Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

Использование цепей Маркова для моделирования процесса смешивания

Земцова Е.В. 1 Фетисов А.В. 1 Дурнев А.С. 1
1 Тамбовский государственный технический университет
1. Першин В.Ф. Модель процесса смешивания сыпучего материала в поперечном сечении вращающегося барабана / В.Ф. Першин // Порошковая металлургия. – 1986. – № 10. – С. 1-5.
2. Баранцева Е.А. Процессы смешивания сыпучих материалов: моделирование, оптимизация, расчет / Е.А. Баранцева, В.Е. Мизонов, Ю.В. Хохлова. – ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И.Ленина», Иваново, 2008. – 116 с.
3. Селиванов Ю.Т. Исследование влияния осевого движения на процесс непрерывного смешивания сыпучего материала во вращающемся барабане / Ю.Т.Селиванов, В.Ф.Першин // Известия вузов. Химия и химическая технология. – 2003. – Т. 46, вып. 7. – С. 42-45.

Теория

Математический аппарат случайных марковских процессов широко используется при моделировании процессов смешивания сыпучих материалов [1, 2, 3]. Чаще всего используется одномерная цепь, а ее свойством является принадлежность частицы к конечному или бесконечно малому интервалу эйлеровой координаты. В дальнейшем будем считать этот интервал конечным и разобьем смеситель вдоль определяющей оси на m ячеек (рис. 1).

zemc1.wmf

Рис.1. Графическое представление одномерной цепи Маркова

Не имея иных сведений о распределении частиц внутри ячеек, будем считать это распределение равномерным (ячейки идеального смешивания). Взятая наугад из наблюдаемой порции частица может принадлежать к одной из m ячеек, причем вероятность того, что она принадлежит к хотя бы одной из ячеек, равна единице. Вероятности принадлежности к конкретным ячейкам в общем случае различны и меняются с течением времени.

Поскольку в процессе участвует большое число частиц, то соответствующая вероятность равна доле частиц, принадлежащих ячейке, а если ячейки символизируют пространственные интервалы, то, по существу, – их относительной концентрации в ячейке. Таким образом, частица может находиться в одной из m ячеек, т. е. свойство принадлежности есть дискретная величина. Весь набор этих дискретных величин образует модельное пространство всевозможных состояний системы. Пусть начальное состояние системы характеризуется набором вероятностей Si= {S1, S2, S2, … Sm}. Очевидно, что если рассматривается эволюция фиксированной порции частиц, то

zemc001.wmf.

В течение промежутка времени ∆t частицы мигрируют в системе, переходя из одного состояния в другое. Будем считать, что величина ∆t достаточно мала, чтобы в течение одного перехода частицы могли переместиться только в соседние ячейки, но не далее. Эти возможные переходы показаны на рис. 1 стрелками. В результате одного перехода вектор состояния изменится и станет Sik+1. Каждый переход характеризуется своей вероятностью рij или долей частиц, перешедших из ячейки i в ячейку j за время одного перехода. Если i=j, то рjj – это вероятность частиц остаться в ячейке. Очевидно, что с ростом ∆t вероятности остаться уменьшаются, а вероятности покинуть ячейку растут. Впоследствии мы будем рассматривать процессы, когда в течение одного временного перехода возможны пространственные переходы и между удаленными друг от друга ячейками, но пока ограничимся процессом, где за малое время возможны переходы только в соседние ячейки – микромасштабное перемешивание. Если вероятности рij определены, то переход между двумя последовательными состояниями описывается системой линейных уравнений

zemc2.wmf (1)

Система уравнений (1) может быть записана в компактной и универсальной матричной форме. Набор вероятностей, характеризующих текущее состояние системы, можно представить вектором-строкой размером 1×m:

Si= {S1, S2, S2, … Sm}. (2)

Очевидно, что в любой момент времени вектор состояния полностью характеризует весь процесс. Если цепь является цепью Маркова, то зависимость между величинами Sk и Sk+1 можно описать следующей матричной формулой:

Sk+1 = SkР (3)

zemc002.wmf, (4)

где Р – матрица переходных вероятностей или матрица переходов, имеющая следующий вид:

В этой матрице j-й столбец состоит из вероятностей перехода из i-го состояния. В общем случае имеются только два ограничения для вероятностей перехода pij, которые непосредственно следуют из математической постановки задачи:

zemc003.wmf, (5)

zemc004.wmf, (6)

где i = 1,2, …, m.

Для имитации загрузки ключевого компонента в смеситель на каждом шаге или на определенных шагах периодически проводили следующую операцию:

zemc005.wmf,

где SD – вектор догрузки. Для того чтобы регулировать скорость перемещения ключевого компонента вдоль оси смесителя, под воздействием рабочих органов, использовали матрицу перемещений, которая имеет ту же размерность, что и матрица переходных вероятностей, но ее элементы равны либо нулю, либо единице.

Количество нулей от главной диагонали перед единицей в строке говорит о том на сколько ячеек вперед должна сдвигаться смесь конкретной ячейки за один переход. В соответствии с представленной моделью была разработана прикладная программа, описание которой дано в докладе.

Представленные в докладе результаты расчетов показывают, что при одновременном использовании двух матриц (переходных вероятностей и перемещений) возможно обеспечить достаточную независимость между диффузионной и конвективной составляющими процесса смешивания, что позволяет более адекватно учитывать влияние на интенсивность процесса смешивания физико-механических свойств смешиваемых компонентов и параметров смесителя.


Библиографическая ссылка

Земцова Е.В., Фетисов А.В., Дурнев А.С. Использование цепей Маркова для моделирования процесса смешивания // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 8-2. – С. 196-197;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=32076 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674