Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДСТВ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ

Немцова А.В. 1 Попова С.В. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики : учеб.- справоч. пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин; под ред. Н.Ш. Кремера. – М. Высшее образование, 2007.
2. Комплект рабочих тетрадей по курсу высшей математики для экономических специальностей / О.В. Морозова, А.Ф. Долгополова, С.В.Попова, Р.В.Крон, Н.Б.Смирнова, Е.В.Долгих, Н.Н.Тынянко // Международный журнал экспериментального образования. 2009. № 4. С. 22.
3. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры // Аграрная наука, творчество, рост: Сборник научных статей по материалам научно-практической конференции. – Ставрополь, из-во «АГРУС» 2013. С. 266-268.

В данной статье рассмотрим, как и для чего можно использовать матрицы в экономике, как решаются некоторые экономические задачи, анализируются и делаются из них определенные выводы.

Как известно, матрицей размераназывается прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов, в ячейках которой расположены элементы произвольного заранее выбранного множества – это могут быть целые, действительные или комплексные числа, векторы, рациональные функции – в зависимости от приложений и задач.

Матрицы получили широкое применение в математике потому, что благодаря их использованию, можно компактно записыватьразличные данные, системы линейных алгебраических илидифференциальных уравнений и т.д. В случае систем число уравнений соответствует количеству строк матрицы, а количество неизвестных – количеству столбцов. В результатезаписи систем линейных уравнений с помощью матриц их решение сводится к операциям над матрицами.

Понятие матрицы и матричная алгебра – математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами – имеют довольно большое значение для экономистов. Это обусловлено тем, что большая часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в довольно простой, а главное – компактной матричной форме.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Для примера рассмотрим таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (условных единиц):

Ресурсы

Отрасли экономики

Машиностроение

Строительство

Электроэнергия

7,3

4,1

Трудовые ресурсы

4,8

8,2

Водные ресурсы

2,7

5,1

Мы можем записать её в более компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

prilm33.wmf.

Отсюда, матричный элемент a11=7,0 показывает, сколько электроэнергии расходует машиностроение, а элемент a22=8,2 – сколько трудовых ресурсов требуется строительной отрасли.

Для наглядности перейдём к рассмотрению задач.

Предположим, предприятие выпускает продукцию трёх видов: P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы расходаэтого сырья характеризуются следующей матрицей

prilm34.wmf,

в которой каждый элемент prilm35.wmfprilm36.wmf показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой.

А стоимость единицы каждого типа сырья (денежных единиц) – матрицей столбцом:

prilm39.wmf.

Отсюда получаем, что затраты на первое и на второе сырьё составляют:

prilm40.wmf единиц

и prilm41.wmf единиц,

поэтому можем записать матрицу-строку затрат сырья S как произведение:

prilm42.wmf.

Значит, общая стоимость сырья prilm43.wmf денежных единиц тоже может быть записана в матричном виде:

prilm44.wmf.

Так же общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: для начала необходимо вычислить матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, то есть:

prilm45.wmf.

А после этого общую стоимость сырья:

prilm46.wmf.

На этом примере мы наблюдаем выполнение ассоциативного закона произведения матриц: prilm47.wmf.

Множество экономических задач можно свести к системам линейных уравнений. Для наглядного примера рассмотрим следующую задачу.

Мебельная фабрика специализируется на выпуске трех видов изделий: диванов, кресел и кроватей. При этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода каждого этого сырья на один вид изделий и объем его расхода на один день заданы таблицей:

Виды сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие,

условных единиц

Расход сырья на 1 день,

условных единиц

Диваны

Кресла

Кровати

S1

3

0

2

180

S2

1

4

1

160

S3

6

0

3

330

Чему равен ежедневный объем выпуска каждого вида изделия?

Решение сведём к системе линейных уравнений.

Пусть ежедневно фабрика выпускает x1. диванов, x2 кресел, x3 кроватей. Тогда в соответствии с расходами на сырьё изделий каждого вида, получим систему:

prilm51.wmf

Эту систему можно решать различными методами. Мы применим метод Крамера, для чего составим и вычислим главный определитель системы

prilm52.wmf.

Так как он отличен от нуля, то система совместна, а значит, имеет единственное решение. Составим и вычислим вспомогательные определители prilm53.wmf, где prilm54.wmf:

prilm55.wmf, prilm56.wmf, prilm57.wmf.

Применяя формулы Крамера, получим решение задачи с точки зрения математики:

prilm58.wmf, prilm59.wmf,

prilm60.wmf.

Учитывая, что решение задачи должно быть целочисленным, из полученных значений переменных системы приходим к выводу, что ежедневно мебельная фабрика выпускает 40 диванов, 22 кресла и 30 кроватей.

Проанализировав применение матричной алгебры в экономике, можно прийти к выводу, чтоиспользование матриц имеет свои достоинства и недостатки.

Недостатки. Они заключаются в том, чтоматричная алгебра не обеспечивает реальных рекомендаций по разработке специфических стратегий; по матрицам невозможно определить сферы бизнеса, которые готовы стать победителями.

Достоинстваприменения матриц в следующем:

– они используют широкий набор стратегически значимых переменных; указывают направление движения ресурсов;

– позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал, различные исходные данные, характеризующие уровень, структуру, особенности социально-экономического комплекса.

При наличии отрицательных моментов применения матричной алгебры положительная часть значительно обширнее.

Из выше рассмотренного можно сделать вывод:роль матриц в экономике очень и очень велика. Ведь благодаря их использованию можно гораздо быстрее, чем с использованием какого-либо другого математического аппарата, и проще решить многие экономические задачи, что чрезвычайно важно для экономистов.


Библиографическая ссылка

Немцова А.В., Попова С.В. ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДСТВ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 171-172;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=34049 (дата обращения: 22.02.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674