Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТООПТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БОРНОВСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Базыкин С.Н. 1 Базыкина Н.А. 1 Кучумов Е.В. 1 Чураков П.П. 1
1 ГОУ ВПО «Пензенский государственный университет»
В статье проведено теоретическое рассмотрение вопросов акустооптического рассеяния света на ультразвуке в акустооптических лазерных интерферометрах информационно-измерительных систем. Определено, что одним из основных элементов информационно-измерительных систем на основе лазерных интерферометров является акустооптический модулятор, в котором происходит взаимодействие оптических и ультразвуковых волн в результате дифракции света на ультразвуке. Показано, что акустооптическое взаимодействие представляет собой процесс рассеяния оптического поля на вариациях оптической неоднородности среды, создаваемой акустическими волнами. В статье делается вывод о том, что моделирование акустооптического рассеяния света на ультразвуке с использованием борновского приближения позволяет решить сложную задачу построения интерференционной картины, которую можно использовать для анализа метрологических характеристик информационно-измерительных систем с использованием лазерных интерферометров.
акустооптическое взаимодействие
акустооптический модулятор
борновское приближение
информационно-измерительная система
интерференционная картина
оптические и акустические волны
1. Базыкин С.Н. Анализ помехоустойчивости информационно-измерительных систем / Базыкин С.Н., Базыкина Н.А. // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 3. – С. 19–22.
2. Базыкин С.Н. Принципы построения и состояние производства информационно-измерительных систем линейных перемещений / С.Н. Базыкин, Н.А. Базыкина, Н.П. Кривулин // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1; URL: http://www.science-education.ru/121-17219.
3. Ландау Л.Д. Теоретическая физика / Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Уч. пособ. для вузов. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. – 5-е изд., стереот. – М.: Физматлит, 2001. – 736 с.
4. Шутилов В.А. Основы физики ультразвука // Учеб. пособ. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. – 280 с.
5. Руденко О.В. Теоретические основы нелинейной акустики / Руденко О.В., Солуян С.И. – М.: Наука, 1975. – 287 с.
6. Ландсберг Г.С. Оптика // Учеб. пособие для вузов. – 6-е изд., стереот. – М.: Физматлит, 2003. – 848 с.
7. Сивухин Д.В. Общий курс физики // Уч. пособ. для вузов. В 5 т. Т. IV. Оптика. – 3-е изд., стереот. – М.: Физматлит, 2005. – 792 с.
8. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / Тихонов А.Н., Самарский А.А. // Уч. пособие. – 6-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 799 с.

Метрологические требования контроля автоматизированного технологического оборудования имеют тенденцию к увеличению числа параметров контроля, что приводит к созданию измерительных систем, качество которых во многом зависит от точностных характеристик входящих в их состав устройств. К таким системам относятся измерительные системы, в состав которых входят акустооптические лазерные интерферометры, работающие на принципах гетеродинной лазерной интерферометрии [1, 2].

Одним из основных элементов акустооптических лазерных интерферометров является акустооптический модулятор, в котором происходит взаимодействие оптических и ультразвуковых волн в результате дифракции света на ультразвуке.

Акустооптическое взаимодействие представляет собой процесс рассеяния оптического поля на вариациях оптической неоднородности среды, создаваемых акустическими волнами. Акустическое поле, возбуждаемое в пространстве, образует в среде светозвуковода сложное распределение показателя оптического преломления среды.

