. 1) для получения наглядной модели kul09.wmf осуществляется через изменение всех значений Х. Дисперсия DX, вычисленная по формуле (5), равна 16780,39. Стандартное отклонение σ = 129,54. Значения случайной величины kul10.wmf, упорядоченные по возрастанию, представлены в табл. 3.

Минимальное и максимальное значения случайной величины kul12.wmf равны соответственно 0,015 и 4,648.

Третий этап. Построение графиков функций t1(k) и t2(k) осуществляется через нахождение координат их точек. Область определения функций задается интервалом [0,01; 5], так как kul13.wmf, а kul14.wmf. Значения функции t1(k) вычисляются по формуле

kul15.wmf (7)

где m(k) – количество значений kul16.wmf (устанавливается непосредственным подсчетом).

Зафиксируем значения функций t1(k) и t2(k) в табл. 4, а их изображение представим на рис. 2.

Четвертый этап. График функции t1(k) располагается ниже графика функции t2(k), следовательно, выполняется неравенство t1(k) ≤ t2(k). Это иллюстрирует тот факт, что вероятность kul17.wmf ограничивается сверху отношением 1/k2, согласно неравенству (6).

Таблица 3

Значения случайной величины kul11.wmf

0,015

0,117

0,263

0,395

0,495

0,567

0,604

0,668

3,144

0,057

0,157

0,272

0,411

0,513

0,571

0,607

0,669

4,52

0,058

0,162

0,29

0,416

0,52

0,573

0,61

0,674

4,648

0,06

0,183

0,3

0,416

0,525

0,576

0,624

0,976

 

0,062

0,189

0,319

0,43

0,529

0,579

0,632

1,059

 

0,065

0,192

0,328

0,444

0,546

0,58

0,634

1,073

 

0,069

0,2

0,367

0,469

0,548

0,588

0,636

1,671

 

0,081

0,226

0,369

0,476

0,551

0,595

0,644

1,726

 

0,099

0,247

0,376

0,487

0,553

0,596

0,654

1,819

 

0,1

0,249

0,395

0,489

0,555

0,604

0,665

1,918

 

kulik2.wmf

Рис. 2. Графические модели функций t1(k) и t2(k)

Таблица 4

Значения функции t1(k) и t2(k)

№ п/п

k

m(k)

t1(k)

t2(k)

1

0,01

83

1

10000

2

1

9

0,11

1

3

2

3

0,04

0,25

4

4

2

0,02

0,0625

5

5

0

0

0,04

Выполнение студентами лабораторно-практического задания «Проверка адекватности математических моделей неравенств ЗБЧ» предусматривает активное использование электронных таблиц Excel [8]. Визуализация соотношений левых и правых частей в неравенствах Маркова и Чебышева осуществляется через изображение взаимного расположения графиков функциональных зависимостей. Возможности электронного процессора автоматизируют вычислительные процессы, необходимые для преобразования и упорядочивания статистических данных, нахождения значений характеристик случайных величин, построения графиков. Представленная технология организации учебной деятельности позволяет использовать данные материалы как методическое сопровождение при организации самостоятельной работы студентов.

Изучение неравенств Маркова и Чебышева студентами технических и экономических специальностей и направлений подготовки в вузовском курсе математики может осуществляться в следующей последовательности:

1) символьное и вербальное определение неравенств;

2) аналитическое доказательство для дискретных и непрерывных случайных величин;

3) выполнение представленного лабораторно-практического задания;

4) решение учебных задач.

Прохождение отмеченных этапов при изучении ЗБЧ требует активизации интеллектуальной деятельности студентов, что создает условия для развития их культуры мышления и творческих способностей в учебном процессе [7].

Заключение

Построение аналитико-синтетических рассуждений и умозаключений при доказательстве математических теорем и формул не всегда приводит студентов не математических специальностей и направлений подготовки в вузе к пониманию отображаемых в символьной форме существенных взаимосвязей объективной реальности, поэтому применение наглядных образов понятий и графических моделей расширяет систему дидактического сопровождения для познания окружающей действительности. Предложенное дополнение к методическим материалам по изучению ЗБЧ ставит своей целью включение студентов в исследовательскую деятельность, которая требует освоения теории и практики в диалектическом единстве.


Библиографическая ссылка

Куликова О.В., Куликова И.В. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ НЕРАВЕНСТВ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В ВУЗОВСКОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 10-2. – С. 342-346;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=36332 (дата обращения: 18.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074