Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ И СОСТОЯНИЯ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ

Агафонова Н.П. 1 Орехова Н.В. 1 Мелешко С.В. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Р.Н. Взвешенный метод наименьших квадратов.– Математические методы в экономике. – М.: Дис, 1997.
2. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Функции нескольких переменных в моделировании экономических процессов // Аграрная наука, творчество, рост. – Ставрополь, из-во «АГРУС», 2013. – Т.1,Ч.1. – С. 286.
3. Родина Е.В., Саакян Л.Г., Федорец Н.П. Экономический смысл производной //Современные наукоемкие технологии. – 2013. № 6. С. 83-84.
4. Экономическая теория: учебник под редакцией Е.Н. Лобачевской – 2-е изд., Москва. Высшее образование, 2008.
3. Донец З. Г.,Мамаев И. И., Шибаев В. П.Учебная организация как целостная модель организации обучения студентов на интегративной основе//Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики : сборник научных статей по материалам научно-практической конференции. – Ставрополь: изд-во «АГРУС», 2012. – С. 40-48.

Математика – царица наук. Это выражение вовсе не случайно, ведь математика играет огромную роль в развитии всех остальных наук. Но наибольшее влияние она оказывает на смежные науки, такие как: экономическая теория, политэкономия, макроэкономика, микроэкономика.

В нашей статье мы хотим раскрыть взаимосвязь микроэкономики и математики.

Рынок, с точки зрения купли продажи, – это сфера взаимодействия спроса и предложения. Из этого следует вывод, что спрос и предложение являются основными составляющими рынка. В их взаимодействии формируются цены на различные товары и услуги. Экономическая наука занимается изучением механизма их взаимодействия. Для этого спрос и предложение отображаются графически, т.е. на основании полученных данных на координатной плоскости откладываются точки, где у – значение цены, а х – объем спроса или предложения. Но математика позволяет на основании этих данных составить уравнение функции, для этого используется метод наименьших квадратов.

До начала XIX в. учёные не имели определённых правил для решения системы уравнений, в которой число неизвестных меньше, чем число уравнений. До этого времени применялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от логики вычислителей, и потому разные математики, приходили к различным выводам. Гауссу, в 1795 году, принадлежит первое применение метода, а Лежандр, в 1805 году, независимо от Гаусса открыл и опубликовал этот же метод. Лаплас связал метод с теорией вероятностей, а американский математик Эдрейн рассмотрел его теоретико-вероятностные приложения. Метод распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Энке, Бесселя, Ганзена и других.

Сущность этого метода заключается в следующем: из множества формул вида y=f(x) наилучшим образом изображающей взятые значения лучшей считается та, для которой сумма квадратов отклонений, наблюдаемых значений от вычислений, является наименьшей.

Применение метода заключается в следующем:

– согласно данным эксперимента откладываем на координатной плоскости точки;

– определяем с графиком, какой функции схож получившийся график (линейная, квадратичная, гиперболическая, показательная и т.д.);

– предположим, что функция имеет вид prilmat20.wmf, нам необходимо найти значения a и b;

– параметры будем определять таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений вычисленных значений от наблюдений принимала наименьшее значение:

prilmat22.wmf

prilmat23.wmf – наименьшие значения.

На основании предыдущей формулы можно сделать вывод, что prilmat24.wmf является функцией двух переменных. Данную функцию необходимо исследовать на экстремум. Для этого должно выполняться необходимое условие существования экстремума:

prilmat25.wmf

Найдем частные производные I порядка функции S по переменным a и b:

prilmat27.wmfprilmat28.wmf

prilmat29.wmfprilmat30.wmf

xi – постоянная; a;b – переменные. Следовательно:

prilmat31.wmf

Полученная система уравнений называется системой нормальных уравнений для нахождения значений параметров a и b линейной зависимости prilmat32.wmf, при этом стоит отметить, что чем больше пар чисел, тем точнее будут найдены значения a и b.

Этот метод можно применять для вычисления функций спроса и предложения. Разберем это на примере:

Пусть даны некоторые данные эксперимента:

Q (кол-во товара, х)

5

4

3

2

P (цена, у)

1

2

3

4

Согласно этим данным построим кривую спроса:

matpril1.tif

Определим вид кривой – линейная функция prilmat33.wmf. Найдем значения a и b, для этого составим вспомогательную таблицу:

xi

yi

xi yi

xi2

I

5

1

5

25

II

4

2

8

16

III

3

3

9

9

IV

2

4

8

4

prilmat34.wmf

14

10

30

54

Подставим в следующие формулы получившиеся значения:

prilmat36.wmf prilmat37.wmf

Решим данную систему методом Крамера:

prilmat38.wmf

prilmat39.wmf;

prilmat40.wmf;

prilmat41.wmf;

prilmat42.wmf; prilmat43.wmf.

Следовательно, уравнение имеет вид: prilmat44.wmfprilmat45.wmf

Используя метод наименьших квадратов, определим уравнение кривой предложения:

Данные эксперимента

Q (количество товара, x)

2

3

4

5

P (цена, у)

1

2

3

4

Согласно данным построим кривую предложения:

matpril2.tif

Определим вид кривой – линейная функция prilmat49.wmf. Найдем значения a и b, для этого составим вспомогательную таблицу:

xi

yi

xi yi

xi2

I

2

1

2

4

II

3

2

6

9

III

4

3

12

16

IV

5

4

20

25

prilmat52.wmf

14

10

40

54

Составим систему уравнений:

prilmat53.wmf

Решим данную систему методом Крамера:

prilmat54.wmf prilmat55.wmf;

prilmat56.wmf

prilmat57.wmf;

prilmat58.wmf; prilmat59.wmf

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

prilmat60.wmf; prilmat61.wmf.

Взаимодействие спроса и предложения на определенные товары и услуги устанавливают цену на эти товары и услуги, то есть устанавливается состояние рыночного равновесия. Основными характеристиками такого состояния являются: равновесная цена и равновесный объем. Определить эти значения можно несколькими способами:

– графический, рассмотрим на примере:

matpril3.tiff

Равновесная цена – 3; равновесный объем – 4.

Математически (используются уравнения кривых спроса и предложения, установленных методом наименьших квадратов):

prilmat62.wmf prilmat63.wmf prilmat64.wmf

prilmat65.wmf prilmat66.wmf

На основании приведенных вычислений можно сделать вывод, что использование математического метода позволяет определить более точные значения равновесной цены и равновесного объема.

В заключениу можно сказать, что мы практически убедились в том, что развитие математики как науки способствует развитию и других наук, в том числе и микроэкономики.


Библиографическая ссылка

Агафонова Н.П., Орехова Н.В., Мелешко С.В. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ И СОСТОЯНИЯ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 136-138;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=34026 (дата обращения: 22.02.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674