Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

Гомоморфизмы частично упорядоченных модулей

Жерздева И.С. 1 Мамаев И.И. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Кокорин А.И. Линейно упорядоченные группы: монография /А.И. Кокорин, В.М. Копытов. – М.: Наука,1972. – 199 с.
2. Копытов В.М., Мамаев И.И. Абсолютная выпуклость некоторых подгрупп упорядочиваемой группы // Алгебра и логика. – Новосибирск, 1968. – Т.7. – № 2. – С. 20–26.

В работе рассматриваются правые унитарные частично упорядоченные модули над линейно упорядоченными кольцами без делителей нуля.

Определение 1. R-модуль M называется частично упорядоченным, если:

1) М частично упорядочен как абелева группа,

2) для каждого неотрицательного a ∈ M и не отрицательного α ∈ R будет aα неотрицательным.

Как и в теории частично упорядоченных групп, при изучении частичных порядков R-модулей важным инструментом является понятие положительного конуса. Элемент a ∈ M называется положительным если a ≥ 0, строго положительным, если a > 0. Множество P = P(M) = M+ положительных элементов из M называется положительным конусом R-модуля M. Легко проверить, что:

Теорема 1. Подгруппа P группы (M, +) тогда и только тогда служит положительным конусом R-модуля M при его некоторой частичной упорядоченности, если:

1) 0 ∈ P.

2) Если a ∈ P, и –a ∈ P, то a = 0.

3) Если α неотрицательный элемент кольца R и a ∈ P, то aα ∈ P .

Теорема 2. Подполугруппа P группы (M, +) тогда и только тогда служит положительным конусом R-модуля, если помимо условий 1-3 теоремы 1 она удовлетворяет также условию 4: для всякого a Î M либо a ∈ P, либо –a ∈ P.

Определение 2. Отображение φ будем называть Y–гомоморфизмом , если оно является гомоморфизмом модулей и , сверх того, изотонно , то есть a ≤ b влечет за собой a′ ≤ b′, где a′ = aφ, b′ = bφ. Если Y-гомоморфное отображение взаимно однозначно, то будем говорить об Y-гомоморфизме.

Определение 3. Модуль A частично упорядоченного R-модуля M называется выпуклым, если со всякими своими сравнимыми элементами a, b (a < b) он содержит и все элементы x, такие что a ≤ x ≤ b.

Далее рассмотрим следующие свойства Y-гомоморфизмов.

Свойство 1. Ядро N Y-гомоморфизма частично упорядоченного R-модуля M на частично упорядоченный R-модуль M′ является выпуклым подмодулем модуля М.

В самом деле, известно, что N подмодуль. Пусть a ∈ N, a ≥ 0 и x ∈ M, 0 ≤ x ≤ a. Так как x ≥ 0, то по определению Y-гомоморфизма

φ, xφ ≥ 0φ, (1)

Но a – x ≥ 0 и aφ = 0, тогда:

0′ ≤ (a – x)φ = (aφ) + (–xφ) = –xφ. (2)

Из (1) и (2) следует xφ = 0′, то есть x ∈ N.

Если a≤ x ≤ b, a и b ∈ N, то в силу эквивалентности неравенства a≤ x ≤ b и 0 ≤ х – a ≤ b – a, получаем выпуклость N [2].

Свойства 2. Если N выпуклый подмодуль R-подмодуль M, то фактор- модуль M/N можно так частично упорядочить , что естественное гомоморфное отображение M/N будет Y-гомоморфизмом. С другой стороны, если частично упорядоченный R-модуль M гомоморфно отображается на частично упорядоченный R-модуль M′ то M′ @ M/N, где N ядро рассматриваемого гомоморфизма.

Для доказательства первой части свойства 2 берется положительный конус P R-модуля M, P′ – совокупность смежных классов по N, содержащих хотя бы по одному элементу из P. Проверка условий 1-3 теоремы 1 для P′ является положительным конусом в M/N. Для доказательства второй части свойства пусть φ: M ≈ M′, N – ядро φ гомоморфизма φ*, действующий по правилу (a + N)φ* = aφ, является изоморфизмом M/N и M′. Если a + N ≥ 0, то существует элемент a1 + N такой, что a1 ≥ 0. Тогда (a + N)φ* = a φ = a1, φ ≥ 0.

Свойства 3. Произвольный Y – гомоморфизм φ: M → M′ одного частично упорядоченного модуля на другой устанавливает взаимно однозначное соответствие между подмодулями L модуля M, содержащими ядро этого гомоморфизма и подмодулями L′ модуля M′. Причем, если N′ – выпуклый подмодуль в M′, соответствующий N, то M/N @ M′/N′ (доказывается аналогично свойству 2).

Таким образом, вторая теорема Дедекинда-Нетер об изоморфизме переносится на частично упорядоченные модули, в то время как первая теорема Дедекинда-Нетер об изоморфизме не имеет места для частично упорядоченных Z-модулей [1].


Библиографическая ссылка

Жерздева И.С., Мамаев И.И. Гомоморфизмы частично упорядоченных модулей // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 68-68;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=31983 (дата обращения: 21.05.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074