Рассмотрим распространение акустических колебаний ультразвукового диапазона малой амплитуды в прямоугольном волноводе, заполненном немагнитной диэлектрической жидкостью. Будем отталкиваться от фундаментального уравнения акустики [3]

baz01.wmf, (1)

где baz02.wmf – оператор Лапласа в декартовых координатах; ?(x, t) – потенциал скоростей, т.е. baz03.wmf или baz04.wmf; baz05.wmf, ?0 – равновесная плотность жидкости. Связь изменения локальной плотности жидкости с потенциалом скорости ? выразится следующим образом [4]:

baz07.wmf. (2)

В одном из торцов волновода расположен источник ультразвуковых волн, противоположный торец устроен так, чтобы не создавать отражённых волн в объёме волновода. Начало координат совпадает с центром излучателя, ось Ox совпадает с осью волновода, оси Oy и Oz перпендикулярны стенкам волновода, а в местах с координатами baz08.wmf, baz09.wmf имеются оптически-прозрачные окна (рис. 1).

bazik1.wmf

Рис. 1. Схема распространения акустических колебаний в прямоугольном волноводе

Излучатель представляет собой пьезокварцевую пластинку, колеблющуюся по толщине. В этом случае излучатель будет генерировать плоские акустические волны, распространяющиеся вдоль оси Ox [3, 4]:

baz10a.wmf

baz10b.wmf, (3)

где ?a – частота колебаний излучателя, Ka = (ka, 0, 0) – волновой вектор, baz11.wmf – волновое число, ? – коэффициент поглощения ультразвуковой волны в результате вязких потерь.

Акустические волны распространяются вдоль волновода без искажения в соответствии с законами геометрической акустики, так как имеют малую длину волны и сохраняют плоскую волну при распространении в волноводе [4]. Таким образом, вследствие малой амплитуды, можно пренебречь такими эффектами, как акустическое течение, деформация волнового фронта около стенок волновода и т.п. [4, 5].

Подставляя (3) в (2), получаем выражение для изменений локальной плотности среды:

baz12a.wmf

baz12b.wmf.

Плотность среды ? определяется выражением

baz13a.wmf

baz13b.wmf. (4)

Рассмотрим связь плотности жидкости ? с её абсолютным показателем преломления n. Известно [6, 7], что связь показателя преломления с микроскопическими характеристиками среды выражается следующим образом:

baz14.wmf, (5)

где N – число молекул в единице объёма; ? – поляризуемость молекул среды.

Учитывая, что N = ?/?, где ? – молярная масса вещества, выражение (5) можно переписать в следующем виде:

baz15.wmf. (6)

Уравнения изменения напряженности световой электромагнитной волны для вектора напряженности электрического поля через оптически неоднородную среду определяется выражением [6, 7]:

baz16.wmf. (7)

Так как среда представляет собой жидкость немагнитную и диэлектрическую (поляризация волны не играет роли), можно описать ее с помощью вектора одной из её проекций E(x, y, z, t) [6, 7, 8]. С учётом данного замечания и выражений (4) и (6), уравнение (7) перепишется в виде

baz17.wmf

или

baz18.wmf, (8)

где

baz19.wmf.

Так как значения оптических частот намного больше акустических baz20.wmf, то можно воспользоваться так называемым бриллюэновским квазистатическим приближением и считать, что u(r, t) ? u(r) (рис. 2), предполагая акустическую волну неподвижной в процессе рассеяния, а ?at в выражении baz21.wmf рассматривать как параметр.

Представив решение уравнения (8) в виде baz22.wmf, приходим к следующему уравнению:

baz23.wmf, (9)

где baz24.wmf, baz25.wmf.

Используя функцию Грина, с учетом baz26.wmf и уравнения (8), переходим от уравнения (9) к интегральному уравнению

baz27a.wmf

baz27b.wmf, (10)

где baz28.wmf представляет собой решение уравнения (9) для ? = 0 и удовлетворяющее соответствующим граничным условиям.

bazik2.tif

Рис. 2. Функция baz29.wmf для t = 0

Трехмерное сингулярное интегральное уравнение имеет вид:

baz30.wmf

baz31.wmf. (11)

Вследствие малого значения амплитуды акустической волны, т.е. при малом значении второго слагаемого уравнения (8), напряжённость E на выходе из области взаимодействия с акустическим полем можно представить в виде

baz32.wmf, (12)

где E0 – невозмущённая составляющая напряженности световой волны, E’ – рассеянная составляющая, baz33.wmf.

