Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Савицкий И.В. 1 Матвеева Т.А. 1
1 Волжский политехнический институт, филиал Волгоградского государственного технического университета
1. Кочин Н.Е. Введение в векторный и тензорный анализ.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.
3. Высшая математика для технических университетов. Линейная алгебра: учебное пособие / В.Н. Задорожный, В.Ф. Зальмеж, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов.

В разделе математики «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» мы изучили скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Я случайно увидел в некоторых книгах информацию о двойном векторном произведении и решил подробнее узнать о нём и его свойствах.

Пусть вектор Eqn312.wmf умножается векторно на вектор Eqn311.wmf, после чего полученный вектор Eqn313.wmf умножается снова векторно на вектор Eqn314.wmf. В результате получается так называемое двойное векторное произведение Eqn315.wmf (ясно, что в результате имеем Eqn316.wmf-вектор).

Двойное векторное произведение вычисляется по формуле

Eqn317.wmf (1)

В общем случае, Eqn318.wmf Покажем это, используя свойства векторного и скалярного произведения двух векторов

Eqn319.wmf (2)

Из сопоставления формул (1) и (2) можно вывести следующее правило для запоминания: двойное векторное произведение равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний вектор скобки, умноженный на скалярное произведение двух других или говорят Eqn320.wmf равно «б а ц» минус «ц а б».

При круговой перестановке векторов Eqn321.wmf формула (1) приводит к трем разным векторам:

Eqn322.wmf

Eqn323.wmf

Eqn324.wmf

Складывая вместе эти три равенства, получим тождество

Eqn325.wmf

Одно из применений формулы (2) состоит в выводе разложения данного вектора Eqn311.wmf, на две компоненты, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору Eqn312.wmf. В самом деле, положив в формуле (2) Eqn326.wmf, найдем:

Eqn327.wmf

Решая это уравнение относительно Eqn311.wmf, получим:

Eqn328.wmf (3)

Первый из слагаемых векторов правой части, очевидно, параллелен вектору Eqn312.wmf, а второй перпендикулярен к нему. Формула (3) для разложения упрощается, если Eqn312.wmf есть единичный вектор. Тогда Eqn329.wmf и формула (3) примет вид:

Eqn330.wmf

Рассмотрим следующий пример: показать, что если Eqn331.wmf то

Eqn332.wmf

По формуле (2) имеем

Eqn333.wmf

т.к. Eqn334.wmf .

Умножая векторно слева на Eqn312.wmf, получим:

Eqn335.wmf

Повторяя ту же операцию, найдем:

Eqn336.wmf

что и требовалось.

Таким образом, я познакомился с двумя случаями произведений трех векторов в трехмерном пространстве: скалярно-векторное (в результате получаем число) и двойное векторное произведение (в результате получаем вектор).


Библиографическая ссылка

Савицкий И.В., Матвеева Т.А. ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 109-110;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=32013 (дата обращения: 21.05.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074