Репрезентативная теория измерений (РТИ) представляет собой одну из составных частей статистики объектов нечисловой природы. Мнения экспертов часто выражаются в порядковой шкале, т.е. эксперт может сказать, что один из показателей качества продукции важнее другого, первый технологический объект опаснее второго, и т.д., но не в силах сказать, во сколько раз или насколько он более важен, соответственно, более опасен. Экспертов зачастую просят представить объекты в порядке убывания (возрастания) интенсивности экспертизы характеристики, которая интересует организаторов. Формально ранги могут быть представлены числами 1, 2, 3, ..., но с этими числами невозможно производить привычные арифметические операции. Например, хотя 1 + 2 = 3, но нельзя говорить, что для объекта, который стоит на третьем месте в упорядочении, интенсивность изучаемой характеристики будет равна сумме интенсивностей объектов с рангами 1 и 2. Одним из видов экспертного оценивания являются отметки учащихся. В данном случае вряд ли кто-либо будет говорить о том, что знания отличника будут равны сумме знаний троечника и двоечника (хотя 5 = 2 + 3), хорошист будет соответствовать двум двоечникам (2 + 2 = 4) и что между отличником и троечником существует такая же разница, как между хорошистом и двоечником (5 – 3 = 4 – 2). Отсюда можно сделать вывод, что для анализа подобного рода качественных данных нужна теория, которая сможет дать базу для разработки, изучения и применения конкретных методов расчета. Это и есть репрезентативная теория измерений (РТИ).
На сегодняшний день термин «теория измерений» применяется для обозначения классической метрологии, РТИ, некоторых других направлений(например, алгоритмической теории измерений).
В одной из первых отечественных работ по РТИ было отмечено, что баллы, которые присваиваются экспертами при оценке, зачастую измеряются в порядковой шкале.
В соответствии с РТИ при математическом моделировании реального явления или процесса, прежде всего, необходимо установить, в каких типах шкал измерены переменные. Тип шкалы задает группу допустимых преобразований. Существуют основные виды шкал измерения и соответствующие группы допустимых преобразований. Например, шкала наименований, где допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования (т.е. числа применяютсякак метки), порядковая шкалас строго возрастающими преобразованиями, шкала интервалов с линейными возрастающими преобразованиями, шкала отношений с изменяющими только масштаб преобразованиями иабсолютная шкала, в которой допустимым является лишь тождественное преобразование.
Оценки экспертов зачастую необходимо считать измеренными в порядковой шкале, потому что, как показали многократные опыты, человекулегче ответить на вопросы качественного (например, сравнительного, характера), чем количественного. Таким образом,человеку проще сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их приблизительный вес в граммах.
Порядковая шкала и шкала наименований являются шкалами качественных признаков. Поэтому результаты качественного анализа во многих областях могут быть рассмотрены как измеренные по этим шкалам.
Шкалы качественных признаков – это шкалы интервалов, отношений, разностей. По шкале интервалов можно измерить величину потенциальной энергии или координату точки на прямой, на которой не отмечены ни начало, ни единицы измерения; по шкале отношений – большую часть физических единиц (массу тела, длину, заряд, а также цены в экономике). Время, в свою очередь, измеряется по шкале разностей, если мы принимаем год естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы может изменяться. Среди специалистов иногда возникают разногласия по поводу того, по каким шкалам необходимо считать измеренными те или иные реальные величины.
Основным требованием к алгоритмам анализа данных в РТИ считается следующее: выводы на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны изменяться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных .Таким образом, целью теории измерений является борьба с субъективизмом исследователя при приписывании численных значений реальным объектам. Так, расстояние можно измерять в метрах, микронах, милях, парсеках и других единицах измерения. Выбор единиц измерения зависит только от исследователя, т.е. является субъективным. Статистические выводы будут адекватны реальности только тогда, когда они не будут зависеть от того, какую единицу измерения выберет исследователь.То есть тогда, когда они будут инвариантны относительно допустимого преобразования шкалы.
Рассмотрим в качестве примера обработку мнений экспертов, которые были измерены в порядковой шкале. Пусть Y1, Y2, ..., Yn,...,–это совокупность оценок экспертов, выставленных одному объекту экспертизы, Z1, Z2, ..., Zn,..., – второму.
Легче всего сравнить эти совокупности по средним значениям. Нам известны различные виды средних величин: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое, медиана, мода. Обобщением нескольких изперечисленных является среднее по Колмогорову. Для чисел X1, X2, ..., Xn..., среднее по Колмогорову вычисляется по формуле
G{(F(X1) + F(X2) + ...F(Xn))/n},
где F – строго монотонная функция; G – функция, обратная к F. Если F(x) = x, то среднее по Колмогорову – это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее гармоническое, и т.д. Медиану и моду нельзя представить в виде средних по Колмогорову.
Общее понятие среднего (по Коши) таково: средней величиной является любая функция f(X1, X2, ..., Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2, ..., Xn,,..., и не больше, чем максимальное из этих чисел.
При допустимом преобразовании шкалы значение средней величиныменяется. Но выводы о том, для какой из совокупностей среднее больше, а для какой – меньше, не должны меняться (в соответствии с требованием инвариантности выводов, принятом в РТИ) .Выразим соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы. Пусть f(X1, X2, ..., Xn)f(,,...) – среднее по Коши. Пусть
f(Y1, Y2, ..., Yn) < f(Z1, Z2, ..., Zn). (1)
Тогда для устойчивости результата сравнения средних нужно, чтобы для любого допустимого преобразования g из группы допустимых преобразований соответствующей шкалы было справедливо также неравенство
f(g(Y1), g(Y2),..., g(Yn)) < f(g(Z1), g(Z2),..., g(Zn)), (2)
т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. При этом сформулированное условие должно быть верно для любых двух совокупностей Y1, Y2, ..., Yn и Z1, Z2, ..., Zn. Согласно репрезентативной теории измерений только такими средними можно пользоваться.
Отсюда можно сделать вывод, что из всех средних по Коши в порядковой шкале в качестве средних могут быть использованы только члены вариационного ряда, в частности, медиана, но не среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.; в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову может применяться только среднее арифметическое; в шкале отношений устойчивыми относительно сравнения являются только степенные средние и среднее геометрическое.
Также в настоящее время распространены экспертные, маркетинговые, квалиметрические, социологические и другие опросы. В них опрашиваемых просят выставить баллы объектам, изделиям, технологическим процессам, предприятиям, проектам, заявкам на выполнение научно-исследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т.п., после чего рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, которые были выставлены коллективом опрошенных. Часто применяют среднее арифметическое, но такой способ считается некорректным, так как баллы обычно измеряются в порядковой шкале. Обоснованным является использование медиан в качестве средних баллов. Тем не менее, полностью игнорировать средние арифметические неразумно из-за их распространенности. Поэтому целесообразно применять оба метода сразу – метод средних арифметических рангов (баллов) и методов медианных рангов. Данная рекомендация находится в согласии с концепцией устойчивости ,которая рекомендует использовать различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах.
В заключении, можно сказать, что репрезентативная теория измерений может дать необходимые рекомендации по выбору методов анализа статистических данных, которые измеряются в тех или иных шкалах, и является частью научного инструментария специалиста по математическим методам исследования.