Подставляем (12) в (8). После отбрасывания членов порядка выше первого получаем следующее неоднородное уравнение:

baz34a.wmf

baz34b.wmf. (13)

Рассмотрим наиболее важный практический случай, когда падающая и рассеянная волны монохроматичны, то есть:

baz35.wmf,

baz36.wmf. (14)

Точка над функцией означает умножение на ei?t. Подставляя (14) в (13) и сокращая множитель baz37.wmf, окончательно приходим к неоднородному уравнению Гельмгольца:

baz38.wmf. (15)

В первом борновском приближении теории возмущений [8] решение уравнения (15) можно представить в виде

baz39.wmf, baz40.wmf.

Наиболее интересным является случай, когда V – объём в виде прямоугольного параллелепипеда baz41.wmf; baz42.wmf; baz43.wmf со сторонами a, b и c (a ? b ? с) и k = (0, k, 0) – плоская волна. Тогда:

baz44.wmf. (16)

К сожалению, факторизовать ядро в выражении (16) в декартовых координатах невозможно. Это не позволяет получить аналитическое выражение или хотя бы упростить данный интеграл. Поэтому целесообразно рассматривать интерференционную картину на плоскости baz45.wmf, ? > 0, оставаясь в области, где интеграл (16) не является сингулярным.

При описании интерференции интенсивность света определяют по усреднённому по времени квадрату напряженности [6, 7]:

baz46.wmf. (17)

Для случая монохроматических волн уравнение (17) будет иметь вид

baz47.wmf, (18)

где * означает комплексное сопряжение.

На рис. 3 представлена интерференционная картина, рассчитанная по предложенной методике, для следующих значений параметров: t = 0 сек, a = b = c 10–2 м, xcp 10–2 м, ? = 5?10–2, ? = 1,5?10–30 м3, ?0 = 103 кг/м3, ? = 18 а.е.м. = 3?10–26 кг, va = 1,4?103 м/с, ?a = 6? ?106 рад/с, vc = 3?108 м/с, ?c = 1015 рад/с, k = 4,3? ?106 рад/м, ? = 2,4?103 рад/м, ka = 103 рад/м, ? = 0,5 м-1.

bazik3.tif

Рис. 3. Интерференционная картина акустооптического взаимодействия

Вернёмся к уравнению (9) и представим решение в следующем виде:

baz48.wmf. (19)

Подставив (19) в (9), после сокращения на eiky, придём к уравнению

baz49.wmf. (20)

Применим к уравнению (20) метод разделения переменных (метод Фурье) и представим решение уравнения в факторизованном виде [6]:

baz50.wmf. (21)

После подстановки (21) в (20), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений со следующими граничными условиями:

baz51.wmf, (22)

baz52.wmf, (23)

baz53.wmf. (24)

Условия (24) для уравнения (23) подразу мевают, что стенки у волновода на рис. 1 сделаны из светоотражающего материала, за исключением оптически-прозрачных окон. Решение (23) с граничными условиями (24) имеет вид

baz54.wmf.

Таким образом, в описании акустооптического взаимодействия возможно применение борновского приближения. Однако стоит отметить, что даже при вычислении интеграла (16) приходится использовать нестандартные подходы, т.к. интегрируемая часть является сильноосциллирующей функцией и данный вопрос требует отдельного рассмотрения.

Моделирование акустооптического взаимодействия с использованием борновского приближения позволяет решить достаточно сложную задачу построения интерференционной картины, которую можно использовать для анализа метрологических характеристик информационно-измерительных систем с использованием лазерных интерферометров.


Библиографическая ссылка

Базыкин С.Н., Базыкина Н.А., Кучумов Е.В., Чураков П.П. МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТООПТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БОРНОВСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 12-1. – С. 9-13;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=35196 (дата обращения: 03.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074