Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг его оси под углом α к горизонту. Сначала рассмотрим при α = 0. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменится, в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок - повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения.
На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы - сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и ω2r .
Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса r за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому наклон этой поверхности с увеличением радиуса r возрастает.
Уравнение кривой в системе координат z и r с началом в центре дна сосуда.
(1)
где h - высота расположения вершины параболоида, м; C - постоянная интегрирования.
Т.е. кривая является параболой, и свободная поверхность жидкости параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня.
Пользуясь уравнением (1), можно определить положение свободной поверхности в сосуде, например максимальную высоту H подъема жидкости и высоту h при данной угловой скорости ω. Для этого необходимо использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жидкости равен её объему во время вращения.
Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS на произвольном радиусе r высоте z запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (1) получим:
(2)
где p0- начальное давление жидкости, кг/м2; ρ - плотность жидкости, кг/м3.
Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу и уменьшается пропорционально высоте z.
В случае вращения цилиндра с жидкостью с угловой скоростью ω вокруг его оси под углом α к горизонту уравнение свободной поверхности в системе координат Оxyz можно вывести путем интегрирования дифференциального уравнения равновесии жидкости
(3)
После математических преобразований, окончательно получим:
Уравнение свободной поверхности жидкости можно найти, если положить, p = p0. После сокращений и преобразований получим:
(4)
Что совпадает с ранее полученными формулами. Для вертикального вращения, при α = π/2, поучаем уравнение свободной поверхности (1), а при α = 0, получаем уравнение поверхности вращения жидкости в горизонтальной трубе.
Библиографическая ссылка
Исаев Ю.М., Семашкин Н.М., Гришин О.П., Гришина Е.В. ВРАЩЕНИЕ СОСУДА С ЖИДКОСТЬЮ ПОД УГЛОМ НАКЛОНА // Современные наукоемкие технологии. 2012. № 7. С. 26-26;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=30717 (дата обращения: 20.05.2025).