Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Колеснёв А.С. 1 Котин А.И. 1 Матвеева Т.А. 1 Зотова С.А. 1
1 Волжский политехнический институт
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.Численные методы.Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 636 с.
2. Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. Математическая статистика. Учебное пособие. ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград, 2010. – 160 с.
3. Агишева Д.К., Зотова С.А., Светличная В.Б., Матвеева Т.А. Методы принятия оптимальных решений. Часть 1: учебное пособие / ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011. – 155 с.

Очень часто для практических целей приходится обрабатывать экспериментальные данные так, чтобы по возможности точно отобразить общую закономерность зависимостиy от x, но вместе с тем сгладить случайные уклонения, связанные с неизбежными погрешностями самого наблюдения. Для решения подобных задач обычно применяется расчетный метод наименьших квадратов, разработанный знаменитыми математиками К. Гауссом и А. Лежандром.

Этот метод дает возможность при заданном типе зависимости matm101.wmf так выбрать ее числовые параметры, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой обращалась в минимум.

Мы рассмотрели применение данного метода к решению прикладной задачи: торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 12 магазинов. Руководство предприятия хотело бы знать, как зависит размер годового товарооборота от торговой площади магазина.

Для определения вида зависимости наших экспериментальных данных построим диаграмму рассеяния. Введем обозначения: пусть xk – площадь k-го магазина, тыс. м2; yk – годовой товарооборот k-го магазина, млн руб.

xk

yk

0,24

19,76

0,35

35,09

0,48

40,95

0,55

41,08

0,78

56,29

0,94

68,51

0,98

75,01

1,12

89,05

1,21

91,13

1,25

94,26

1,29

99,84

1,49

108,55

matmet7.tiff

Диаграмма рассеивания экспериментальных данных

По внешнему виду данной диаграммы можно сделать выводо линейной зависимости.

В случае линейной зависимости сглаживающей кривой matm104.wmf минимизируем функцию

matm105.wmf.

Для этого необходимо, чтобычастные производные первого порядка функции по параметрам a и b равнялись нулю. В итоге получим систему линейных уравнений

matm108.wmf

Вспомогательные вычисления производили в Excel. В нашем случае система имеет вид

matm109.wmf

Решив её по правилу Крамера, получили неизвестные параметры a и b; и сглаживающая кривая примет вид: matm112.wmf.

matmet8.tiff

Из этого следует, что при увеличении торговой площади на 1 тыс. м2 среднегодовая прибыль увеличивается на 71,26 млн руб.

Метод наименьших квадратов очень широко применяется в настоящее время в самых разных сферах жизни нашего общества. Его основным достоинством является простота и достаточно высокая точность.Хотелось бы отметить, что в результате выполнения работы данного вида мы получили навыки работы с этим методом, получили новые научные знания.


Библиографическая ссылка

Колеснёв А.С., Котин А.И., Матвеева Т.А., Зотова С.А. СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 193-193;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=34065 (дата обращения: 22.02.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674