Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С УРАВНЕНИЕМ ВЛАГОПЕРЕНОСА В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ

Кумыков В.К. 1 Водахова В.А. 1 Езаова А.Г. 1
1 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
Настоящая работа посвящена исследованию вопроса однозначной разрешимости нелокальной задачи со смещением, содержащей дробные производные Римана – Лиувилля в краевом условии, для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Методом интегралов энергии доказана теорема единственности при определенных ограничениях неравенственного типа на известные функции. Для доказательства существования решения поставленной задачи получены функциональные соотношения между следом искомой функции и производной от него, принесенные на линию вырождения из параболической и гиперболической частей смешанной области. При выполнении условий теоремы единственности методом Трикоми существование решения задачи эквивалентно редуцировано к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно следа производной искомого решения, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения поставленной задачи. Установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной на однозначную разрешимость задачи. Исследованы дифференциальные свойства полученного решения.
нелокальная задача со смещением
метод интегралов энергии
операторы дробного интегро-дифференцирования
интегральное уравнений Фредгольма второго рода
однозначная и неоднозначная разрешимость задачи
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
2. Водахова В.А., Эржибова Ф.А., Тлупова Р.Г., Болова Д.А. Нелокальная краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 4–5. – С. 876–879.
3. Езаова А.Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // Известия Кабардино-Балкарского государственного университета. – 2011. – Т. 1. – № 4. – С. 26–31.
4. Елеев В.А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением на характеристиках смешенного уравнения гиперболо-параболического типа // Национальная Академия наук Украины. Украинский математический журнал. – 2000. – Т. 52. – № 5. – С. 707–716.
5. Лебедев Н.Н. специальные функции и их приложения. – М.-Л., 1963. – 358 с.
6. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физический журнал. – 1965. – Т. 9. – № 3. – С. 287–304.
7. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
8. Репин О.А, Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. – 2012. – № 9(100). – С. 52–60.
9. Репин О.А, Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. – 2013. – № 1(30). – С. 150–158.
10. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа в силу теоретической и прикладной важности является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными и привлекает внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и ее приложениями. В частности, многие математические модели тепло- и массообмена в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного типа.

Необходимость рассмотрения уравнений гиперболо-параболического типа была замечена в 1959 г. И.М. Гельфандом при рассмотрении задачи, связанной с движением газа в канале, окруженном пористой средой. В канале движение описывается волновым уравнением, вне его – уравнением диффузии. Смешанные гиперболо-параболические уравнения лежат в основе математических моделей различных природных явлений. Локальные и нелокальные задачи для таких уравнений встречаются в теории распространения электромагнитных полей, при изучении математических моделей, описывающих влияние растительного покрова на теплообменные процессы в почве и приземном воздухе, при котором возникает необходимость исследования задачи для двух уравнений: уравнения Аллера переноса влаги, предполагающего бесконечную скорость распространения возмущения, и уравнения А.В. Лыкова [6], учитывающего конечную скорость.

Краевые задачи для уравнений нечетного порядка с кратными характеристиками возникают при изучении распространения нелинейных волн в слабодиспергирующих средах.

В настоящее время актуальность исследований нелокальных краевых задач для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа второго и более высокого порядков можно обосновать внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, получением новых результатов в теории дробного интегро-дифференцирования, а также их прикладным значением.

Цель исследования – доказать однозначную разрешимость задачи с дробными производными в краевом условии для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего уравнение А.В. Лыкова в гиперболической части.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

kumykov01.wmf (1)

где λ – действительная постоянная, причём kumykov02.wmf в конечной области Ω ограниченной отрезками AA0, BB0, A0B0 прямых x = 0, x = 1, y = 1, лежащих в полуплоскости y > 0 и характеристиками kumykov03.wmf kumykov04.wmf уравнения (1).

Пусть kumykov05.wmf kumykov06.wmf kumykov07.wmf, где I – интервал 0 < x < 1 прямой y = 0.

Задача.

Требуется найти функцию

kumykov08.wmf kumykov09.wmf

являющуюся решением уравнения (1) при y ≠ 0 и удовлетворяющую условиям

kumykov10.wmf kumykov11.wmf 0 ≤ y ≤ 1; (2)

kumykov12.wmf (3)

kumykov13.wmf (4)

где φi(y), i = 1, 2, 3, α(x), β(x), c(x), d(x), γ(x), ω(x), δ(x) – заданные функции, причем kumykov14.wmf kumykov15.wmf kumykov16.wmf kumykov17.wmf kumykov18.wmf θ0(x), θ1(x) – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I с характеристиками AC, BC соответственно, kumykov19.wmf – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [10].

Задача (1)–(4) относится к классу краевых задач со смещением [7]. Задачи со смещением исследовались в работах [2–4, 7–9].

Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)–(4), если

kumykov20.wmf в Ω1, (5)

где N – постоянная величина, удовлетворяющая условию

kumykov21.wmf b(x, y) > ρ > 0, b(x, 0) = const ≠ 0; (6)

kumykov22.wmf (7)

а также либо

kumykov23.wmf kumykov24.wmf kumykov25.wmf (8)

и выполняются условия

kumykov26.wmf (9)

kumykov27.wmf kumykov28.wmf (10)

kumykov29.wmf (11)

либо

kumykov30.wmf kumykov31.wmf kumykov32.wmf kumykov33.wmf (12)

kumykov34.wmf (13)

kumykov35.wmf kumykov36.wmf kumykov37.wmf (14)

Действительно, решение задачи Коши для уравнения (1) в области Ω2 при kumykov38.wmf имеет вид [1]

kumykov39.wmf, (15)

где kumykov40.wmf.

Удовлетворяя (15) условию (4) при выполнении условий теоремы (12)–(14), получим соотношение между τ(x) и ν(x), принесенное из области Ω2 на I

kumykov41.wmf (16)

Аналогично при выполнении условий (8)–(11)

kumykov42.wmf (17)

Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (12)–(14). Для этого покажем, что интеграл kumykov43.wmf не может быть отрицательным.

В самом деле, при γ(x) = 0 из (16) получим соотношение

kumykov44.wmf

где kumykov45.wmf kumykov46.wmf

kumykov47.wmf

Следовательно,

kumykov48.wmf

Воспользуемся известной формулой для гамма функции [5]

kumykov49.wmf

Полагая в ней kumykov50.wmf kumykov51.wmf, получим

kumykov52.wmf

Откуда

kumykov53.wmf

Поменяв порядок интегрирования, а затем интегрируя по частям, в результате несложных вычислений будем иметь

kumykov54.wmf (18)

При выполнении условий (12)–(14) теоремы единственности I* ≥ 0.

С другой стороны, переходя в уравнении (1) к пределу при y > +0, будем иметь

kumykov55.wmf (19)

Подставляя ν(x) из (19) в kumykov56.wmf при выполнении условий (5)–(7) теоремы получим

kumykov57.wmf. (20)

Отсюда заключаем, что I* = 0. Поскольку слагаемые в правых частях (18) и (20) неотрицательны, то они также равны нулю. В частности, из (18)

kumykov58.wmf kumykov59.wmf

Так как t –1/2 ≥ 0, то kumykov60.wmf kumykov61.wmf для всех t ∈ (0, ∞) в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2... При этих значениях t функции sin tξ, cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2. Следовательно, ν(ξ) = 0 почти всюду, а так как ν(x) непрерывна по условию, то ν(x) = 0 всюду. Отсюда при γ(x) = 0 из (16) получим τ(x) = 0. Таким образом, решение задачи (1)–(4) u(x, y) ≡ 0 в Ω2 как решение Коши (15) с нулевыми данными, а в области Ω1 как решение однородной задачи (1)–(3).

Пусть теперь выполняются условия (9)–(11)теоремы. При γ(x) = 0 из (17) имеем

kumykov62.wmf

где kumykov63.wmf kumykov64.wmf kumykov65.wmf

Вводя обозначения kumykov66.wmf kumykov67.wmf вычислениями, аналогичными предыдущим, получим

kumykov68.wmf

При выполнении условий (9)–(11) теоремы I* ≥ 0 и учитывая (20) можно заключать, что I* = 0. Отсюда следует, что τi(x) = 0, i = 1, 2 и, следовательно τ(x) = 0. Из (17) при γ(x) = 0 имеем ν(x) = 0. Таким образом, как и ранее, u(x, y) ≡ 0 в Ω.

Для доказательства существования решения задачи (1)–(4) проинтегрируем трижды равенство (18). В результате будем иметь

kumykov69.wmf (21)

При выполнении условий (8)–(9) подставив ν(x) из (18) в (21) получим уравнение

kumykov70.wmf (22)

где kumykov71.wmf

kumykov72.wmf

выражаются через известные функции.

Уравнение (22) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода [1], безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи.

Решение уравнения (22) может быть найдено по формуле

kumykov73.wmf

где R(x, t) – резольвента ядра.

При выполнении условий (12)–(13) вопрос разрешимости задачи (1)–(4) также редуцирован к вопросу разрешимости уравнения Фредгольма второго рода относительно ν(x) со слабой особенностью в ядре и гладкой правой частью, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи.


Библиографическая ссылка

Кумыков В.К., Водахова В.А., Езаова А.Г. ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С УРАВНЕНИЕМ ВЛАГОПЕРЕНОСА В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 9-1. – С. 67-72;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=36179 (дата обращения: 19.07.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674