Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

РОЛЬ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ

Кочержова Е.Н. 1 Боташева Л.Р. 1 Цыплакова О.Н. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. – М.: Юнити-М, 2009.
2. Иванов С.И. Экономика. Основы экономической теории. – М.: Вита-Пресс, 1999.
3. Малыхин В.Л. Математика в экономике. – М.: Инфра-М, 2001.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – 1999.
5. http://ru.wikipediа.оrg/wiki/Прoизводнaя_функции.

Ф. Энгельс заметил, что лишь дифференциальное исчисление дает возможность математически изображать процессы, движение. Поэтому целью данной работы является выяснить роль производной в экономике.

Производная является основным понятием дифференциального исчисления, которая характеризует скорость изменения функции. Производной функции y = f(x)в точке x0 называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента Eqn112.wmf, когда ∆x → 0. Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой. Производная обозначается y’(x0) или f’(x0).

Определение производной выражается с помощью формулы:

Eqn113.wmf

На вопрос «что такое производная?» экономист ответит: «Маржинализм».

«Marginal» в переводе с английского означает «предельный». Предельными величинами в экономике являются: предельный доход, предельные издержки, предельная полезность, предельная производительность труда. Они характеризуют не состояние, а процесс, т.е. изменение экономического объекта. Поэтому производная показывает скорость изменения некоторого экономического объекта или процесса с течением времени или по отношению к другому исследуемому фактору.

Пусть q – выпуск произведенной продукции, TC(q) – соответствующие данному выпуску издержки производства (total costs), ∆q – прирост продукции, а DТС – прирост издержек произодства.

Предельные издержки МС (marginal costs) показывают дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции:

MC = TC(q + ∆q) – TC(q),

где ∆q = 1

Так как ∆TC ≈ dTC, то получим MC = ∆TC ≈ dTC = TC’(q)∆q = TC’(q).

Подпредельным (маржинальным) значением показателя в экономическом анализе понимают производную функции этого показателя.

Для исследования процессов в экономике применяют понятие эластичности функции (Ex,y), которое показывает предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x, при ∆x → 0:

Eqn114.wmf

Эластичность функции – это изменение одного показателя x по отношению к изменению другого показателя y, от которого зависит первый. Она показывает процентное изменение одной переменной в результате изменения другой на 1 %.

Существует несколько видов эластичности:

– Эластичность спроса по цене (прямая):

Eqn115.wmf

она показывает процентное изменение величины спроса на какое-либо благо при изменении его цены на 1 % и характеризует реакцию потребителей на изменение цен на продукцию.

Если Eqn116.wmf, то спрос является эластичным (или относительно эластичным). Объём спроса изменяется на больший процент, чем цена.

Если Eqn117.wmf, то спрос называется неэластичным. Объем спроса меняется на меньший процент, чем цена.

Если Eqn118.wmf, то говорят, что товар имеет единичную эластичность и изменение цены вызывает абсолютно пропорциональное изменение объема спроса.

Если Eqn119.wmf, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным. Объем спроса не меняется при изменении цены и остается постоянным при любом её изменении.

Если Eqn120.wmf, то спрос называется абсолютно эластичным. Объем спроса неограничен при падении цены ниже определенного уровня.

– Эластичность спроса по доходу:

Eqn121.wmf

характеризует относительное процентное изменение величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителя на 1 %. Положительная эластичность определяет качественные товары, а отрицательная – некачественные.

– Ценовая эластичность ресурсов:

Eqn122.wmf

показывает относительное изменение величины спроса на какой-либо ресурс, например, труд, при изменении его цены на 1 %.

Производную используют при решении экономических задач:

Задача № 1. Пусть функция спрoca имеет вид QD = 100 – 20p, пocтоянные издержки TFC (total fixed costs) cocтавляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежныe единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение: Рассчитаем прибыль:

П = TR – TC,

где TR = pQ; TC = TFC + TVC.

Цена eдиницы продукции:

20p = 100 – Q ⇒ p = 5 – Q/20,

тогда

П = (5 – Q/20)Q – (50 + 2Q) = = – 2Q + 60Q – 1000 → max

Значит объём выпуска П′(Q) = –2Q + 60 достигнет максимума при равенстве нулю производной по цене:

–2Q + 60 = 0 ⇒ Q = 30.

Задача № 2. Цементный завод производит Х т цемента в день. По договору он должен

ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т цемента в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

K = –x3 + 98x2 + 200x,

а удельные затраты составят:

K/x = –x2 + 98x + 200 .

Решение: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции y = –x2 + 98x + 200 на промежутке [20; 90].

Выведем x = 49 – критическая точка функции. Найдем значение функции на концах и в критической точке: f(20) = 1760; f(49) = 2601; f(90) = 320.

Итак, при выпуске 49 т цемента в день удельные издержки максимальны (т.е экономически это не выгодно), а при выпуске 90 т в день удельные издержки минимальны, значит заводу можно работать на предельной мощности и ещё более усовершенствовать свои технологии, поскольку дальше начнет действовать закон убывающей доходности и без нововведений выпуск продуции не может быть увеличен.

На мой взгляд, производная является важнейшим инструментом экономического анализа, который позволяет углубить математический смысл экономических понятий и выразить экономические законы с помощью математических формул. Экономический смысл производной состоит в том, что она выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или по отношению к другому исследуемому фактору. Многие законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.


Библиографическая ссылка

Кочержова Е.Н., Боташева Л.Р., Цыплакова О.Н. РОЛЬ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 72-74;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=31986 (дата обращения: 21.05.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074