Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Умбетов У. Сейтмуратов А.Ж.

Получены частотные уравнение собственных колебаний двухслойной пластинки при заданных механических и геометрических характеристик являющимися основными элементами сейсмостойкости строительных конструкций. Задача решена приближенным методом получения частотных уравнений на основе метода декомпозиции.

Статья в формате PDF

1229 KB

Задача сейсмостойкости строительной конструкции в ряде случаев может быть сведена к исследованию прочностных характеристик используемых материалов под нагрузками колебательного характера.

Изучение их составляет предмет общей теории колебаний и теории волн, получивших в настоящее время широкое развития.

Результаты данных исследований приносит огромную пользу при рассмотрении стационарных, нестационарных колебательных и волновых процессов в таких разделах науки гидродинамика. геофизика.

Полученные результаты относились к классу краевых задач, когда два из противоположных края прямоугольной пластинки шарнирно опёрты, а два других края имеют другие условия закрепления или свободны от напряжений.

Если все четыре края прямоугольного плоского элемента строительной конструкции произвольно закреплены, то получить точные частотные уравнения не представляются возможным.

Для таких задач можно успешно применять приближённый метод получения частотных уравнений на основе метода декомпозиции, развитого в работах профессора Г.И. Пшеничного [1] для задач статики.

Рассмотрим ряд задач колебания плоских прямоугольных элементов при произвольных граничных условиях по краям элемента с целью определения частот собственных колебаний методом декомпозиции.

Изложим постановку метода на случай плоского элемента, когда материал элемента упруги. В дальнейшем метод будем применять и для элементов из вязкоупругого материала.

В случае плоского элемента из упругого материала приближённое уравнение поперечного колебания четвёртого порядка [4] запишем в виде

(1)

где коэффициенты D₀, D₁, D₂ определяются геометрией и свойствами материала плоского элемента.

Решение уравнения (1) будем искать в виде

(2)

Подставляя (2) в уравнения (1), для W₀ получаем уравнение

(3)

Для применения метода декомпозиции удобнее ввести новые независимые и зависимые переменные [2]

(4)

В переменных (4) уравнение (3) принимает вид

(5)

Метод декомпозиции в теории колебания в общей постановке сводится к следующему.

Формулируется постановка вспомогательных задач.

Задача 1. Найти решение уравнение

(6)

при граничных условиях

(7)

Задача 2. Найти решение уравнения

 (8)

при граничных условиях

 (9)

Граничные условия на краях пластинки зависят от условий её закрепления или на свободном крае от напряжений.

Оставшаяся часть уравнения (5)

 (10)

где  произвольные функции, вид которых зависит от решаемых краевых задач.

Следуя методу декомпозиции будем считать, что

 (11)

и условие должно выполняться в заданных точках плоского элемента.

Общие решения уравнений вспомогательных задач (6) и (8) имеют вид

 (12)

где φ_j, ψ_j произвольные функции аргументов и определяются из граничных условий (7) и (9).

В дальнейшем произвольные функции в общем виде представим как

 (13)

где  произвольные постоянные, а функции f_i(α, β) в общих решениях (12) равны

 (14)

Используя частные решения задач при заданных граничных условиях и используя приближённые представления (11), для нахождения неизвестных   получаем однородную линейную систему алгебраических уравнений, нетривиальное решение которых приводит к частотному уравнению.

Проиллюстрируем метод декомпозиции на ряде частных краевых задач колебания плоского элемента.

Задача 1. Рассмотрим простейшую задачу, когда все края шарнирно опёрты. Данная задача решалась прямым методом и получено частотное уравнение, где необходимо положить время релаксации равным бесконечности.

(14 а)

где коэффициенты В_j; t₀; g равны

  (14 б)

при этом t₀ - безразмерное время релаксации; n - коэффициент Пуассона материала пластики; g - безразмерный параметр, характеризующий геометрические размеры пластинки.

Граничные условия имеют вид

 (15)

удовлетворяя которым общие решения (12), получим

 (16)

или частные решения равны

Удовлетворения решения (16) условиям (11) и уравнению (10), для частоты ξ вновь получаем уравнение (14 а).

Таким образом, приближённый метод декомпозиции даёт тот же результат, что и точный прямой метод. Следовательно, метод декомпозиции можно с достаточной степенью достоверности применять при решении и других краевых задач.

Задача 2. Жёстко закреплённая пластинка по краям. Граничные условия имеют вид

 (17)

Используя общие решения (12) и граничные (17), для искомых величин v₁, v₂ получаем выражения

 (18)

Ограничимся первыми коэффициентами в рядах произвольных функций (13) и условием  получаем систему алгебраических уравнений

 (19)

Нетривиальное решение системы (19) к частотному уравнению

 (20)

Задача 3. Края пластинки β = 0; β = π жёстко закреплены, а края α = 0; α = π свободны от напряжений, т.е. имеем граничные условия

 (21)

Решение задачи для определения v₂ имеет вид (18).

Для нахождения неизвестной функции v₁ из граничных условий

 при α = 0; π

получаем

 (22)

которые выполнимы при n = 2q, т.е. нечётные значения неизвестных  необходимо положить равными нулю.

Условия (21) при α = 0; π приводят к системе

(23)

Два уравнения (23) связывают три неизвестные функции. Так как ищем частные решения задач, то не ограничивая общности, неизвестную функцию φ₃ можно положить равной φ₃ = 0

Из системы (23) получаем уравнение для φ₄

 (24)

частное решение которого равно

 (25)

где  (26)

Ограничиваясь первыми слагаемые  как и в предыдущей задаче получаем частотное уравнение

(27)

Задача 4. Края пластинки (β = 0; π); α = 0 жёстко защемлены, а край α = π свободен от напряжений.

В этой задаче искомая функция v₂ определена в предыдущих задачах, а v₁ равна

(28)

где

 (29)

Отсюда частотное уравнение

 (30)

где B₁, C₁ равны

 (31)

Частотное уравнение (30) определяет три частоты в отличие от предыдущих, что связано, по-видимому, с тем, что край a = π свободен то напряжений и происходит отражение волн от края a = 0, жёстко закреплённого.

Таким образом, в работе показано, что для шарнирно закреплённого прямоугольного плоского элемента метод декомпозиции даёт точное решение поставленной задачи по сравнению результата полученное прямым методом.

Результаты исследования показывает, что приближённый метод декомпозиции позволяет находить частоты собственных колебаний пластинки при заданных механических и геометрических характеристик. Механические и геометрические характеристики является основными элементами сейсмостойкости многих строительных конструкций.

Список литературы

1. Пшеничнов Г.И. Метод декомпозиции решения уравнения и краевых задач. - М.: ДАН. СССР, 1985. - Т. 282, №4. - С. 792-794.
2. Пшеничнов Г.И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиции // Строительная механика и расчет сооружений. - 1986. - №4. - С. 12-17.
3. Сейтмуратов А.Ж. Динамическая устойчивость плоских элементов в строительных конструкциях // Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте. - Самара: СГАСУ, 2005.
4. Сейтмуратов А.Ж. Приближенный метод декомпозиций в теории колебания прямоугольных пластин // Актуальные проблемы механики и машиностроения. - Алматы: КазНТУ, 2005.

Библиографическая ссылка